求解未知矩陣方法的探究

侯春娟 陳雪姣 石金誠 李志青 李遠飛

【摘要】矩陣作為線性代數的基礎知識點，對后續知識的學習起著鋪墊作用.在學生掌握矩陣的基本概念與運算后，教師應按照授課進度，通過舉例與對比來總結線性代數教學中關于求解未知矩陣的知識點.同時，教師可將知識點的結果用Matlab軟件運行出來，讓學生意識到線性代數計算與教學輔助軟件相結合的重要性，并通過應用舉例讓學生加深對此知識點的理解.

【關鍵詞】線性代數；矩陣；初等變換

【基金項目】項目資助信息：廣州華商學院2021年線性代數一流課程（HS2021YLKC05）；廣州華商學院“校級質量工程”項目（HS2021ZLGC31，HS2020ZLGC74）.

眾所周知，線性代數內容不僅僅在數學領域非常重要，在其他學科中也起著舉足輕重的作用，廣泛地應用于通信工程、電氣行業、工程測量及生物工程等領域.在大數據時代盛行的今天，計算機技術促進了科學的進步與完善，諸如計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術都離不開線性代數.而在線性代數教學中，教師們也應不斷地總結其教學特點及相關的應用.

一、未知量代入法

若未知矩陣為X，可根據已知條件確定矩陣中的行數m和列數n，即矩陣含有的未知元素個數mn.當然這種情形下，練習計算m和n取值不宜過大.

比較典型的例子還有求與已知矩陣可交換的未知矩陣.

注意A*的計算過程：

（1）先計算出矩陣A中所有元素的代數余子式.

代數余子式也是學生在計算過程中較易出錯的一個知識點.所謂代數余子式就是這個元素的余子式和它前面的符號的組合，這個符號要么為正號，要么為負號.如果這個元素的行標和列標之和是偶數，那么它的代數余子式就是它的余子式；如果這個元素的行標和列標之和是奇數，那么它的代數余子式就是在它的余子式前面賦一個負號，即此時的代數余子式與余子式互為相反數.

（2）將矩陣A中元素aij的代數余子式記作Aij，將由Aij（n×n）構成的方陣寫成轉置矩陣，即把行的形式寫成列的形式.

對于例1，我們前面根據矩陣相乘條件及相乘矩陣的結果，判斷矩陣X一定是3×2的矩陣，按照未知矩陣代入法去求解，即設出未知矩陣X的6個元素，將AX的相乘后得到的3×2矩陣，與B矩陣一一對應，求出結果.下面我們不妨用逆矩陣方法來求解.

對例1，我們采取初等行變換方法進行計算.

四、線性方程組求解

我們知道，對于一個n元線性方程組，會有唯一的矩陣方程Ax=b與其相對應，其中，矩陣A（m×n）是由方程組系數構成系數矩陣，矩陣b（m×1）是由等號右端的常數項構成的列向量矩陣，也就是方程組的常數項矩陣，則x一定是含有n個未知量的列向量矩陣，也就是我們要求解的n個未知量構成的未知量矩陣，此時線性方程組求解的問題就轉化為求未知矩陣的問題.對于齊次線性方程組求解，即矩陣b（m×1）是零向量矩陣時，相對容易.如果是非齊次線性方程組求解，就要將增廣矩陣（A|b）進行初等行變換，先化成行階梯形矩陣，利用系數矩陣和增廣矩陣的秩進行判斷，如果兩者的秩不相等，則原非齊次線性方程組無解，這是最簡單的情況；如果兩者的秩是相等的，則此時要將該秩與未知量的個數進行判斷，到底是有唯一解還是無窮多解，當然此時要將前面的行階梯形矩陣化成為最簡行階梯形矩陣.

顯然，對于非齊次線性方程組求解可以轉化成矩陣方程Ax=b再進行求解.在進行初等行變換判斷Ax=b解的問題時，當m≠n時，我們只需要將增廣矩陣（A|b）進行初等行變換，利用系數矩陣和增廣矩陣的秩進行判斷即可.當矩陣A為方陣時（m=n），如果A是可逆的，用前面的逆矩陣定義法也可以處理：將增廣矩陣（A|b）化成（E|A-1b），也就是類似前面例1的做法.

所以，初等行變換在求已知矩陣的逆矩陣及求解線性方程組解的問題時都是非常實用和必備的計算工具.

五、教學輔助軟件的融入

在教學過程中，教師要將一些教學輔助軟件介紹給學生，如Matlab軟件，便于計算機專業的同學更好學會融會貫通.

對于例1，可用Matlab軟件輸入如下，即快速得到計算結果.

六、應用舉例

例4 某地區有甲、乙、丙、丁4個生產商，都生產a，b，c三種服裝，各生產商生產三種服裝的數量（單位：千件）、總收入（萬元）和總利潤（萬元）數據如下表所示，求a，b，c三種產品的單位價格和單位利潤.

解 根據已知條件，設矩陣A表示一年中各生產商生產三種服裝的數量（單位：千件）；矩陣B表示各生產商的總收入（萬元）和總利潤（萬元）.

對以上兩個非齊次線性方程組的求解，我們在前面第三部分的初等變換法有提到，這里我們不做具體的演算步驟，只給出Matlab軟件運行下的（1）和（2）結果：

即a，b，c三種服裝的單價（單位：元/件）分別是31.5789，57.8947，73.6842.單位利潤分別是（單位：元/件）0.3759，3.3083，17.0677.

教師要在教學中不斷總結，把知識點串聯起來，幫助學生梳理知識框架，讓學生樹立信心，培養學生學習的自豪感.雖不能希冀所有學生都喜歡線性代數這門重要的基礎課程，至少不要讓大多數學生對線性代數學習產生畏懼心理.

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