高等數學中函數與方程思想應用的研究

馬林界

【摘要】數學思想方法是高校各層次學生需要深入學習和重點理解的內容.其中，函數與方程思想由于其理論對象相對廣泛，在高等數學的教學中始終占據著最重要的地位，研究它們對提高大學生的數學應用能力具有重大的意義.文章對函數與方程思想的基本內容進行了分析研究，對在高等數學函數與方程教學中存在的問題進行了闡述，并找出了相關的解決途徑和方法.

【關鍵詞】高等數學；函數與方程；思想應用

引 言

數學思想知識的系統學習是高等數學的主要難點.高等數學思想學習的關鍵，在于如何牢固、準確地把握數學的核心概念，并善于在此思想基礎上構建數學方法的整體網絡.教師把握整體數學思想方法論的發展，有助于每個學生正確恰當地把握系統學習方法的邏輯起點；合理把握整個數學思想的發展邏輯網絡，有利于學生選擇科學、恰當、有效的系統學習方法.只有構建數學思想網絡，現代大學生才能真正形成正確、科學的現代數學觀念和現代世界觀.函數與方程思想是當前高等數學課程中一種重要的思想方法.本文主要討論函數與方程的思想及其在解題中的應用.

一、函數與方程思想概述

函數的基本思想就是運用運動和變化的本質規律，分析實際問題和轉化問題，研究抽象數學概念中事物的數量關系，強調函數概念的使用.建立一套抽象的理論概念構造函數，利用數學抽象的概念特征和函數關系來分析實際問題，轉化或解釋問題，可以使學生在課程學習領域中隨時可能遇到的基本函數問題得到快速有效的解決，或利用函數本身的數學性質解決問題，如函數的單調性、奇偶性、周期性、最大最小值、圖像及其變換等.

方程的基本思想是人們用來分析解決基本數學問題所用的數學變量之間的等價關系，通過建立數學方程來求解，或者用它來構造方程，通過數值計算來求解方程，或者用各種基本數學方程和數學的一般規律在變換過程中進一步分析、變換和求解上述數學問題，使上述問題逐步得到解決.方程教學主要是指導學生如何解決問題，教會學生掌握和運用方程思想處理復雜問題.

雖然說函數與方程是兩個不同的概念，但實際上它們之間有著相當密切和復雜的關系.如果一個函數存在函數表達式，那么它的函數表達式實際上可以看作一個方程.在現代高等數學的教學中，涉及最多的就是微分方程，微分方程分為一階齊次微分方程、非齊次微分方程、二階線性方程、高階方程等.對于一階標準類型方程的求解，可分為四個類型：可分離變量方程、齊次方程、線性方程、全微分方程.解一階標準類型的方程的關鍵是辨別方程的類型，掌握求解的步驟.對于一階非標準類型的方程求解，有變量代換法、積分因子法等.在高等數學中，解微分方程的重點是掌握微分方程的通解與特解的概念，掌握相關的解題法則.

總之，函數思想與方程思想是學習高等數學所必需的基本思想.它們在內容上也是緊密聯系的，都是將高等數學知識體系轉化為實際能力水平的知識橋梁.它們幾乎可以滲透學習高等數學思想的其他重要領域，其中在考試解題方面應用最為廣泛.

二、高等數學中函數解題教學中存在的問題

（一）高等數學教師的專業能力不足

目前，隨著我國高等數學功能化實踐的深入，普通院校已經開設高等數學解題教學.然而，在重視高等數學理論教學的過程中，學校卻忽視了對數學教師專業能力的提升.高校一直重視高等數學的基礎教學，但往往忽視了數學教師綜合教學能力不足的嚴重問題.高等數學是一門比較抽象、復雜的學科，涉及的知識和內容也比較廣泛，要求數學教師具有相應水平的專業知識和專業技能.如果教師缺乏專業能力，那么將直接影響整個高等數學課程的教學質量.若學生已經對高等數學產生了嚴重的抵觸心理，教師又因為自身能力的不足，不能完全回答學生提出的數學問題，那么會對學生學習高等數學產生負面影響.而且有些教師由于自身的能力不足，不具備較高的現代教學水平，因此在教學過程中，在認知方式、思維方式、評價方式等方面必然存在許多不合理之處.

（二）高等數學中函數解題教學的方式形式化

目前，在高等數學函數與方程的教學活動中，教師所采用的教學方法大多仍保持著傳統的課堂灌輸教學方式.在分析理解某些具體實例的活動中，教師的課堂主導地位被加重，學生的主體地位被忽視[1].即使學生能記住一些函數中的相關計算公式，但是并不能真正理解這些數學公式，也不能真正理解教師講授的解題思路.同時，教師在函數與方程的教學活動中，對于如何解答函數與方程仍然是形式上的，講課的過程也是枯燥、乏味、缺乏一定的邏輯思維的.讓學生明確解題思路是解答函數習題的關鍵，然而，在目前的高等數學函數與方程的教學中，教師缺乏對圖表、計算機等教學輔助工具的使用，大量的教學時間都放在了概念和理論知識的教學上，這些內容對學生的解題思維沒有太大的幫助，而且，有的教師為了展示自己的高超能力，會選擇一些難度很大的題目進行教學，這讓更多的學生摸不著頭腦，對于學習高等數學就更加厭煩了.在當前的社會環境下，教師對高等數學函數與方程的教學需要一定的針對性.此外，在高等數學函數與方程的解題教學過程中，大多數教師缺乏對現代化教學手段的有效利用，傳遞的函數思維方式過于僵化和形式化，過于枯燥，學生難以深入理解和掌握，往往不能充分激發學生的學習興趣.

（三）學生對高等數學中函數的認知不足

一般情況下，大多數學生在選擇自己喜歡的學科時，會下意識地回避高等數學學科，因為在大多數學生的主觀意識中，高等數學其實是一門非常復雜、抽象的學科，需要具備良好的數學思維能力和邏輯能力才能學好[2].但如今，隨著我國高等數學的日益普及，應用高等數學中或多或少地加入了各個學科的內容，這對于那些學生來說非常痛苦.甚至有些學生認為高等數學就是整天和一些數字、符號打交道，而且畢業后也不能真正把這些高等數學的知識運用到實際的工作環境中.所以，基于上述誤解，學生會對高等數學本身存在一些錯誤的觀念認知，最終可能會導致很多學生不愿意花更多的時間和精力去努力學習.同時，就很多學生的個人素質而言，他們的數學學習、理解和分析能力相對較差，自主學習能力并不是特別強，因此，對相關的高等數學課程會逐漸產生莫名其妙的學習恐懼.

三、在高等數學中應用函數與方程思想的途徑

（一）提升高等數學教師的專業素質

對于現代高等數學中的函數和方程解題方法的教學，教師要想更好、更有效地提高自身的教學技能，就必須注重提高自身技能的相關專業素質，時刻樹立正確、合理的教學目標，在函數和方程的教學活動中充分注意課程教學設計的邏輯嚴密性[3].在函數和方程解題的訓練中，教師也要制訂更詳細、更科學的項目教學計劃，針對類似問題制訂和總結各種問題解決方案，從而有效、快速地提高自身的教學能力.同時，教師要對自身的教學專業能力進行定期的、系統的訓練，因為函數和方程是學生理解相對困難的內容，而教師要想把自己的知識更完整、更系統地傳授給學生，就需要更細致、更深入、更準確的理解、分析和判斷.只有這樣，才能真正提高學生的專業水平，才能更好地實現因材施教的專業教學.

（二）引入問題，數形結合

為了改變傳統的知識灌輸式的教學方法，教師應開辟一條基于知識引導和啟發式教學的新途徑，結合現代高等數學的特點，讓學生學會如何觀察和分析抽象的圖形.比如，教師在設計函數極值的視頻時，要給學生觀看一個短視頻，要求學生細致觀察和分析圖形，并對分析結果及時進行反思和總結，再給出一個函數曲線，讓學生仔細觀察圖形，從每個角度進行分析[4].

教師需要引導學生學習如何觀察、分析數學圖形.當然，教師在教學中不能僅局限于課本的內容，還要讓學生大膽發揮自己的想象力.接下來需要教師帶領學生觀察一些函數和方程的曲線圖像，從曲線的折點、零點、曲線的單調性、增減性等角度去分析，通過觀察，對這些數據進行詳細的記錄：①在x為多少時，曲線發生了轉折？②曲線在何時達到最高峰，何時達到最低峰？③在峰值左右的鄰域里，曲線是單調遞增還是單調遞減？④在函數導數為0的時候，左右鄰域的單調性是否一致，是相反的單調性還是相同的單調性？以此來判斷函數本身的單調性.教師可以引導學生把學習函數和方程曲線想象成一次爬山，單調增的時候就是往上爬，單調減的時候就是往下走，導數為0的時候就是爬了很久的山需要休息，找到一個駐地進行臨時的休息，由此，導數為零的時候的點，就是“駐點”.借此，教師也就可以很好地引入駐點的概念.這樣，通過這種引導、發現、總結知識的學習方法，學生就可以很好地學習函數與方程相關的知識，這種學習方法也就是“數形結合法”.

（三）歸納總結極值的知識點

教師在教學極值相關的知識時，可以采用微課視頻教學的方式，讓學生觀看微課視頻，找出解極值題的具體規律，并且將解題方法進行分類，用數學語言進行詳細描述，引出極值的定義：若把一個函數的定義域按照某種規律進行劃分（此處用駐點劃分），若某點處的函數值是鄰域里的最大值時，把此點稱為一個極大值點，這點處的函數值稱為極大值；反之，若某點處的函數值是鄰域里的最小值時，把此點稱為一個極小值點，這點處的函數值為極小值[5].極小值和極大值統稱為極值.同時，學生根據函數的圖像也可以觀察出，一個函數可能存在很多個極大值和極小值，但是一個函數最多只存在一個最大值或者一個最小值，又或者只存在一個最大值和一個最小值.教師要引導學生注意，極大值（極小值）并不一定等于最大值（最小值），若函數在某一點處的導數為0，那么這個點就是函數的駐點.此外，教師還可以對極值的知識做進一步的歸納、分析和總結，給出獲得極值的必要條件：如果某一函數在某一點上可導，并且在這個點上能夠取得極值，那么這個點就是函數的駐點，不過這是一個必要條件.也就是說，函數在某一點能取得極值，那么這個點就一定是駐點，但是駐點也并不一定就是極值點，這一點也可以通過畫圖來論證.教師可引導學生根據這些定理總結出求解函數極值點的方法步驟：第一步：求出函數的一階導數，然后求出函數的駐點和不可導點.第二步：通過使用函數駐點或不可導點將函數域劃分為區間域；第三步：判斷駐點對左右鄰域內函數單調性的影響；第四步：求極值.

（四）將數學建模思想融于數學教學之中

目前，隨著電子計算機產品的不斷普及和應用，數學仿真建模能力在現代生產的實際活動中將變得越來越重要.因此，授課教師要充分認識到數學仿真建模課程知識的重要性，教授學生計算機建模學習的理論過程和數學建模的基本知識[6].為了使學生能夠更好地思考和解決計算問題，綜合分析實際問題，教師還必須充分提高每個學生對專業知識學習和研究的興趣，更好地完成上述教學目標.

（五）完善課后輔導和答疑制度

一般情況下，教師要和學生討論如何合理分配自己的課后時間，對學生進行課后輔導，有效地解決學生在課后學習過程中存在的問題.雖然學生的課后輔導時間、地點的安排不固定，但是教師要保證至少一周一次的課后解惑機會.老師在教完每一個章節的內容后，就可以對課程的知識點逐一進行分析、歸類、總結，并拍照打印，然后分發到每一個學生的手中，讓學生認真抄寫、整理，使學生對本課程章節的知識要點產生一個相對系統、清晰、完整的認識.比如學生在學習完二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對坐標的曲線積分、對面積的曲面積分、對坐標的曲面積分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式時，對于其中很多重要的知識點和公式，學生可能剛學的時候就已經混淆了，老師最好可以給學生總結一下這些知識點，對于大多數學生來說，這是一場及時雨.

（六）構建分層教學體系

各個學校要根據當地實際發展情況，制訂最科學可行的教學組織管理改革方案，注重因材施教，根據不同階段學生的教育特點，采取靈活、適宜、獨特的教學方法.教師可以挑選幾個自愿參加本校研究生考試的同學組成網上輔導班，提高和鞏固其已有的理論知識、經驗和實踐能力，為學生后續考研打下堅實的基礎.教師也可以對有能力參加研究生考試的學生進行更深層次的教學，幫助他們獲得更多的知識，對于能力有限的學生，爭取讓他們掌握最基礎的高等數學函數和方程知識，便于他們順利通過考試、完成學業.這種教學方式能夠很好地滿足學生的學習需求，讓學生樂于去學習高等數學，并且不會產生太大的學習壓力.

結束語

在高等數學教材學習方法中，函數公式的基本求解原理和方法、各種方程問題的分析以及利用這些函數建立相關知識的許多新概念和新方法等，都非常枯燥和深奧，學生很難對知識形成系統的理解并進行實踐應用.因此，編者需要認真、系統地研究教材.正因為多元函數和微積分基本方程理論是貫串整個數學課程體系的基礎單元，所以無論對于數學學科的學習，還是對于其他學科的學習，它都具有同等重要的地位.而且它們是學習其他后續數學課程的必備數學知識，如微分問題、積分問題、多元函數組中的應用問題等.所以，學好函數與方程思想，是學好高等數學課程的理論基礎.

【參考文獻】

[1]黃元元，楊德五.高等數學應用案例教學的設計與實踐———以二階常系數齊次線性微分方程為例[J].科教文匯（下旬刊），2020（12）：70-73.

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[4]李倩.《高等數學》教學中案例教學的應用探討———以微元法建立微分方程為例[J].教育現代化，2020，7（40）：148-151.

[5]武躍祥，苗卉.基于現代教育新理念的地方財經院校《高等數學》混合式教學方法探析———以“函數的微分及其應用”為例[J].科技視界，2020（03）：32-33.

[6]潘璐璐，徐根玖，臺炳龍，張瑩.理工類課程實踐課程思政的邏輯及方法———以高等數學函數曲線的凹凸性為例[J].高等數學研究，2020，23（01）：22-25+50.