二次函數中平行四邊形存在問題分類例析

高國強

【摘要】二次函數作為中學階段重要的知識點，直接關乎著學生的數學水平，也曾經一度成為數學教學與考試的難點.為此，在初中數學二次函數的教學中，教師要重視二次函數中平行四邊形的典型問題，并且培養學生良好地運用多種解題方法，加深其對二次函數中平行四邊形問題的理解，同時結合常見題型分析，總結求解二次函數平行四邊形問題的規律.這既滿足了二次函數板塊教學水平的提升的要求，同時為后續的知識學習奠定了堅實基礎.

【關鍵詞】二次函數；平行四邊形；例題分析

引 言

從數學知識角度來看，平行四邊形的知識對于學生來說相對簡單；二次函數的知識，學生通過一段實際的接觸和學習后也可以基本掌握其圖像性質與畫法.但是二次函數與平行四邊形的知識融合，就大大增加了題目的難度，也給學生解題帶來一定困擾.在解決這一類題目時，教師要求學生要明確理解和掌握平行四邊形的性質與判定依據，同時要深入理解二次函數表達式，只有這樣才能在面對二次函數中平行四邊形存在性問題時迅速產生解題思路.因此，教師在日常教學時，要確保學生對二次函數基礎知識與平行四邊形的性質爛熟于心，隨后對學生的解題步驟、方法等方面進行全面指導，確保學生解題能力得到提升.

在二次函數的中考壓軸題中有一類平行四邊形存在問題，它能很好地考查學生的分類討論思想、待定系數法的運用和綜合性解題能力.學生在解題中不僅要靈活運用平行四邊形的基本性質，還要牢牢把握求二次函數圖像的重要性質，根據不同的題目，采取不同的方法.下文利用中考真題（或改編題）分類例析.

一、二次函數中平行四邊形存在問題的教學要點

（一）扎實基礎，做好解題準備

在中學數學課程教學中，學生解答問題的根本在于掌握扎實的基礎知識，只有具備基礎知識才能更好地找到解題切入點.以二次函數中平行四邊形存在性問題為例進行分析，學生必須掌握二次函數基本性質，結合二次函數來畫圖，同時結合圖像補充完整的函數.此外，學生也要明確平行四邊形的基本性質，掌握在二次函數中構建平行四邊形的方法.因此，在這一類問題的教學中，教師要引導學生夯實二次函數和平行四邊形的基礎，并且對這一類問題的解題規律進行探究.學生只有通過多次訓練和思考，利用自身具備的基礎知識，才能達到最佳的解題效果.

例如，當學生遇到關于二次函數中平行四邊形的問題時，為了使學生快速地尋找問題解答的切入點，清晰地分類并理順已知問題，實現快捷而正確的問題求解，教師可通過設疑方式幫助學生迅速回想關于二次函數的平行四邊形知識，使其在腦海中迅速浮現平行四邊形基本性質，以及例題中如何才能夠應用到正確判斷平行四邊形性質的基本定理，回憶二次函數頂點式的表示方法，表示頂點位置的對稱軸公式.教師再引導學生在白紙上寫出實際應用到的知識點和方法，以便解題時使用.在這樣的教學方式下，學生能夠對相關的概念與知識認識得更加深刻，從而精準地找到問題切入點，快速完成解題.

（二）梳理步驟，提高解題準確性

由于“二次函數中平行四邊形存在性問題”這種類型的題目涉及眾多知識，解題過程也較為復雜，因此想要完整和精準地解答題目，教師就必須做好解題步驟的梳理，從而提高學生解題的精準性.在解決這類問題時，教師要對學生進行引導教學，使學生可以自主結合題目已知條件與求解目標，整理出一套符合自己的解題思路，隨后對整個解題步驟進行梳理，最終能夠按照自己解題思路和規范的解題步驟來完成問題解答.這種教學方式，可以為學生營造清晰的解題思路，保障解題的準確性.

二、四個頂點連線中有與y軸平行且長度確定的一條邊的類型

三、四個頂點連線中有與y軸不平行也不垂直且長度確定的一條邊的類型

問題2 （2015山東德州改編）如圖2，拋物線解析式為y=-x2+4x+2，點D是拋物線頂點，E點坐標為（4，2），若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點D，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點P的坐標.

點評 本題中指出線段PQ與線段AM是互相平行且相等的.最重要一個特點就是它們都和直線BC是垂直的.這一點非常的重要.抓住這個特性利用平移直線BC的方法求出平移后的直線與拋物線的交點就是能求出P點.關鍵是求兩條直線解析式：一條直線是過A點與BC平行的直線一條直線，另一條是過A點關于B點的對稱點的與BC平行的直線.再分別與拋物線的解析式聯立方程組求出參數和交點坐標.這一方法并不是通解通法，但它在這類題中作用明顯.我們不妨把這種方法叫作兩線相交法.

解函數背景下平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步，找準分類標準進行分類；第二步，根據平移和中心對稱特性畫圖；第三步，列方程計算.解題的難點在于尋找分類標準，分類標準尋找得恰當可以使得答案不重不漏，也可以使計算又準又快.上面出現的問題類型都屬于二次函數背景之下的兩個動點、兩個定點的平行四邊形存在性問題.它們的分類標準一般是把確定的一條線段按照是否為對角線或者是否為一條邊進行區分，然后根據平移、中心對稱以及其他平行四邊形性質分別列出方程或方程組巧妙求解.

【參考文獻】

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