多角度理解 構建概念全過程

馬希純

【摘要】概念教學是數學教學中的重要內容.教師通過概念教學，可以使學生對數學知識有更加準確的了解.文章以“倒數”教學為例，就如何通過多角度的理解幫助學生進行全過程的概念構建進行了探討，希望可以為概念教學提供借鑒.

【關鍵詞】概念；數學；全過程

教學內容

義務教育教科書《數學》五年級下冊第31面“倒數”.

課前思考

1.經歷概念發現的過程，概念建構要經歷感知—表象—抽象—運用四個階段.教材中分別通過“認識倒數”“借助面積為1的長方形，認識它的長和寬互為倒數”“求倒數”“理解0為什么沒有倒數”這四個環節講授“倒數”.在這個過程中，學生會產生新問題.而這四個環節的呈現方式是教師值得關注的問題.概念認識的全過程能夠驅動學生主動進行質疑與探究，主動地構想學習目標與策略，從而更加充分地經歷概念建構的過程，更加深刻扎實地理解概念.

2.“倒數”是一節概念課，倒數的表象為分子、分母互相顛倒，本質為乘積為1的兩個數互為倒數.理解倒數的內涵與外延，溝通內涵與外延之間的聯系是本節課的重點目標之一.

教材借助幾何直觀圖探究長方形的長、寬與面積三個量之間的關系，即面積為1的長方形，其長與寬互為倒數，從而突出倒數的本質為乘積為1的兩個數，進而引導學生透過它的表面特征“分子、分母相互顛倒”，關注倒數的本質.乘法在本質上是一類特殊的加法.一般地，規定乘法運算a×b表示a個b相加.學生對乘法的理解除了定義中相同加數的和之外，還有其他的一些重要模型或現實背景，主要有五個方面：求幾個幾是多少，求一個數的幾倍是多少，數量關系，長方形的面積以及搭配問題（如圖1）.

教材中引入長方體的面積模型旨在利用乘除顛倒的原則突出倒數的核心，認識倒數的本質，淡化倒數的表面特征.

3.在課前小測中，以海港灣學校五年級一班、二班共83名學生為調查對象，調查數據反饋27.71%的學生對倒數沒有了解，72.29%的學生認為倒數是分子與分母互換的兩個分數.基于以上考慮，我將本節課的教學目標定為：

1.經歷倒數的發現過程，多角度理解倒數的意義.

2.會求一個數的倒數，并能解決問題.

教學重難點

重點：多角度理解倒數的意義.

難點：理解倒數的本質，淡化倒數的表面特征.

以問題為抓手，以概念建構為目標，我設計了以下教學過程.

教學過程

一、填寫算式，發現關系【感知、表象】

1.課前梳理

師：關于倒數的知識我們已經做了課前小調查，同學們主要想知道什么是倒數和學習倒數有什么用.

問題1：什么是倒數？

生1：倒數是從后往前數的數，如100，99，98……

生5：倒數的乘積是1.

問題2：學習倒數有什么用？

師：這節課我們就一起來探究這兩個問題，相信通過今天的學習你們對倒數會有更深的認識.

2.嘗試探究

生1：都是兩個數相乘的乘法算式.

生2：兩數相乘，乘積為1.

生3：兩個乘數的分子、分母互相顛倒.

3.初次釋疑.

師：像這樣的，乘積為1的兩個數互為倒數.

【設計意圖：課前引導學生針對“倒數”提出自己想知道的問題，引發學生強烈的好奇心，使學生進行主動提問、主動思考、主動探究.教師呈現算式，要求學生直接計算并觀察，對學生多樣化的表達進行放大處理.】

二、觀察表達，揭示關系【具象、抽象】

算一算，借助長方形的面積來進一步認識倒數.

提問：計算出長方形的面積，說說你發現了什么？

生1：面積都為1.

生2：長方形的長和寬相乘結果為1.

生3：互為倒數的兩個數分別作為長方形的長和寬，長方形的面積是1.

總結：長和寬互為倒數，長方形的面積為1.

【設計意圖：乘法運用在生活中一個重要模型為長方形的面積模型，利用長方形的面積模型突出乘積為1的兩個數互為倒數，淡化倒數的表面特征.】

三、對比分類，揭示意義

1.提問：你能否根據長方形的長、寬、面積三個量之間的關系利用倒數的知識自己創作一份表格？

2.學生作品展示

【設計意圖：在該環節中，教師要注意尋找乘積非1的錯例，1×1=1的作品、小數乘整數的作品、小數乘分數的作品進行辨析與討論，從而突出倒數的本質，淡化倒數的表面特征，同時引導學生討論1與0的倒數.在一個環節中解決本課的兩個重點知識，將碎片化知識系統化.】

3.學生辨析

提問：（1）觀察表格，你有什么想說的？

（2）以上六個表格中有什么相同點與不同點？

生1：第六個表格表示兩個量相加，倒數是兩個數乘積為1，因此第六個表格中0.75與0.25不成倒數.

生2：兩個量相乘可以表示底與高相乘，即平行四邊形面積.

生3：兩個量相乘乘積為1也可以表示單價、數量、總價之間的關系；時間、速度、路程之間的關系；工作時間、工作效率和工作總量之間的關系；平行四邊形的面積與底和高之間的關系；乘數、乘數與積之間的關系.

生4：只要滿足乘積為1，單價與數量、時間與速度、工作時間與工作效率、底與高中兩個因數之間都是互為倒數.

提問：觀察所有數據，你有什么發現？

生5：互為倒數的兩個數乘積為1，其他運算都不可以.

生6：互為倒數的兩個數不僅可以是分數，也可以是小數、整數，只要滿足乘積為1就可以.

生7：1×1=1，因此1的倒數為1.

【設計意圖：教師引導學生從面積模型、速度與時間、單價與數量等多個乘法意義的角度理解面積模型，突出倒數的內涵即乘積為1的兩個數互為倒數，從而淡化學生直觀感受它的外部特征“分子、分母互為顛倒”.分類的過程也是細致研讀表格的過程，表達分類理由也就是揭示量的變化規律.在分類過程中，教師引導學生關注各個表格間的相同與不同，由學生自主發現其規律從而突出倒數的內涵.教師也通過學生多個作品的展示與辨析，帶領學生逐個攻破乘積非1的錯例、解決1和0倒數的問題.】

4.總結：前面先給出長方形的長與寬求面積，發現面積都是1.現在已知乘積為1的長方形，求長與寬，我們一起來探究這一順一逆的過程.【板書】

四、抽象拓展，運用倒數【抽象】

下面四個長方形的面積都是1，請你填一填，并說說你是怎么想的.

生6：面積是1，那長與寬互為倒數.

提問：長方形的長與寬，有的是整數，有的是分數，有的是小數，它們都有倒數嗎？如何求一個數的倒數？

生1：1的倒數是本身.

生2：互為倒數的兩個數乘積為1，已知乘積為1，知道其中一個數，能求出這個數的倒數.

生3：求一個小數的倒數，可以用1除以這個小數得到小數的倒數，也可以先把小數換成分數，再求出倒數.

五、結合實例，反饋拓展【運用】

1.提問：0有倒數嗎？說一說你的想法.

預設1：0×0=0，互為倒數的兩個數乘積為1，不符合.

預設2：0×1=0，改為除法算式1÷0無意義，0不可以做除數.

2.學習倒數的作用

提問：在課前，很多學生也提出學習倒數有什么用，通過這節課的學習你發現倒數有什么作用嗎？

生1：用倒數知識可以求面積為1的長方形的長與寬.

生2：用倒數的知識求出一個乘積為1的乘法算式中的乘數.

3.游戲環節———找互為倒數的好朋友.

師：老師在開學前給每個學生準備了一張愛心卡，今天我們利用手中的愛心卡來玩一個倒數的游戲吧.

活動要求：每個成員拿著一個數，去找互為倒數的兩個數，組成好朋友，并向對方說明能夠成為好朋友的原因.

【設計意圖：通過游戲的形式鞏固倒數的內涵與外延，呈現兩數相加、相減、相除得數為1的形式，最簡分數與非最簡分數的形式，小數、分數、整數以及0的形式，在對比中突出倒數概念的內涵，增加學習的趣味性，發展學生團結友愛的精神.】

教學板書

教學總結

1.基于學生知識構建課堂

由于學生課前所接觸的知識不同，因此不同學生對倒數有不同的理解，教師基于學情利用課前小測提前對學生進行摸底調查，發現學生對倒數的理解大部分停留在分數的分子分母互相顛倒的層面上，因此教師將本節課的教學重點與難點確定為多角度構建概念，淡化倒數的表面特征，從多角度理解倒數的本質，即乘積為1的兩個數互為倒數.

2.深度與寬度相結合

倒數的表面特征是“分子、分母顛倒”，教師借助不同的乘法模型引導學生感知乘積為1的兩個量互為倒數.深度挖掘倒數的本質含義與多角度構建概念的全過程.同時，教師在乘法的意義這個大背景下，梳理乘法現實意義與背景模型，豐富感知材料，提供不同角度的支撐依據，讓規律的驗證更加堅實與可靠.

【參考文獻】

[1]吳正憲，劉勁岑，劉克臣.小學數學教學基本概念解讀[M].北京：教育科學出版社，2014.

[2]王永春.小學數學核心素養教學論[M].上海：華東師范大學出版社，2019.

[3]龍月琴.小學數學概念深度學習的“五化”策略[J].福建基礎教育研究，2021（12）：85-87.