對作差法求數(shù)列通項的幾點思考

摘要：求數(shù)列的通項公式有很多方法，比如有公式法、累加法、累乘法、作差法、構(gòu)造法等。“作差法”是應用最普遍的方法，一般求數(shù)列通項的題目中只要涉及數(shù)列的前[n]和，通常都要考慮作差法。但是一樣的方法，真正做起來卻千差萬別，有的僅僅使用作差法這一種方法就可以應對，有的還需要輔助累加、累乘、構(gòu)造等方法，形式靈活多變，錯綜復雜。本文通過思考探究作差法求通項公式的題型，進一步找到解決問題的規(guī)律，從而為后續(xù)步驟打好基礎。

關(guān)鍵詞：作差法? 通項公式? 規(guī)律

問題提出：設數(shù)列[an]的前[n]和為[Sn]，如何求數(shù)列[an]的通項公式？

題型一：[Sn=an2+bn+ca，b，c∈R]型

例1.若 [Sn=3n2+2n]，求數(shù)列[an]的通項公式。

解： [a1=S1=5]，當 [n≥2]時，[an=Sn-Sn-1=3n2+2n-3（n-1）2+2n-1=6n-1]

綜上[an=6n-1].

結(jié)論1：如果一個數(shù)列的前[n]和[Sn]是關(guān)于[n]的含有常數(shù)項的二次式，即[Sn=an2+bn+c（a，b，c∈R）]，若[c=0]則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若[c≠0]，則這個數(shù)列從第二項起后續(xù)各項組成一個等差數(shù)列。

題型二：[Sn=kan+1+b（k≠0，且b≠0）]或[Sn=kan+b（k≠0，且b≠0）]

例2.若[Sn=3an+2]，求數(shù)列[an]的通項公式。

解：當[n=1]時，

[a1=S1=3a1+2]，解得[a1=-1]

當 [n≥2]時，[an=Sn-Sn-1=3an+2-3an-1+2=]

[3an-3an-1]

即[2an=3an-1]，? 因為[a1=-1≠0]，所以[an≠0]，即[anan-1=32]

數(shù)列[an]是以-1為首項，以[32]為公比的等比數(shù)列。所以，[an=-32n-1]

結(jié)論2：一般地，若[an]，[Sn=3an+1+2，a1=aa≠0]，我們有[an=Sn-Sn-1=kan+1+b-]

[kan+b=kan+1-kan，n≥2] ，

所以[（k+1）an=kan+1]，即[an+1an=k+1k]

當[n=1]時有[a=ka2+b] ，即[a2=a-bk]

當[a2a1=a-bka=k+1k]，即[a=-bk]時，數(shù)列[an]為等比數(shù)列。

當[a≠-bk且a≠0時]，數(shù)列[an]從第二項起為等比數(shù)列。

此時，[an=a，n=1a-bkk+1kn-2，n≥2]

題型三：[Sn、n、an]組合型

例3. [Sn=14an+12，且an>0]，求數(shù)列[an]的通項公式。

解： [a1=S1=14a1+12]，得到[a1=1]

當[n≥2]時，[an=Sn-Sn-1=14an+12-14an+12]

所以[4an=an2-an-12+2an-2an-1]

即[an2-an-12-2an-2an-1=0]

[an+an-1an-an-1-2an+an-1=0]

[an+an-1an-an-1-2=0]

因為[an>0]，所以[an+an-1>0]

[an-an-1=2]

數(shù)列[an]是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列。

[an=1+2（n-1）=2n-1]

結(jié)論3：形如[2ASn=a2n+Aan+B][A≠0，B≠0，]

[且an>0]，數(shù)列[an]為等差數(shù)列。

證明如下：

當[n≥2]時，[2ASn-1=a2n-1+Aan-1+B]

所以[2Aan=an2-an-12+Aan-Aan-1]

即[an2-an-12-Aan-Aan-1=0]

[an+an-1an-an-1-Aan+an-1=0]

[an+an-1an-an-1-A=0]

因為[an>0]，所以[an+an-1>0]

[an-an-1=A]

數(shù)列[an]是以[a1]為首項，以[A]為公差的等差數(shù)列。

結(jié)論4：對于一些復雜的含有[Sn]、n、an的數(shù)列求通項公式除了應用作差方法外，還要輔助其他的解答方法，比如累乘法、構(gòu)造法、累加法等等。

例4. [a1=1]，[nan+1=2Sn]，求數(shù)列[an]的通項公式。

法一：由于[nan+1=2Sn]①，則當[n≥2]時，[n-1an=2Sn-1]②，

①-②，得[nan+1-n-1an=2an]，即[an+1an=n+1n]，易知[a2a1=21]，

所以[an=a1?a2a1?a3a2?…?anan-1=1×21×32×…×nn-1=nn≥2]．

又[a1=1]滿足[an=n]，故[an=nn∈N*]

法二：由于[nan+1=2Sn]①，則當[n≥2]時，[n-1?an=2Sn-1]②，

①-②，得[nan+1-n-1an=2an]，即[an+1n+1=ann]，又易知[a22=a11]，

所以數(shù)列[ann]為常數(shù)列，所以[ann=a11=1]，所以[an=n].

結(jié)束語：綜上所述，“作差法”作為一種解決數(shù)列題的重要方法，題目給出遞推關(guān)系式的形式各具特色，呈現(xiàn)多樣化的特點，在本文中就涉及有簡單型的，有復雜型的，有直接給出型的，有間接給出型的。另外，對作差之后的“差式”處理變形工作對于后續(xù)的解題起著至關(guān)重要的作用。最常用的手段是分解因式、化分式為整式等；還有，有時要根據(jù)具體環(huán)境，通過合理變形，構(gòu)造一種新的等差或等比數(shù)列，從而使問題迎刃而解。

教師評語：孟子涵同學認真總結(jié)了作差法求通項的三種題型，在本文中應用八個例題輔助說明題型的特征和命題規(guī)律，題型一和題型二相對簡單易懂，題型三的已知條件比較復雜，但考查方式依然不變，對考生的計算能力有了更高的要求，該題型既考查了“作差法”，又重點考查了求數(shù)列通項公式的其他方法，通過“作差”，不但達到了化繁為簡的目的，而且“差式”也轉(zhuǎn)化為一個含有具體含義的代數(shù)式。從學生理解的角度看，孟子涵同學總結(jié)的用作差法求通項的題型比較全面，難度適中，完全可以被廣大高中生借鑒學習。 指導教師：潘文超