數學小結中的問題、對策與案例的研究

何小亞 張艷虹 羅 靜

1. 華南師范大學 數學科學學院(510631);2. 韶關學院 數學與統計學院(512005)

1. 研究緣起

2021 年5 月21 日,國家發布了《關于進一步減輕義務教育階段學生作業負擔和校外培訓負擔的意見》的文件,其中提出了“要提升課堂教學質量,向‘45 分鐘’要效率. ”的要求.于是,如何具體落實這一要求就成了數學教學研究的最迫切的問題.

那么,如何去評判一堂課的教學質量呢? 根據研究者長期的數學教育從業經驗,以及數學的“大道至簡”原則,最簡潔、有效的看點之一就是課堂小結. 因此,可以從課堂小結的視角去研究國內中小學數學課堂教學質量.

2. 文獻綜述

研究者界定“數學小結”為中小學數學課堂教學中的一個環節,它與“課堂小結”“小結”“歸納總結”等術語意義相同. 查閱中國知網,對近十年國內一些研究數學課堂教學效率和數學小結的重要文獻進行綜述. 一方面了解高效的課堂教學含義與高效的課堂教學要求的教學行為,為后續課堂實錄分析提供分析依據;另一方面了解數學小結主要的研究結論,為本文確立研究的切入點.

2.1 數學課堂教學效率

裴昌根,宋乃慶(2016)提出:發展學生的核心素養是國內外基礎教育改革與發展的重難點,而優質高效的課堂教學是發展學生核心素養最有效的途徑. 并指出優質高效課堂教學是指教師在遵循教學規律與學生認知規律的基礎上,激發并維持學生興趣,促進學生主動學習,在有限的時間和精力投入后實現三維目標,促進學生核心素養發展的過程.[1]

要提高數學課堂教學效率,教師必須要有高效的教學行為. 王光明(2011)提出,科學性視角的高效數學教學行為表現在: 能夠恰當確定教學目標以及教學重點與難點;重視促進學生的深刻理解;促進激發學生的數學求知欲;發揮數學的精神、思想與方法,獲得理性的數學思維教育.[2]

何小亞(2019)提出,數學教學當下存在的問題:例題習題分不清,學生參與成空談;方法先行失創新,問題解決難實行;標準缺失生亂象,數學本質未揭示;不良觀點引誤解,數學素養難實現. 數學教育的未來之路是以理解、探究、問題解決為價值取向,追求數學素養的達成,并促進學生核心素養的發展. 并提供了數學教學設計的專業標準和案例.[3]

綜上所述,高效的數學課堂教學應以提高數學素養為導向,以教學目標為抓手,促進學生核心素養的發展.

2.2 數學小結

2.2.1 數學課堂小結現狀

李善良(2015)以參加2012 年中國教育學會中學數學教學專業委員會主辦的全國高中青年數學教師優秀課觀摩與評比活動的教學錄像為研究材料,研究發現:高中數學教學關注課堂小結,多數課堂小結時間在2～5 分鐘,主要使用“你學到了什么知識”“你有什么收獲”等引導用語. 在課堂小結教學環節,教師設計各種問題引導學生進行活動,采取提要式和系統式等小結形式. 一些課堂還利用視覺化方式呈現小結內容. 高中數學課堂小結教學中存在模式化、機械化現象,學生仍然處于被動接受局面;課堂小結使用表格、圖形等呈現方式偏少,表現形式單一,有待進一步改進.[4]

值得注意的是,由于參賽各省為了獲得好成績,教師選手是優中選優,而且每節課都經過各省專家團隊的認真打磨,這已經不是平時真實的高中課堂教學.

2.2.2 數學小結存在的問題

季海霞(2011)指出高中數學課堂教師對課堂小結重視度太低;教師對課堂小結的角度、方法把握不明;學生在課堂小結中無地位; 課堂小結發揮的作用淺顯.[5]石鎖華(2015)認為課堂小結被忽視;小結方式單調;小結問題指向不明;小結過程缺乏學生參與.[6]

2.2.3 數學小結方法

許瑞珠(2016)從課型的角度給出了概念課、原理課、習題課、復習課的課堂小結模式.[7]李佑武(2013)指出了初中數學教學中課堂小結常用的方法有懸念式、音韻式、歸納式、設問式、目的式和表格式.[8]徐章韜(2016)提出了,單元小結課的設計要做知識、方法的梳理和問題鏈的設計. 強調知識的整體觀、系統觀、來源、發展歷程,展示知識的獨特性、發展性、關聯性,體現知識的應用性、工具性和功用性,把知識轉化為見識.[9]季海霞(2011)指出數學小結的主體是學生,從教學目標出發,在知識與技能、數學學習方法、情感態度與價值觀三方面提出了小結的方法[5]. 其它研究相比,上述三種小結方法是有層次的, 但第二維度只提學習方法是不夠的,而且每一維度的操作性內容需要明確.

現有研究對“小結什么,誰來小結,小結多久,小結的表達方式”進行了探索,發現小結研究需要關注小節的內容、主體、時長、呈現方式等維度,見表1.

表1 數學小結研究的維度

小結內容有目標、內容、效果三個關注點. 教學內容服務于教學目標,回顧數學知識內容與數學思想的言語陳述的小結是膚淺的, 必需從科學的教學目標角度來確認小結內容.數學教學效率低下的根本原因是教師不清楚要學生理解什么和會做什么. 另外,學與教的效果是小結評價的關注點. 此外,在當前作業減少甚至是無作業的“雙減”背景下,把握好小結環節的主體、時長、呈現方式,是教學質量提升的保證.研究者關注以下三點:

A.以上研究主要以高中課堂為主,初中課堂較少. 那么初中與高中課堂的小結有什么共性和差異;

B.經歷了最近兩次的課程改革,當下中學數學課堂教學的小結還存在什么問題;

C.在以核心素養為標志的課程改革以及“要提升課堂教學質量,向‘45 分鐘’要效率.”的背景下,需要解決數學小結存在的普遍性問題,需要審視現有數學小結的方法,更需要研究數學小結的內容,并構建合理、科學、簡潔、有效的數學小結的標準.

3. 研究問題

根據文獻綜述的總結,確定研究以下四個問題:

問題1:中學數學小結情況如何?

問題2:數學小結存在著什么問題?

問題3:解決數學小結問題的對策是什么?

問題4:符合數學小結專業標準的案例是什么樣的?

4. 研究方法

對于問題1 和問題2,研究者采用課例分析法.

課例樣本的選取:新授課、復習課、試卷點評課是數學課的三種基本課型,而新授課的從內容維度可分為概念、原理、問題解決三類課型. 因此,樣本的選取以覆蓋上述課型和內容為原則,也考慮了初、高中階段覆蓋. 最終,選取某地經選拔的初中骨干教師培養對象5 人(編碼為J1～J5)的教學錄像,以及隨機抽取中央廣播電視大學“百節名師風采課”中5位高中數學教師(編碼為H1～H5)的教學錄像作為研究材料.

分析流程

首先,完整觀看每一節教學錄像,建立表格從授課教師、年級/課題、授課類型幾方面填寫記錄視頻信息,并寫下點評.

然后,再次觀看每一節課的小結部分,在第一步的表格中補充小結時間、小結內容具體信息. 把小結的錄像視屏與聲音信息轉換成文字材料,然后按照知識與技能、過程與方法、情感態度價值觀的操作性定義[10]去分析.

對于問題3 和問題4,使用質性分析方法進行研究.

5. 研究結果

5.1 問題1 的研究結果

根據前述分析步驟形成了小結分析實錄,篇幅所限僅呈現簡要記錄. 如表2 所示.

從視頻分析記錄來看,不同學段、不同課型的小結大都是(4/7,樣本數10,其中3 個無小結環節)千篇一律地單調地問學生收獲、想法、認識;不管是骨干教師培養對象還是數學名師,他們的數學小結離專業標準有不少差距,小結的質量與教齡以及職業聲譽沒有直接關系.

5.2 問題2 的研究結果——數學小結存在的問題

5.2.1 時間控制不好,導致無法小結或者走過場的后果

J1、J2、H5 三位老師沒有小結. H1 老師的小結草草結束,只有15 秒. 復習課與試卷講評課不用小結嗎? 這個問題值得反思.

5.2.2 小結內容只是知識點和技能言語信息的羅列

J4、H1、H3、H4 都是問學到了什么? 或者你有什么收獲?從學生的自由回答材料中看出,學生的回答都是處于只是羅列知識點和技能的言語信息水平.

表2 中小學數學小結實錄

5.2.3 缺少“理解”和“會做”的具體內容

J1 的試卷講評課、J2 的問題解決課,沒有小結,只是給出怎么解的具體答案,并沒有把“理解”和“會做”的具體內容要點總結出來.

5.2.4 缺乏“把書讀薄”的結構性小結

除了J3、J5、H2 之外,其余的課沒有體現“把書讀薄”的結構性小結;

5.2.5 小結空泛,沒有針對性

H1 老師:好, 小結. 我們經歷了問題提出——問題分析-——問題解決, 在這過程中大家收獲了什么? 有什么啟示?“最后,讓我,用這句話共勉. ”顯示笛卡爾頭像及其名言:“我思故我在.”

教師用15 秒講了以上文字,沒有問題內容,沒有分析內容,如何解決問題? 也沒有講什么收獲. 這樣的小結空洞無物,可以套在很多課上.

5.2.6 小結失控,目標難以達成

許多老師喜歡問:“這節課你學到了什么? 有什么感受? ”如H3、H4 的小結由被問者自由發揮,天馬行空,難以保證質量.

盡管J4 也是問“學到了什么? ”,但已經把小結的目標限定在數學知識與數學思想方法兩個維度. 不過,除非在教學過程中已經滲透了且明確了數學思想,否則大多數學生難以總結出數學思想.

小結叫學生談收獲,效率太低. 一是浪費時間,二是學生的個人收獲層次低,三是并沒有解決你要學生會做什么? 理解什么? 5 類重要的過程性目標無法強化落實,難以實現查缺補漏、畫龍點睛,大面積提高教學質量的目標.

5.2.7 按照追求數學素養達成的教學標準[3],J5 的小結是所有課中最好的. 通過提問具體的內容來強化重點、難點和關鍵, 解決了小結失控問題與師生互動問題. 不過, 注意“去分母需注意”的第二點的效果需要通過反例來強化.

J5 老師展示PPT,進行課堂總結:

提問1:本節課我們學習了什么內容?

提問2:去分母的依據是什么?

提問3:去分母的作用是什么?

提問4:怎樣去分母?

提問5:去分母有什么需要注意?

師:(1)本節課所學去分母有三個細分步驟和兩個易錯提醒;(2)“去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化1”是解決一切一元一次方程的利器;(3)本節課體現了化歸的數學思想,體會“追求簡單化”的數學靈魂,感受數學文化的魅力.

圖1 課例“解一元一次方程——去分母”小結

J5 老師比較熟悉數學教學設計的標準,這節課的整體教學設計及其小結設計符合追求數學素養達成的教學設計標準,最終成為廣州市初中數學公開課的范例.

5.3 問題3 的研究結果

要解決數學小結存在的問題,必須要從國家第九次數學課程改革的視角出發,解決好核心問題:未來的數學教育要到哪里去? 如何實施高效的數學課堂教學設計? 文獻[3]已經指出:數學教育的未來之路是以理解、探究、問題解決為價值取向,追求數學素養的達成,最終促進學生核心素養的發展,并給出了追求數學素養達成的教學設計標準與案例. 我們綜合文獻綜述中高效數學課堂的要求及文獻[11]和[12],結合2.3 中對文獻綜述結果表1 的分析,根據三維目標形成數學小結的內容框架:

知識與技能:知道什么? 理解什么? 會做什么?

這一維度指的是數學基礎知識和基本技能. 其內容主要包括三類:一類是數學概念、數學原理(即數學定理、性質、公式、法則)、基本的數學事實結論這樣一些用于回答“是什么”問題的陳述性知識,它屬于言語信息,人們戲稱之為語文老師教的數學;第二類是涉及到數學概念、數學原理、基本的數學事實結論的運用,用于回答“做什么”的問題的程序性知識,它屬于認知技能;第三類是數學操作性技能,它屬于動作技能.

過程與方法:數學的思想、能力(包括數學核心素養的操作性定義)、問題解決、思維品質、眼光和數學活動經驗).

具體內容是:通過數學學習過程,把握數學思想方法;培養數學能力(包括數學核心素養的操作性定義);提高問題解決能力[13]; 改善數學思維品質(廣闊性/深刻性/靈活性/獨創性/批判性/嚴謹性),發展數學眼光(觀察數學世界和真實世界的一種意識,是在思考問題時數學方面的自覺意識、關注和習慣)包括:精確的眼光、嚴謹的眼光、簡潔的眼光、概括的眼光、統一的眼光、理想化的眼光(將實體簡化假設為幾何模式或代數模式)、共性化的眼光(對共同屬性的敏感、直覺和發現);數的意識、符號的意識、空間觀念、數據分析的意識、數學應用的意識);積累基本活動經驗.

情感態度價值觀:數學信念價值觀、數學興趣、數學具體內容的喜好感受.

這里的情感是指,在數學活動過程中的比較穩定的情緒體驗. 數學態度是指,對數學活動、數學對象的心理傾向或立場. 表現出興趣、愛好、喜歡與否、看法立場.

數學態度包括對數學學科的態度(數學信念)、對數學的興趣、對數學具體內容的喜好.

這一維度目標的內容還包括宏觀的價值觀和數學審美觀,如:對數學的科學價值、應用價值和文化價值的看法;辯證法的觀點;數學的美:精確之美、嚴謹之美、簡潔之美、概括之美、統一之美,以及奇異、對稱、和諧之美.

數學小結的專業標準是: 以學生為主體,教師為主導,按照數學小結框架實施,并通過問題串的師生互動方式強化其中的要點.

5.4 研究問題4 的研究結果

按照上述數學小結的專業標準,開發了兩個高中數學課的小結案例.

案例1高一, 直線與平面平行的判定 (研究者開發,2021 年廣東省本科高校師范生教學技能大賽的獲獎設計)

圖1 “直線與平面平行的判定”小結

PPT 中教師的說明:

1. 利用定義,難以判斷直線與平面沒有公共點,為此探究出了化難為易的利器——直線與平面平行的判定定理;

2. 定理把空間問題化歸為平面問題,體現了化歸的數學思想.

3. 在真實世界(造橋、建房、掛黑板)和數學世界(立體幾何)中存在著無數個需要判定線面平行的問題. 生命有限,不可能窮舉一切. 用一個有限的線面平行判定定理,就可以駕馭無限的線面平行問題. 追求簡單化是數學的靈魂.

4. 老師非常喜歡這個定理!

原因之一是它能化難為易,它把一個用定義難以判定的線面平行問題化歸為簡單的線線平行問題;

原因之二是這個定理高度的概括性,即實現了以一個有限的定理可以解決真實世界和數學世界中無窮無盡的線面平行問題.

案例2高二,二項式定理 教學新設計[14](研究者開發,華南師范大學研究生“一生一優課”與基地學校“一師一優課”的同課異構示范課,其教學設計已經被《中學數學》雜志2021 年12 月號刊用.)

教師歸納總結:

(1) 回顧這節課, 發現容易算出(a+b)2=? (a+b)3=?(a+b)4=?,但面對(a+b)2021甚至是3031 次方、7071 次方等復雜的計算,需要學習數學家的思維方式——化繁為簡! 先提出一個一般化的問題,(a+b)n=? 但不知道n的大小,更難了! 化難為易! 退一步,海闊天空! 從特殊的例子中發現規律,進而得到了一般的二項式定理. 一般化和特殊化是化繁為簡的數學思想.

當然, 也可以用數學的另一個“大殺器”——“數學歸納法”來證明二項式定理.

(2)公式中的字母a,b本質上就是兩個框□,△,好多東西可以往里裝! 也就是說,字母是可變的(單個字母、數、單項式、多項式、分式、有理式、無理式),但是公式的結構是不變的. 例1 裝的是x和y,例2 裝的是1 和2x,例3 裝的是x和課堂練習裝的是x3和2x.

注意:通項公式指的是展開式中的第k+1 項,指的是第k+1 項的二項式系數,要與項的系數區別開來.

(3)今天,同學們學習了一個厲害的定理,簡直是個“大殺器”! 只用簡單的3 個字母就簡潔地表示出無窮無盡的組合搭配,它對任意大的正整數以及千變萬化的字母n的取值都適用,它做到了以一個有限的模式駕馭無窮的具體, 直擊數學的靈魂——追求簡單化! 這便是牛頓于22 歲時研讀沃利斯博士的《無窮算術》后引發思考從而發現的二項式定理,其在組合理論、開高次方、高階等差數列求和以及差分法等方面都有非常廣泛的應用.

(4)同學們, 請大家猜一猜:老師喜不喜歡二項式定理?恭喜你! 你猜對啦! 老師太喜歡二項式定理了,原因有三:

哈佛大學的約書亞·古德曼教授的一項研究發現,數學越好的人收入越高,接受數學教育的時間每多一年,畢業后的工資會多出10%,這表明:“數學就是財富”!

6. 研究結論

(1)數學小結存在著6 個方面的問題:時間控制不好,導致無法小結或者走過場的后果; 小結內容只是知識點和技能言語信息的羅列;缺少“理解”和“會做”的具體內容;缺乏“把書讀薄”的結構性小結; 小結空泛, 沒有針對性; 小結失控,目標難以達成.

(2)解決數學小結問題的對策是,按照追求數學素養達成的教學設計標準實施數學教學設計,并按照數學小結的標準實施3～5 分鐘的小結.

(3)按照專業標準所開發的案例,可以實現“向‘45 分鐘’要效率”,達到提高數學課堂教學質量的目的.

7. 問題討論

根據研究者所構建的數學小結標準,以及多年的從業經驗,下面呈現我們對一些典型課例的教學反思.

7.1 J2?壓軸題突破

J2 教師素質不錯,英俊瀟灑,有親和力和掌控力;口齒表達清晰,思路講解清楚,并注意到了啟發學生思考. 但有許多學生實際上沒有加入數學思維過程,如此難以保證課堂教學質量. 最遺憾的是,只講了一些具體的解法,但沒有把其上升到數學思想的層面:化歸思想. 要想提高學生獨立解決難題的水平,一定要教會學生解決問題的思維方式:由因導果,執果索因,追尋結論成立的充分條件,上下緊逼,前后夾攻,思路貫通,并把追求簡單化的數學靈魂貫穿始終.

7.2 J4?整式及其加減

(1)為什么要學習本節內容? 要回答好學習重要的、起始性的新知識的必要性, 就需要創設情境教學環節1 來解決.教師要強調,以后我們會遇到大量的、復雜的多項式的運算.遇到復雜的代數運算,數學家的策略就是化繁為簡. 那么在一個復雜的、長長的多項式中,哪些項可以合并化簡呢? 直接就所舉例子:如果x可取-100～100 中的任意整數,那么代數式-8x2+6x+7x2-5x+x2+3 的值是多少? 問此代數式中有幾個x的平方? 幾個x? 他們可以分別合并. 接著指出他們有共同的特點,他們叫做同類項,可以合并. 那么,什么叫做同類項? 除了這兩種同類項之外,還有那些同類項呢?接著轉到同類項的定義這個環節2.

(2)在環節2,要明確同類項是滿足特殊條件的單項式,本質上是數和一些字母相乘,沒有加減運算.

(3)合并同類項的難點是“同類項的識別”. 克服這一難點的關鍵是,區分系數和字母部分,而且把字母部分當一個整體(母機——字母組成的機器)看待. 判斷同類項、合并同類項的標準是:不看系數看“母雞”,是不是一樣的“母雞”,就看它是不是有相同字母而且個數相同;一樣的“母雞”才能合并,合并系數即可.

7.3 H1?橢圓

(3)這節課的目標定位合適嗎? 能用一個具體的方程代替一般的標準方程? 如果可以,那么如何落實這些目標:解析幾何的思想? 數形結合的思想? 運算化簡能力? 為何引進b,其幾何意義? 如何深化能力:“求曲線的方程實質上就是求該曲線上任意一點的坐標所滿足的關系式. 為此,需要建立直角坐標系,設點坐標,抓住該曲線上的點滿足的幾何性質,將此幾何性質代數化得出方程,證明這個方程就是所求的方程. ”? 得出了方程為何還要證明? 如何強化曲線與方程的關系?

如何感受“追求簡單化”這一數學的靈魂? 如何感受數學的簡潔、對稱、概括、統一之美?

(4) 你知不知道法國數學家笛卡爾, 是一個對感覺、數學、邏輯均懷疑的哲學家? 你能理解“我無法否認自己的存在,因為當我否認、懷疑時,我就已經存在! ”這樣的解釋嗎?

用“我思故我在.”與學生共勉? 共勉什么? 它和這節課所做的4 件事有什么關系? 其必要性與合理性何在?

7.4 H4?函數的應用

與許多老師相比,3 分19 秒小結時間已經不短. 但讓5個學生先自由地說其想法,教師再總結兩點:一是何為函數?二是函數是一種重要的數學模型. 如此的小結難以保證小結的質量. 請反思以下三點:

(1)又學了一個學期的函數,對函數的理解是不是應該再上一個臺階:函數是兩個非空數集之間的一種對應關系;在一個集合中任意取定一個數,總可以在另一個集合里找到唯一確定的數與它對應;函數概念中兩個變量的符號不是固定的. 函數其實就是一個系統,一臺機器,它由兩個變量,兩個非空數集,對應法則f構成,不能把函數值f(x)當成函數,也不能把對應法則f當成函數. 我們可以說一個變量是另一個變量的函數,但不能把變量x、y當成函數,因為函數不是變量,而是一個系統.[15]

(2)沒有給出數學建模的概念以及準確的數學建模流程圖,更沒有指出數學建模中的核心環節理想化.

(3)都到學期末了,還沒有解決為什么要學習基本初等函數? 這節課需要強化哪些數學思想?

7.5 H5?頻率與概率

十分遺憾,如此重要的概念新授課居然沒有小結? 經過小學、初中與此相關領域的學習,到了高中,教師是不是應該讓學生明白以下幾點[16]:

(1)概率論是研究隨機現象的科學,隨機現象是通過隨機試驗來研究的. 概率是反映隨機事件發生的可能性大小的數值,人們常常用它來研究刻畫隨機現象. 隨機事件由隨機試驗來確定. 這一理想化的理論數值無法通過具體實踐獲得.但人們可以通過大量的重復試驗獲得的頻率來估計概率的大小.

(2)突破教材限制,理解好三個概念:隨機試驗、基本事件、隨機事件.

隨機試驗的每一個結果叫做基本事件, 也叫做樣本點,所有樣本點的集合叫做樣本空間?. 樣本空間的子集A(空集和? 除外)叫做隨機事件.

需要指出的是,鑒于樣本容量的限制,我們對這項研究的外在效度持謹慎的態度.

8. 研究展望

通過數學小結標準的實施可以提高數學課堂教學質量,但如何結合本節課的定位與數學內容來明確各個層次的具體內容就成了關鍵. 數學教學低效的主要原因是教師不知道理解數學要理解什么? 也不清楚到底要教會學生什么? 因此,要提高學生的數學素養,首先就要提高教師的數學素養. 于是,如何幫助教師深刻認識數學和欣賞數學? 如何提高教師對數學具體內容的理解水平? 就成了教師教育必須研究解決的基礎問題.

以提高學生數學素養為目的,以三維目標為邏輯起點的數學小結標準中的師生角色定位是:以學生為主體,教師為主導. 在實際操作過程中,如何避免出現脫離學生實際的教師完全主導現象,就成了今后研究應關注的問題.

信息技術的普及,使得“黑板+粉筆”的教學模式被弱化了. 好的2×3 塊板書能把教學過程、重點和難點完整展示在學生眼前,而線性呈現的PPT 總會被下一張覆蓋. 前者展現了“可溯源”的思維過程,為數學小結的實施、強化提供了認知的支持. 而后者只能靠記憶的模糊再現. 缺少思維過程的整體展示,難以達到高效的強化作用,使數學小結失去了認知的基礎. 于是,信息技術大趨勢背景下,解決PPT 小結的局限性就成了今后十分迫切的研究問題.