橢圓及其輔助圓的6個(gè)弦長(zhǎng)命題

山東省泰安市寧陽(yáng)縣第一中學(xué)(271400) 劉才華

我們知道, 連接橢圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作橢圓的弦, 通過(guò)橢圓焦點(diǎn)的弦叫作橢圓的焦點(diǎn)弦, 通過(guò)橢圓中心的弦叫作橢圓的中心弦.

定義1過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與過(guò)焦點(diǎn)的軸垂直的弦叫作橢圓的通徑. 易得橢圓的通徑長(zhǎng)為

圖1

定義2以橢圓的長(zhǎng)軸為直徑的圓叫作橢圓的輔助圓.

對(duì)于橢圓及其輔助圓,通過(guò)研究,我們得到如下6 個(gè)與弦長(zhǎng)相關(guān)的命題.

命題1如圖1,圓? 為橢圓Γ 的輔助圓,AB為過(guò)橢圓Γ右焦點(diǎn)F的焦點(diǎn)弦,CD為過(guò)F的圓? 的弦,且AB ⊥CD,則|AB|·|CD|2=8ab2.

證 明(1) 當(dāng)AB為 橢 圓Γ 的 長(zhǎng) 軸 時(shí),|CD|=則|AB|·|CD|2= 2a×4b2=8ab2.

(2) 當(dāng)AB為橢圓Γ 的通徑時(shí),CD為橢圓的長(zhǎng)軸, 由8ab2.

(3) 當(dāng)AB不為橢圓Γ 的長(zhǎng)軸且不為通徑時(shí), 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 直線AB的方程為y=k(x-c), 將其與橢圓方程聯(lián)立并消去y得(k2a2+b2)x2-2k2a2cx+k2a2c2-a2b2=0,則由橢圓的焦半徑公式得

直線CD的方程為即x+ky-c= 0.圓心O到直線CD的距離為

則

綜上得|AB|·|CD|2=8ab2.

命題2如圖2,圓? 為橢圓Γ 的輔助圓,F為橢圓Γ 的右焦點(diǎn),AB為橢圓Γ的中心弦,CD為過(guò)F的圓? 的弦, 且AB ⊥CD, 則|AB|·|CD|=4ab.

圖2

證明(1) 當(dāng)AB為橢圓Γ 的長(zhǎng)軸時(shí),|CD|=由|AB|= 2a得|AB|.|CD|= 2a×2b=4ab.

(2) 當(dāng)AB為橢圓Γ 的短軸時(shí),CD為橢圓的長(zhǎng)軸, 由|CD|=2a得|AB|.|CD|=2b×2a=4ab.

(3) 當(dāng)AB不為橢圓Γ 的長(zhǎng)軸和短軸時(shí), 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 直線AB的方程為y=kx, 將其與橢圓方程聯(lián)立并消去y得(k2a2+b2)x2-a2b2= 0,則從而

直線CD的方程為即x+ky-c= 0.圓心O到直線CD的距離為則

綜上得|AB|.|CD|=4ab.

命題3如圖3, 圓?為橢圓Γ 的輔助圓,AB為過(guò)橢圓Γ 右焦點(diǎn)F的焦點(diǎn)弦,過(guò)橢圓Γ 的右頂點(diǎn)P與直線AB平行的直線交橢圓Γ 于C, 交圓? 于Q, 則|AB|.|PQ|=2a|PC|.

圖3

直線PQ的方程為y=k(x-a),圓心O到直線PQ的距離為故

所以|AB|.|PQ|=2a|PC|.

命題4如圖4, 圓?為橢圓Γ 的輔助圓,AB為過(guò)橢圓Γ 右焦點(diǎn)F的焦點(diǎn) 弦, 直 線AB交 圓? 于C,D, 則a2+b2.

證明(1) 當(dāng)AB為橢圓Γ 的通徑時(shí),由得

圖4

(2) 當(dāng)AB不為橢圓Γ 的通徑時(shí), 設(shè)直線AB的方程為y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2), 同命題1 的證明, 得|AB|=|AF|+|BF|=

直線CD的方程為y=k(x-c),即kx-y-kc= 0.圓心O到直線CD的距離為

則

命題5如圖5, 圓? 為橢圓Γ 的輔助圓,F為橢圓Γ 的右焦點(diǎn),AB為橢圓Γ 的中心弦, 過(guò)F與直線AB平行的直線交圓? 于C,D, 則

圖5

證明(1) 當(dāng)AB為橢圓Γ 的短軸時(shí),由|AB|= 2b得

(2) 當(dāng)AB不為橢圓Γ 的短軸時(shí), 設(shè)直線AB的方程為y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2), 由命題2 的證明得直線CD的方程為y=k(x - c),由命題4 的證明得則

命題6如圖6, 圓?為橢圓Γ 的輔助圓, 過(guò)?上任意一點(diǎn)P作橢圓Γ 的兩條切線, 切點(diǎn)為A,B, 直線AB分別交x軸,y軸于點(diǎn)M,N,O為坐標(biāo)原點(diǎn), 則

圖6

證明設(shè)P(acosθ,asinθ),θ ∈[0,2π),則直線AB的方程為得則

關(guān)于橢圓及其輔助圓應(yīng)有許多優(yōu)美的性質(zhì),讀者可以進(jìn)一步深入研究.