馬爾可夫鏈與2023年高考新課標I卷第21題

福建省晉江市磁灶中學(362214) 李桂祥

福建省南平市高級中學(353000) 江智如 蔡 珺

以數列知識為背景的概率統計題型是近些年高考與模擬考的熱點,特別是以全概率公式為載體考查數列遞推關系的題型成為新高考的常客. 不僅能夠考查考生數學閱讀能力,抽象概括能力、數學建模能力和數據分析能力,更是培育學生核心價值,發展學科素養的有效載體,如2023 年全國高考新課標I 卷第21 題、2022 年湖北省八市高三聯考第20 題、2023 年杭州高三二模質檢第21 題等. 一方面,這類問題閱讀量大,綜合性強,考生需要在有限時間內對文字提取、分析、建模、演算,通過扎實的數學能力與綜合學科素養,方能順利解決問題. 另一方面,考生利用所學高中概率知識技能、思想方法及積累的活動經驗,借助常見的概率模型思想,依托數學建模和數據分析素養[1],從高觀的角度研究分析問題,登高望遠, 可迎刃而解. 2023 年全國高考新課標I 卷第21 題是一道基于時間序列遞推的概率試題,考查全概率公式與數列遞推公式等知識,其背景知識是高等數學中馬爾可夫鏈模型,體現試題的區分與選拔功能. 本文從馬爾可夫鏈模型視角,對試題溯源探究,踐行“以考促教、以考促學”目的[2],為新課程下基于數學建模核心素養的高中概率統計教學提供思路[3].

1 試題呈現

試題(2023 年高考新課標I 卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若未命中則換為對方投籃. 無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1 次投籃的人選,第1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i次投籃的人是甲的概率;

(3)已知:若隨機變量Xi服從兩點分布,且

P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi, i=1,2,··· ,n,

2 試題分析

本試題以條件概率為背景知識抽象出數列遞推關系式,考查全概率公式和數列遞推公式等知識,體現化難為易的數學轉化思想. 第(1)問設置第2 次投籃情況,面向全體考生,引導考生利用條件概率和互斥事件概率知識求解. 第(2)問比較抽象,需要考生從全概率公式角度,運用數列遞推關系思想,推導出第i次投籃概率的遞推公式,考查考生一般與特殊思想,推理論證能力,數據分析能力和運算求解能力. 第(3)以兩點分布的期望知識為載體,考查數列求和公式,體現對條件概率與數列遞推關系等相關“必備知識”[2]要求和考查,對高中概率統計教學有引導作用[2]. 由于《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡稱《課標2020年修訂》)增加數列遞推公式、全概率公式和貝葉斯公式內容[1]. 所以用簡單事件的運算表示復雜事件,利用概率的性質及概率公式簡化概率的計算, 不僅表達簡潔且條理清晰,而且能夠幫助考生梳理解決問題的思路,這種抽象思想方法具有一般性,能有效提升數學抽象、數學建模和數據分析素養[4].

3 溯源探究

筆者查閱相關資料,對試題溯源追根,發現人教社2019版數學A 版選擇性必修3 第53 頁“閱讀與思考”中介紹貝葉斯公式與人工智能的相關原理,并通過案例說明條件概率知識在推理和決策中重要作用,為本試題提供理論基礎. 在選擇性必修2 第6 頁例題4 依托謝爾賓斯基三角形引進數列遞推公式概念,并根據新課標的要求,適當加強數列問題中對運算、代數變換的運用,增加根據遞推公式探究數列性質的問題:如第39 頁的例12,第41 頁習題4.3 的第7、11 題,都是利用所給的遞推公式構造一個新數列,使該數列為等差數列或等比數列,再利用等差數列或等比數列的公式解決問題,具有一定的技巧性與難度,為試題提供運算方法案例.

此外,福建省漳州市2023 屆5 月質檢卷第20 題與試題相似度頗高,殊途同歸,考查以時間序列為背景的概率問題.浙江省杭州2023 年高三二模卷第21 題以馬爾可夫鏈為載體,考查經典的賭徒模型問題,其背景知識仍然是時間序列的概率問題.

題目1(溯源1: 福建省漳州市2023 屆高三畢業班第四次教學質量檢測20)某科研單位研制出某型號科考飛艇,一艘該型號飛艇最多只能執行n次(n ∈N?,n≥2)科考任務,一艘該型號飛艇第1 次執行科考任務,能成功返航的概率為p(0< p <1,n≥2),若第k次(k= 1,2,··· ,n-1)執行科考任務能成功返航,則執行第k+1 次科考任務且能成功返航的概率也是p,否則此飛艇結束科考任務. 一艘該型號飛艇每次執行科考任務,若能成功返航,則可獲得價值為X萬元的科考數據,且“X= 0”的概率為0.8,“X= 200”的概率為0.2;若不能成功返航,則此次科考任務不能獲得任何科考數據. 記一艘該型號飛艇可獲得的科考數據的總價值為Y萬元.

(1)若p=0.5,n=2,求Y的分布列;

(2)求E(Y)(用n和p表示).

題目2(溯源2: 2023 年杭州高三二模質檢21) 馬爾可夫鏈是概率統計中的一個重要模型, 也是機器學習和人工智能的基石, 在強化學習、自然語言處理、金融領域、天氣預測等方面都有著極其廣泛的應用. 其數學定義為:假設我們的序列狀態是…,Xt-2,Xt-1,Xt,Xt+1, …, 那么Xt+1時刻的狀態的條件概率僅依賴前一狀態Xt, 即P(Xt+1|··· ,Xt-2,Xt-1,Xt) =P(Xt+1|Xt). 現實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈,例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進入幾場參與一個賭博游戲,每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以贏得1 元;每一局賭徒賭輸的概率為50%,且賭輸就要輸掉1 元. 賭徒會一直玩下去,直到遇到如下兩種情況才會結束賭博游戲:一種是手中賭金為0 元,即賭徒輸光;一種是賭金達到預期的B元,賭徒停止賭博. 記賭徒的本金為A(A ∈N?,A

當賭徒手中有n元(0 ≤n≤B,n ∈N)時,最終輸光概率為P(n),請回答下列問題:

(1)請直接寫出P(0)與P(B)的數值;

(2)證明{P(n)}是一個等差數列,并寫出公差d;

(3) 當A= 100 時, 分別計算B= 200,B= 1000 時,P(A)的數值,并結合實際,解釋當B →∞時,P(A)的統計含義.

4 概念界定

4.1 馬爾可夫鏈的基本定義

馬爾可夫鏈(Markov chain) 是由俄國數學家安德雷·馬爾可夫(Андрей Андреевич Марков)提出,是概率論和數理統計中的一個重要模型, 與自然科學、技術科學、管理科學、經濟科學以至人文科學有廣泛應用. 數學定義為: 考慮一個隨機變量的序列X={X0,X1,··· ,Xt,···}, 這里Xt表示時刻t的隨機變量,t= 0,1,2,···. 每個隨機變量Xt(t=0,1,2,···)的取值集合相同,稱為狀態空間S. 隨機變量可以離散的,也可以是連續的. 以上隨機變量的序列構成隨機過程(stochastic process).

假設在時刻0 的隨機變量X0遵循概率分布P(X0) =π0, 稱為初始狀態分布. 在某個時刻t≥ 1 隨機變量Xt與前一個時刻的隨機變量Xt-1之間有條件分布P(Xt|Xt-1), 如果Xt只依賴于Xt-1, 而不依賴于過去的隨機變量{X0,X1,··· ,Xt-2},這一性質稱為馬爾可夫性,即P(Xt|X0,X1,··· ,Xt-1) =P(Xt|Xt-1),t= 1,2,···.具有馬爾可夫性的隨機序列X={X0,X1,··· ,Xt,···}稱為馬爾可夫鏈(Markov chain)或馬爾可夫過程(Markov process). 條件概率P(Xt|Xt-1)稱為馬爾可夫鏈的轉移概率分布. 轉移概率分布決定了馬爾可夫鏈的特性.

(1)一步轉移概率矩陣[5]

記pij=P(Xt=j|Xt-1=i),則矩陣

(2)n步轉移概率矩陣

為馬爾可夫鏈的n步轉移概率矩陣,規定

(3)兩個性質[6]

(Chapman-Kolmogorov 方程);

4.2 解題策略

依據《課標2020 年修訂》的要求[4]和高中學生的認知水平,馬爾可夫鏈可以概括為:“某一時刻狀態轉移的概率只依賴于它的前一個狀態”. 在實際應用中,常見有賭徒模型和傳球模型等,其一般解題步驟可以歸納為:

方法一先求出P(X0) =π0或P(X1) =π1;根據馬爾可夫鏈定義, 列出第t時刻的條件概率的遞推關系式:μ,η ∈R;根據數列遞推公式的“配湊法”求出第t時刻概率的通項公式Pt.

方法二從高觀的角度,對學有余力的學生,可以引導他們利用n步轉移概率矩陣進行求解,培養學生數學綜合能力,提高數學“關鍵能力”[2],為不同類型的的高校選拔人才.

5 試題解析

試題解析(一)(1)設事件A:第2 次投籃的人是乙,則由題可知第1 次投籃的人是甲,但甲未命中,或者第1 次投籃的人是乙,且乙命中,故P(A)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

(2) 設第i次投籃的人是甲的概率為p, 則當i= 1 時,p1= 0.5; 當i≥2 時, 第i次投籃的人選就由第i-1 次投籃人的命中情況決定. 若第i-1 次投籃的人是甲, 且甲命中, 則pi=pi-1×0.6; 若第i-1 次投籃的人是乙, 且乙未命中, 則pi= (1-pi-1)×0.2, 所以由互斥事件的性質知,pi=pi-1×0.6+(1-pi-1)×0.2 = 0.4pi-1+0.2.令pi+m= 0.4(pi-1+m),則pi= 0.4pi-1-0.6m,于是因為為首項,公比為0.4 的等比數列,從而化簡得,

(3)由(2)知,

試題解析(二)(1)設{Xm,m≥0}是具有兩個狀態的齊次馬爾可夫鏈,其中Xm=1 表示甲投籃,Xm=2 表示乙投籃,則初始概率為由條件概率可求,

(2) 下面根據矩陣的運算性質求解馬爾可夫鏈性質n步轉移概率矩陣p(n) =pn. 由|λI - P|=求得特征值λ1=1,時,解

得一個特征向量為e1=時,解

因此,第i次投籃的人是甲的概率

(3)同解析(一).

6 高考應用

題目1 解析(1)略;(2)設事件Zi為:若一艘該型號飛艇能執行第i次科考任務且在此次任務中獲得價值200 萬元的科考數據,則Zi=200,否則Zi=0,i=1,2,··· ,n. 于是由馬爾可夫鏈定義可求,P(Zi=200)=0.2·pi,P(Zi=0)=1-0.2·pi,所以E(Zi)=200×0.2·pi+0×(1-0.2·pi)=40pi. 因為Y=Z1+Z2+···+Zn,因此

題目2 解析(1) 當n= 0 時, 賭徒已經輸光, 所以P(0) = 1;當n=B時,賭徒到了終止賭博的條件,不再賭了,因此輸光的概率P(B)=0.

(2)設X表示賭徒有n元,最后輸光的事件;Y表示賭徒有n元上一場贏的事件, 則P(X) =P(X|Y)P(Y)+故P(n+1)+P(n-1)=2P(n),所以{P(n)}是一個等差數列. 設P(n)-P(n-1)=d,則P(n-1)-P(n-2)=d,…,P(1)- P(0) =d, 累加得P(n)- P(0) =nd, 故P(B)-P(0)=Bd,得

(3)由(2)知P(A)-P(0)=Ad,得當A= 100 時,若B= 200,則P(A) = 50%;若B= 1000,則P(A)=90%;若B →∞,則P(A)→1,因此可知久賭無贏家,即使是一個這樣看似公平的游戲,只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光.

7 教學建議

7.1 創設真實概率統計教學情境,培養數學閱讀能力

高考內容倡導加強理論聯系實際[8],概率統計試題重視情境設題的科學性、有效性、開放性和靈活性. 在日常教學過程中,教師可以真實問題為背景,以問題或任務為中心構建學習活動場景,引導學生進行獨立思考和理性判斷,理解掌握相關數學概念[9],教會學生“閱讀”,提高發現問題、分析問題和解決實際問題的關鍵能力[2].

7.2 加強數學建模思想滲透,提高信息識別與獲取能力

數學建模活動是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程. 概率統計是培養學生建模思想的有效載體,教師應發展學生科學思維,運用模型與建模等思維方法組織、調動相關知識與能力解決生活實踐或學習探索情境中的各種問題,學以致用,系統化、多層面、多角度地分析與獲取信息,促進創新思維的提升.

7.3 開展高觀教學,拓寬數學視野[10]

隨著課程改革的全面推進,近些年的高考試卷中經常出現一些高等數學背景的試題,如馬爾可夫鏈模型、Newton 迭代法等,試題按照“高等背景,初等解法”的原則進行設計,形式新穎、設計巧妙,既能開闊數學視野,有利于完成高等數學與初等數學的和諧接軌,又能有效地考查學生的思維能力和繼續學習數學的潛能. 在日常概率統計教學中,教師滲透高等數學知識與方法,可以拓展學生的思路,培養思維品質與數學素養.

7.4 設計“精致練習”[11],引導學生構建模型知識體系

高考數學對概率統計考查的關鍵點在于:學生能結合題目的情景,針對數學模型,運用相關數學知識求解模型. 在日常教學實踐中,教師通過設計“精致練習”,幫助學生熟悉概率統計模型,掌握建模思想的基本流程:“問題分析,提出假設,模型選擇或建構,模型求解,結果檢驗”,不斷完善與改進自己模型知識體系,提高模型創新能力.