2023年高考甲卷理科第21題的解法探究與推廣

廣東省湛江市寸金培才學校(524037) 魏 欣

2023 年高考甲卷理科第21 題的命制繼續聚焦學科主干知識,突出查考關鍵能力,彰顯數學學科核心素養的命題導向,必備知識方面主要考查函數與導數、三角函數、函數的單調性、求含參數不等式恒成立的問題等內容,能力層面突出考查學生的運算求解能力和推理論證能力. 下面以2023 年高考甲卷理科第21 題為例,進行深入探究和思考并總結出相關的性質結論與推廣,并給出其在歷年高考題中的應用.

一、經典試題展示與分析

題目(2023 年高考甲卷理科第21 題) 已知函數

(Ⅰ)當a=8 時,討論f(x)的單調性;

(Ⅱ)若f(x)

試題分析本題是三角函數與導數的綜合,作為壓軸題,難度很大,彰顯了綜合性要求. 高考數學試題的綜合性,一方面是數學學科內部各個主題的相互綜合,另一方面是數學學科和其他學科的綜合. 本題將導數與三角函數巧妙地結合起來,通過對導函數的分析,考查函數的單調性、極值等相關問題,通過導數、函數不等式等知識,深入考查分類討論的思想、化歸與轉化的思想、邏輯推理和數學運算的核心素養.

二、多角度多種解法探究

解 (Ⅰ)

其中4cos2x+3>0,cos4x>0.

由于問題(Ⅰ)較為簡單,下面主要對問題(Ⅱ)進行多角度多種解法解答與分析.

解法一:構造函數法

設g(x)=f(x)-sin 2x,x ∈[0,+∞),則

g′(x)>0,g(x) 在(0,arctan上單調遞增,g(x)>g(0)=0,f(x)>sin 2x,與已知矛盾.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法二:換元法

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法三:半分離參數法

依題意,ax <

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法四:放縮法

依題意,上恒成立;當時,易知0

下證:當a≤3 時,上恒成立;即證:上恒成立;令恒成立. 由于

故g(x)在上單調遞增,則g(x)>g(0),故a≤3.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法五:洛必達法則法

依題意,只需證明:在上恒成立;令

故a≤3.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

解法六:端點效應法

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,3].

三、解法比較分析與選擇

從上述的解法過程,不難發現,其思路各有側重.

基本策略解答過程主要適用題型難點分類討論分析參數對函數相應性質的影響,然后劃分情況進行相應分析.導函數轉為二次函數形式.如何分類.參變分類把參數和自變量進行分離,分離到等式或不等式的兩邊,把含參問題轉化為不含參數的最值、單調性、零點等問題.可參變分離,且新函數易處理.新函數的處理.通過充分性找范圍,再證必要性.通過理想狀態,找到參數范圍:a ∈I,再證明當a ∈I 時,原不等式不成立.端點效應.特殊點的選取.邏輯證明通過必要性找范圍,再證充分性.通過特殊狀態,找到參數范圍:a ∈I,再證明當a ∈I 時,原不等式成立.先猜再證.通過數形結合、切線放縮等方法,得到臨界值,再利用運動的思想,得到范圍,最后證明.參數具有幾何特征,易判斷運動趨勢.臨界狀態.不等式利用不等式找最值.先分離,通過構造“定值”選擇不等式.可分離.構造定值.

四、性質與定理推廣

根據含參數不等式恒成立求參數取值范圍的問題常常是高考的壓軸題. 這類題目靈活多變,解法多種多樣,一般的解法是利用題目的第I 問或第II 問的結果對參數分類討論,通過正、反兩個方面逐步篩選出結果. 可以引入了二階導數,依然要分類討論;也可以數形結合法,但部分題目所涉及函數的圖像不容易勾畫,有些題目出現了極限的運算,極限是高中課程中僅需“了解”的內容,對考生的要求不高;或者采用構造函數法. 下面就近幾年高考試題中四類求參數取值范圍的問題給出通法. 這種方法是先證明一個與“含參數不等式恒成立”結構相似的“不含參數恒成立的不等式”,然后對比這兩個恒成立的不等式,從而確定參數的范圍. 經探究,針對四種類型題目,給出如下四個定理.

題型一對于任意x≥0,都有F(x) ≥ax恒成立,求實數a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對于任意x≥0, 都有F(x) ≥F′(0)x恒成立”, 則F′(0) ≥a, 故實數a的取值范圍為(-∞,F′(0)].

定理一若F′(x)、F′′(x)在[0,+∞)都有意義,F(0) =0,F′′(x) ≥0,則對于任意x≥0,都有F(x) ≥F′(0)x恒成立(當且僅當x=0 時等號成立).

證明設G(x) =F(x)-F′(0)x(x≥0),則G(0) = 0,G′(x) =F′(x)-F′(0),G′′(x) =F′′(x) ≥0,G′(x)單調遞增,G′(x)≥0,F(x)-F′(0)x≥0(當且僅當x=0 時等號成立). 從而,對于任意x≥0,都有F(x)≥F′(0)x恒成立.

題型二對于任意x≥0,都有F(x) ≤ax恒成立,求實數a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對于任意x≥0, 都有F(x) ≤F′(0)x恒成立”, 則F′(0) ≤a, 故實數a的取值范圍為[F′(0),+∞).

定理二若F′(x)、F′′(x)在[0,+∞)都有意義,F(0) =0,F′′(x) ≤0,則對于任意x≥0,都有F(x) ≤F′(0)x恒成立(當且僅當x=0 時等號成立).

證明設G(x) =F(x)-F′(0)x(x≥0),則G(0) = 0,G′(x) =F′(x)-F′(0),G′′(x) =F′′(x) ≤0,G′(x)單調遞減,G′(x)≤0,F(x)-F′(0)x≤0(當且僅當x=0 時等號成立). 故對于任意x≥0,都有F(x)≤F′(0)x恒成立.

題型三對于任意x≥0,都有F(x) ≥ax2恒成立,求實數a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對于任意x≥0, 都有F(x) ≥故實數a的取值范圍為

定理三若F′(x),F′′(x),F′′′(x) 在[0,+∞) 都有意義,F(0) = 0,F′′′(x) ≥ 0, 則 對 于 任 意x≥ 0, 都 有恒成立(當且僅當x=0 取等號).

證明設則G(0)=0,G′(x)=F′(x)-F′′(0)x,G′(0)=F′(0),G′′(x)=F′′(x)- F′′(0),G′′(0) = 0,G′′′(x) =F′′′(x) ≥0,G′′(x)單調遞增,G′′(x) ≥0(當且僅當x= 0 取等號),G′(x) 單調遞增,G(x) ≥0(當且僅當x= 0 取等號), 對于任意的恒成立(當且僅當x=0 取等號).

題型四對于任意x≥0,都有F(x) ≤ax2恒成立,求實數a的取值范圍.

容易理解, 若能證明“對于任意x≥0, 都有F(x) ≤故實數a的取值范圍為

定理四若F′(x),F′′(x),F′′′(x) 在[0,+∞) 都有意義,F(0) = 0,F′′′(x) ≤ 0, 則 對 于 任 意x≥ 0, 都 有恒成立(當且僅當x=0 取等號).

證明設則G(0) = 0,G′(x) =F′(x)- F′′(0)x,G′(0) =F′(0),G′′(x)=F′′(x)-F′′(0),G′′(0)=0,G′′′(x)=F′′′(x)≤0,G′′(x)單調遞減,G′′(x) ≤0(當且僅當x=0 取等號),G′(x)單調遞減,G(x) ≤0(當且僅當x= 0 取等號), 對于任意的恒成立(當且僅當x=0 取等號).

五、定理的應用

縱觀近幾年高考函數與導數壓軸題, 都考查此類問題,體現了高考試題“常考常新,推陳出新”的理念,所以我們要對這類問題進行總結,并提出更加簡便的通性通法,對解法的探索是在踐行所學的知識技能和思想方法.

例1(2023 年高考甲卷文科第20 題節選) 已知函數若f(x)+sinx<0,求a的取值范圍.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,0].

例2(2019 年高考全國Ⅰ卷文科第20 題節選) 已知函數f(x) = 2 sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導數. 若x ∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.

簡析通過轉化和換元可以得到: 對于任意的x ∈[0,π] 時, 都有2 sinx - xcosx - x≥ax恒成立. 設F(x)=2 sinx-xcosx-x(0 ≤x≤π),所以F(0)=0. 所以F′(x) = cosx+xsinx-1(0 ≤x≤π), 所以F′′(x) =xsinx≥0,因為F′(0)=0,而且對于任意的x ∈[0,π],都有2 sinx-xcosx-x≥ax恒成立,由定理一得:a≤0.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,0].

例3(2016 年高考新課標卷II 文科節選) 已知函數f(x) = (x+1)lnx-a(x-1),若對于任意的x >1,都有f(x)>0 恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析通過轉化和換元可以得到:對于任意的x >0 時,都有(x+2)ln(x+1)>ax恒成立. 設F(x)=(x+1)ln(x+所以因為F′(0) = 2, 以及對于任意的x >0,都有(x+2)ln(x+1)> ax恒成立,由定理一得:a≤2,故實數a的取值范圍為(-∞,2].

例4(2014 年高考陜西卷理科節選) 函數f(x) =ln(x+1),g(x) =xf′(x),f′(x) 是f(x) 的導函數, 若對于任意x≥0,f(x)≥ag(x)恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析因為所以通過轉化可以得到:對于任意x≥0,都有(x+1)ln(x+1) ≥ax恒成立. 設F(x) = (x+1)ln(x+1)(x≥0),所以F(0) = 0,所以F′(x) = ln(x+1)+1, 所以因為F′(0) = 1,因為對于任意的x≥0,都有f(x) ≥ax恒成立,由定理一得:a≤1,故實數a的取值范圍為(-∞,1].

例5(2007 年高考全國卷I 理科節選) 已知函數f(x) = ex -e-x, 若對于任意的x≥0, 都有f(x) ≥ax恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析設F(x) = ex -e-x, 則F(0) = 0,F′(x) =ex+ e-x,F′′(x) = ex -e-x≥0,F′(0) = 2, 因為對于任意的x≥0,都有f(x)≥ax恒成立,由定理一得:a≤2,故實數a的取值范圍為(-∞,2].

例6(2006 年高考全國卷II 理科節選) 已知函數f(x)=(x+1)ln(x+1),若對于任意的x≥0,都有f(x)≥ax恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析設F(x)=(x+1)ln(x+1)(x≥0),所以F(0)=0, 所以F′(x) = ln(x+1)+1, 所以F′(0) = 1,因為對于任意的x≥0,都有f(x) ≥ax恒成立,由定理一得:a≤1,故實數a的取值范圍為(-∞,1].

例7(2017 年高考新課標卷II 文科節選) 已知函數f(x) =(1-x2)ex,對于任意的x≥0,都有f(x) ≤ax+1恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析對于任意的x≥0,f(x) ≤ax+1 恒成立?對于任意的x≥0,(1-x2)ex -1 ≤ax恒成立. 設F(x) =(1-x2)ex-1,則F(0)=0,F′(x)=-2xex+(1-x2)ex,F′′(x) =-(x2+4x+1)ex <0,F′(0) = 1,因為對于任意的x≥0,(1-x2)ex -1 ≤ax恒成立,由定理二得:1 ≤a,故a的取值范圍是[1,+∞).

例8(2009 年高考陜西卷理科節選)已知函數f(x) =若f(x)的最小值為1,求實數a的取值范圍.

例9(2008 年高考全國卷II 理科節選) 已知函數若對于任意的x≥0, 都有f(x) ≤ax恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析設因為對于任意的x≥0,都有f(x)≤ax恒成立,由定理二得:故a的取值范圍是

例10(2018 年高考Ⅱ卷理科節選) 已知f(x) =ex - ax2, 若對于任意的x≥0, 都有f(x) ≥1 恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析通過轉化可以得到: 對于任意的x≥0, 都有ex -1 ≥ax2恒成立. 設F(x) = ex -1, 則F(0) = 0,因為對于任意的x≥0,都有ex -1 ≥ax2恒成立,由定理三得:故a的取值范圍是

例11(2010 年高考新課標卷文科節選) 已知f(x) =x(ex-1)-ax2,若對于任意的x≥0,都有f(x) ≥0 恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析通過轉化可以得到: 對于任意的x≥ 0, 都有x(ex-1) ≥ax2恒成立. 設F(x) =x(ex-1), 則F(0) = 0,F′(x) = (x+1)ex -1,F′′(x) = (x+2)ex >0,F′′′(x) = (x+3)ex >0,因為對于任意的x≥0,都有x(ex-1) ≥ax2恒成立,由定理三得:1 ≥a,故a的取值范圍是(-∞,1].

例12(2010 年高考新課標理節選) 已知函數f(x) =ex -1-x-ax2,若對于任意的x≥0,都有x≥0 恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析通過轉化可以得到: 對于任意的x≥0, 都有ex -1- x≥ax2恒成立. 設F(x) = ex -1- x, 則F(0)=0,F′(x)=ex-1,F′′(x)=ex >0,F′′′(x)=ex >0,因為對于任意的x≥0,都有ex-1-x≥ax2恒成立,由定理三得:故a的取值范圍是

例13(2020 年高考全國Ⅰ卷理科改編)設函數f(x) =-ex+x2-x,若對于任意的x≥0,都有f(x)≤ax2-1 恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析通過轉化可以得到: 對于任意的x≥0, 都有-ex -x+1 ≤(a-1)x2恒成立. 設F(x) =-ex -x+1,則F(0) = 0,F′(x) =-ex -1,F′′(x) =-ex <0,F′′′(x) =-ex <0,因為對于任意的x≥0,都有ex-1-x≥ax2恒成立,由定理四得:故a的取值范圍是

例14(選自2012 年高考天津卷理科) 設函數f(x) =x-ln(x+1),若對于任意的x≥0,都有f(x)≤kx2恒成立,求實數k的最小值.

簡析對于任意的x≥0,都有x-ln(x+1)≤kx2恒成立. 設F(x)=x-ln(x+1),則F(0)=0,F′(x)=因為對于任意的x≥0,都有x-ln(x+1)≤kx2恒成立,由定理四得:所以實數k的取值范圍是故實數k的最小值為

例15(選自2010 年高考湖北卷理科) 已知函數若對于任意的x≥1,都有f(x)≥lnx恒成立,求實數a的取值范圍.

簡析通過轉化和換元可以得到: 對于任意的x≥0,都有(x+ 1)ln(x+ 1)- x≤ax2恒成立. 設F(x) =(x+ 1)ln(x+ 1)- x, 則F(0) = 0,F′(x) = ln(x+ 1),因為對于任意的x≥0,都有(x+1)ln(x+1)-x≤ax2恒成立,由定理四得:故實數a的取值范圍是

縱觀近幾年高考導數壓軸題,求參數取值范圍的問題常常是高考的壓軸題,通常的解法是分類討論,但是考生在有限的考試時間內進行分類討論、等價轉化、繁雜運算,是很難正確解答的. 本文就近年高考試題中四類求參數取值范圍的問題給出通法,是先證明一個與“含參數不等式恒成立”結構相似的“不含參數恒成立的不等式”,然后對比這兩個恒成立的不等式,從而確定參數的范圍. 這樣,我們就可以大大減少運算量,避免分類討論等諸多復雜問題. 從高考真題的研究和反思中掌握高考的變化趨勢和命題規律,并將學科主干知識和基本思想方法融會貫通,舉一反三,從而明晰復習備考方向,提升備考效率.