圓的性質在圓錐曲線中的推廣

胡 麗

(息烽縣烏江復旦學校,貴州 貴陽 551100)

在新課程標準下利用向量和圓來研究圓錐曲線的特征與性質,并且在高考中考查圓的性質在圓錐曲線中的推廣而得出相應的結論也加強了對能力的考查[1],所以我們在平時教學中對圓性質的應用應該加以重視.

1 垂徑定理的推廣

圓中有一條性質叫“垂徑定理”:若AB為圓O的一條弦,P為AB的中點,則kOP·kAB=-1.

證明設A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則

2 圓周角為直角的推廣

在圓中有一條必須熟記的就是直徑所對的圓周角為90°,即“若AB為圓O的直徑,P為圓上異于A,B的任一點,則有kPA·kPB=-1”.這一結論可以在圓錐曲線中進行推廣.

證明設A(-x1,-y1),B(x1,y1),P(x0,y0),則

3 切線性質的推廣

3.1 圓的性質推廣1

AB為圓O非直徑的任一弦,圓O在A,B兩點的切線交于點P,則OP過弦AB的中點.這一性質在圓錐曲線中可以作如下推廣.

圖1 圓的性質推廣1圖

因此,橢圓在點A和點B的切線方程為

所以kOM=kOP.

即O,M,P三點共線.

結論7若過點P作拋物線y2=2px的兩條切線PA,PB,過點P作直線PM平行于x軸交弦AB于點M,則點M平分AB(如圖2).

圖2 結論7圖

3.2 圓的性質推廣2

設定點P到圓O上的點A的距離是點P到圓的距離,則圓O在點A處的切線與AP垂直.這一性質推廣如下.

結論8 設定點P(a,b)到圓錐曲線C上的點A的距離是點P到曲線C距離,則曲線C在點A處的切線與AP垂直.

證明設A(x0,y0),圓錐曲線在點P附近的單調曲線段為一個函數y=f(x),則

令y=(x-a)2+[f(x)-b]2,則

y′=2(x-a)+2[f(x)-b]·f′(x).

由于定點P(a,b)到圓錐曲線C上的點A的距離是點P到曲線C距離,所以y′|x=x0=0.

4 兩垂直割線的推廣

我們知道圓內接直角三角形的斜邊恒過一定點(圓心),通過特例的檢驗、大膽猜想、合理的證明,我們可以將這一性質推廣到圓錐曲線上.

結論9 設P(x0,y0)是拋物線y2=2px上一定點,A,B是拋物線上兩點,且滿足PA⊥PB,則AB過點(2p+x0,-y0).

證明設A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線上兩點,由PA⊥PB,得

(x0-x1)(x0-x2)+(y0-y1)(y0-y2)=0.

化簡可得(y0+y1)(y0+y2)=-4p.

所以y1y2=-4p-(y1+y2)y0-2px0.

另一方面,當x1≠x2時,

故AB所在直線方程為

所以直線AB恒過定點(2p+x0,-y0)(經檢驗當x1=x2時也成立).

通過對圓的重要性質的推廣,我們不難發現,圓的一些重要性質在解決圓錐曲線的問題時,使某些比較復雜難解的問題簡單化、明朗化,使學生對書本上的知識更容易理解,開拓了學生的數學眼界[2].

在高中數學教學中引導學生去探究這些統一性質,學生在解圓錐曲線題的過程中可以得心應手,也能培養學生對數學的探究熱情,更使學生在探究數學的過程中提升自己的數學素養.