師生共創開放課堂,生成問題培養思維*
——以一道初中數學作業題的評講為例

廣州市天河區匯景實驗學校(510640) 黃玉平 李偉程

1 案例背景

愛因斯坦曾經說過:“提出一個問題比解決一個問題更重要.”我國著名數學家華羅庚說過:“‘人’之可貴在于能創造性地思維”.同時,創新意識是《數學課程標準》中初中階段核心素養表現之一.作為一線教師的我們,如何培養學生能從日常生活、自然現象或科學情境中發現和提出有意義的數學問題呢? 眾所周知開放性數學問題是培養學生創新意識的重要載體.它培養學生解決問題的能力遵循提出問題→思考問題→解決問題,讓學生經歷發現、提出、分析、解決、優化的全過程.在這個過程中培養學生思維的探索性、靈活性、開放性,從而達到培養創新意識的目的.為此,筆者從一道《平面直角坐標系》關于點坐標的作業題的評講出發,探索如何提升學生的數學思維.

2 案例描述

2.1 作業原題

如圖,在平面直角坐標系中,已知A(1,2).

(1)求?ABC的面積.

(2)將?ABC向左平移2 個單位長度在向下平移3 個單位長度得到?DEF,請畫出平移后的三角形.

(3)求?DEF面積.

點評這是一道常規的、封閉的數學題.通過此題學生可以鞏固相關知識,但在解題過程中學生感受不到知識點之間的關聯,不能激發學生高水平思考.因而學生的思維水平在完成作業后沒有得到較大的提升.

2.2 創編變式題組,育創新思維之種

為了提升學生數學核心素養,達到培養學生創新性思維的目的,筆者在講評作業時把它改編如下:

如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標是(1,2).

問題1.將點A向右平移2 個單位長度,再向下平1 個單位長度的點坐標是____.

問題2.請你自行根據需要增加條件.若將點A進行適當的平移變化得到點B、點C,請你把相關正確結論寫出來.若將點A____得到點B的坐標是____.若將點A____得到點C的坐標是____.

問題3.連結點A、點B、點C,將?ABC平移得到?DEF.請畫出平移后的?DEF.

問題4.?DEF與?ABC有哪些相同? 有哪些不同?

設計意圖: 把原來封閉的題目改為開放性數學問題,學生可以根據自己的水平和意愿創造性地完成.在解決此開放性問題時學生需要對圖形平移的性質、在平面直角坐標系下點平移的規律和三角形面積的求法等進行深度探究.在此過程中學生對自己所學知識進行重構.通過這樣的問題讓學生主動提取知識儲備,重新進行創造.

教學引導: 學生先獨立思考,老師提出以下問題:

(1)點B和點C可以由點A怎樣平移得到?

(2)根據平面直角坐標系中點平移的規律,點B和點C的坐標是什么?

(3)?DEF可以由?ABC怎樣平移得到? 圖形的平移跟點平移的關系?

課堂實錄: 學生獨立完成后進行小組討論交流,最后展示: 每個小組向全班分享成果.

生1: 將點A向上平移2 個單位長度得到點B(1,4),向右平移3 個單位長度得到點C(4,2),得到的?ABC如圖1.

生2: 將點A向上平移2 個單位長度再向左平移3 個單位長度得到點B(-2,4),將點A向右平移3 個單位長度得到點C(4,2),得到的?ABC如圖2.

圖2

圖2

生3: 將點A向上平移1 個單位長度再向左平移2 個單位長度得到點B(-1,3),將點A向下平移1 個單位再向左平移3 個單位長度得到點C(-2,1),得到的?ABC如圖3.

圖3

師: 不同方法平移出來的?ABC各有何特征?

生4: 圖1 中?ABC有兩邊與坐標軸平行,圖2 中?ABC有一邊與坐標軸平行;圖3 中?ABC三邊均與坐標軸不平行.

師: 平移得到的?DEF與?ABC有哪些相同? 有哪些不同?

生5: 因為?DEF由?ABC平移得到,所以根據平移的性質這兩個三角的形狀和大小都沒有變化.不同的是他們的坐標不一樣了.但每一個點的平移規律又是一樣的.

點評: 此開放性題沒有所謂的正確答案,有利于學生思維的加工.同時激勵學生盡情發揮,從而調動了學生學習的積極性.學生享受到應用數學知識的樂趣,因而激發了學生學習數學的興趣.

2.3 師生共創問題,開創新思維之花

學生此時嘗到自由創編題目帶來的樂趣,學習的熱情高漲,均躍躍欲試.于是,老師順勢提出以下問題.

創編問題: 以問題2 中的點A,B,C的坐標為題干,提出一個問題并解答.

設計意圖: 將此題設計成條件和結論都開放的題目,可以使不同層次的學生根據自己的能力生成不同的問題,體現出每位學生的創造性,給不同層次的學生提供了自我展示平臺.

教學引導: 學生們獨立思考后均提出: 求?ABC面積.雖然問題單一,但這也比較契合學生的已有的認知和思維.老師充分肯定學生,同時通過問題促進學生思考,幫助學生重建知識結構,提出更多有意義的數學問題.

老師引導學生思考以下幾個問題:

(1)點動成線.可以在圖形中提一些與線有關的問題嗎?

(2)圖中的點和線比較少,是否可以添加一些點或線,然后再提問?

(3)是否可以讓點動起來呢?

課堂實錄: 在老師的啟發下,同學們經過思考、討論后提出了以下的問題(以圖1 為例).

生1: 在?ABC中,可以求BC的取值范圍.(圖1)

生2: 圖2 不行,AB邊不能求出來.

生3: 圖3 也不行,AB,AC均不能求出.

師: 求邊長的問題在我們八年級學完勾股定理后就能解決了.

生4;若BD平行且等于AC,求D點坐標.

生5: 知道距離求點坐標,進行分類討論.

生6: 在?ABC中,求A到BC的距離.

生7: 可以用等積法.

生8: 若BD//AC,點E在BD上運動.?ACE的面積是否會發生變化? 如不會,求出?ACE面積.如會,請說明理由.

師: 問題越來越深入,出現動點了.

生9: 平行線間距離處處相等.?ACE的面積底和高都不變,等于?ABC的面積.

生10: 我有一個問題: 在坐標軸上是否存在一點E,使得?ACE與?ABC面積相等?

生11: 前面我們已經求了?ABC的面積,我們只要在x軸和y軸上找與它面積相等的點就可以了.

生12: 面積和動點放一起: 點P從A點出發,以1cm/s的速度沿A-B-C方向運動,設運動時間為t秒,當t為何值時,點P與?ABC頂點構成的線段平分?ABC的面積?

同學們都對此問題有極大的興趣,并積極投入到解決問題中去.

點評: 相對于傳統的題目設置好問題讓學生解答,此題不強調標準答案,學生要自主生成問題并進行解決.學生不斷生成問題串,拓寬了自己的思維,也將已有的知識串聯起來,并運用到解決問題當中,培養了學生獨立思考和合作的能力[1].

2.4 開放式數學課堂,結創新思維之果

以開放性問題引導學生及時總結,厘清思路,以結出豐碩果實.

教學引導: 老師提出問題: 請為以上問題解決過程畫一個思維導圖.

學生在老師引導下得到以下思維導圖:

在學生繪制思維導圖的過程中,他們將經過自己思索的問題和同學提出的看似雜亂無章的各種數學問題,進行系統化、規律化歸納出來.這起到化整為零的效果.

借助思維導圖圖文并茂的特點,把中心主題與各級內容的關系以及層級簡單有效的表現出來,使所學的知識圖形化,既方便記憶,又達到知識掌握的目的.它為解決難度較大的問題埋下伏筆,達到提高課堂學習效率的作用,起到引領學生以點到面,解決一道題引發一片題的目的.接著老師將作業原題改編成升級版作業,這種通過一道作業題的案例教學打破了傳統就題論題的作業評講方式.它不但能提高課堂教學質量,而且有助于學生思維能力的發展.

升級版作業:

如圖,在平面直角坐標系中,?ABC點A坐標為(1,2).

(1) 把先向?ABC下平移2 個單位長度,再向右平移3 個單位長度,若?ABC內部一點P的坐標為(a,b),則點P的對應點P1的坐標是____;

(2)平移?ABC,使得點A和點B均落在坐標軸上,

①平移后點C的坐標為____

②求平移過程中?ABC掃過的最小面積.

(3)將?ABC平移,使其一個頂點為M(3,2),請你根據需要,適當增加條件,再提出一個與坐標有關問題;并給予解答.

點評: 從導圖看出,學生不僅僅掌握了這節課最初設置的需要他們掌握的知識.他們已經初步總結得到平面幾何研究的基本方法.最后作業的改編與前面兩題一起形成了幾何學習的一個體系: 由點到線再到面的發展.這讓學生領略學習幾何知識方法的全貌,推進學生思維向高層次發展,讓學生創新思維之花結出豐碩果實.

3 案例效果

3.1 學生真正成為課堂的主人

本節課讓每一個學生都主動、積極參與到學習環境中,體現了課堂全面參與性原則.這種開放性的課堂給足了學生思考的時間、發問權、講解的機會,學生在學習過程中充分地展示自我.它有助于學生主體意識的形成,讓學生主動完善認知結構,并充分感受到自己是學習的主人;有助于學生體會成功的滋味,從而增強學生自信,產生學習數學的原動力[2].

3.2 學生得到全面發展

本節課注重學生思維培養,關注學生的差異性.不同的學生在解決同一開放性問題可以以不同視角、方法、層次介入分析,進而解決問題,整個教學過程具有動態、開放、彈性的變化特點,從而使不同的學生在不同方面得到不同的發展.

4 案例反思

如何讓學生學會提出問題? 如何讓學生不只是模仿性地提出一些簡單的問題,而提出有深度和廣度的問題呢? 本節課是章節復習時進行的一節開放性課堂,它對學生知識儲備要求較高,如何在平時教學推廣本節課模式呢? 本節課對成績較好的班級學生有較大的自主學習促進作用,如何在成績一般的班級進行開放性課堂的教學實施呢?

4.1 優化設計開放題因材施教

開放題課堂教學中,教學目標的設定要以學生發展為本,教師在設置問題是要把握不同學生的水平層次,設計有針對性、有梯度的開放題,讓不同層次的學生均得到發展.在不同階段,不同的課型中教師可以采取不同的開放形式: 條件開放題、結論開放題、策略開放題和綜合開放題等;教師還可以控制開放的難易強度,設計出弱開放題、中開放題和強開放題.

4.2 借助開放題把課堂還給學生

在課堂教學中,教師盡可能提供給學生一些自主學習的機會,讓學生自己選擇解決方法和策略,并展示他們的思考過程和結果.還可以設計一些需要學生進行反思和討論的問題,讓他們回顧學習過程中所遇到的困難、收獲和問題解決的思路,通過反思和討論,可以幫助不同層次的學生更好地理解數學知識,鞏固學習成果,同時培養批判性思維和合作能力.

4.3 巧用開放題引領思維發展

教師可以充分利用課本教材,適當引入或者改編一些起點低、有層次性的開放題;另外教師可以設計或者改編一些與生活、學科本身或其他學科聯系的數學問題,讓學生感覺問題和自己的生活息息相關;最后教師還可以引導學生運用所學知識去解決生活中的實際問題,讓學生更深刻體會到數學巨大的應用價值和數學的力量,提高學生的創新素質.同時也能認識到不同學科知識的聯系性,從而產生學習的興趣,以達到鞏固“雙基”和培養學生思維向高層次發展的目的[3].

結束語: 教師可以設計一些開放性的問題的作業,讓學生進行推理、分析、歸納和推斷等思維活動,在解決問題的過程中培養他們的發散性思維.通過優化課后作業設計,可以提供一個延伸和拓展學習的機會,幫助學生更好地理解和應用所學的數學知識,培養發散性思維和解決問題的能力,進一步促進學生主動參與學習的積極性和動力.