變易圖式下的高中數學智慧課堂教學模式*
——以“直線與圓的位置關系”為例

廣東省廣州市廣州大同中學(510545) 陳雪玲

“智慧課堂”是通過構建智慧的學習環境,運用智慧的教學方法,讓學生用智慧方式解決問題的教學,是促進學生全面發展的教學,它強調移動智能終端的應用,采用智能信息技術,實現教學資源的智能推送、教學決策的智能評估、即時性的教學反饋以及多元化的交流互動,是新型的信息化、智能化課堂.把變易圖式引入到智慧課堂中,使師生互動、生生互動更多樣,為智慧課堂增添了課堂的活力.變易圖式是對教學內容的一種處理,把教學內容的關鍵特征通過變易圖式推送給學生,課堂上及時收集學生的掌握數據,變易圖式下的高中數學智慧課堂教學從內容處理和模式構建兩方面同時對高中數學教學進行研究,提高了教師教和學生學的效率.

1 變易圖式下的高中數學智慧課堂教學模式

變易圖式下的高中數學智慧課堂教學模式,根據課型的不同,模式的操作會有所不同,本文主要是高中數學概念課的操作,其中一般模式如圖1.以“直線與圓的位置關系”為例,談談變易圖式下的高中數學智慧課堂教學處理.

圖1

2 變易圖式下的高中數學智慧課堂教學案例

下面以選擇性必修第一冊第二章“直線與圓的位置關系”為例,談談如何利用變易圖式與智慧課堂相結合,達到信息技術與學科教學深度融合的智慧課堂教學.本節課要解決的內容是直線與圓的位置關系的判斷,求弦長以及求圓的切線方程.

2.1 推送資源,個性學習

課前教師發布微課、學案、檢測、背景素材等學習資源,為學生提供富媒體方式的自主學習支架;學生在任務單的引領下進行課外自主學習,以最適合自己的方式接受知識.在本節課上課之前,我給學生的平板推送了兩個小視頻,視頻1: 從初中純幾何的角度出發,直線與圓的位置關系有相離、相切、相交,從初中直線與拋物線的交點問題類比出聯立直線與圓的方程,通過判斷方程組的解的個數確定直線與圓的交點個數,從而判斷直線與圓的位置關系.這種方法稱為代數法;視頻2: 介紹通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小來判斷直線與圓的位置關系,并且幫助學生回顧了點到直線的距離公式,這種方法稱為幾何法.兩個視頻都簡短明了地介紹了原理和判斷的過程.學生自主學習后對下面表格的填寫都基本正確,可以看出學生對這兩種方法原理基本掌握.

2.2 創設情境,引入概念

情境創設是引入數學概念的重要基礎,智慧課堂創設的教學情境,可以以圖片、視頻,畫板動態演示等方式呈現給學生,更能激發學生主動學習、發現問題和解決問題的興趣,從而為抽象的數學知識學習做好鋪墊,也可以讓學生感受到數學源于生活,又服務于生活.

本節課一開始就給出了一個海上日出的短視頻,把太陽視作圓,地平線視作直線,在日出的過程,體現了直線和圓的哪些位置關系? 視頻很唯美,很快就把學生吸引到課堂中.接著給出第二個情境: 一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風預報: 臺風中心位于輪船正西70km 處,受影響的范圍是半徑長為50km 的圓形區域.已知港口位于臺風中心正北70km 處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會受臺風的影響?

并讓學生思考: 輪船是否受臺風的影響,本質是研究什么數學問題.最后用GeoGebra 畫板演示輪船的行駛路徑,如圖2,動態的演示激起了學生去判斷輪船的行駛路徑所在直線與臺風影響的圓的位置關系,從而引入了本節課的內容.

圖2

這些都可以同屏給學生,直接投放到學生的平板上,讓大家可以更清晰、更直觀地看到老師的視頻或者PPT 等,讓教室的每個座位都是課堂的中心,提高學習的效率.

智慧課堂所能使用的資源非常多,選用的時候不能喧賓奪主,情境的引入一是為了激起學生的學習興趣和積極性,最重要的還是引導學生從直觀的事物中抽象概括出數學問題的本質,進一步理解數學、運用數學.

2.3 辨析概念,典例示范

辨析概念、探究概念本質與應用規律是高中概念課教學的主要過程,在概念教學的過程中,要讓學生深入參與到概念知識的探究中.因此在概念教學過程中,概念的內涵外延、概念的關鍵特征、概念知識的應用非常重要,因此要注重變易探究,可以讓學生小組合作討論,生生互動的探究能促進數學意識的形成.同時,在教學中要對例題做好規范表達的示范,表達可以體現概念關鍵特征和嚴謹性,是概念學習的一個重要過程.

本節課學生課前觀看了推送到他們平板的兩個視頻學習資源,而且在初中也有相關的知識,因此學生對判斷直線與圓位置關系的兩種方法還是能快速理解,對上面的表1 填寫也基本沒問題.在學生掌握了基本概念方法后,給出課本的典型例題:

表1 直線與圓的位置關系

表2 變易圖式1

表3 變易圖式2

表4 變易圖式3

例1.已知直線l: 3x+y-6=0 和圓C:x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓C的位置關系;如果相交,求直線l被圓C所截得的弦長.

題目考查的就是判斷直線與圓的位置關系,在上面的引入過程中學生已經明確解決問題的兩種方法,同樣的對應求弦長也是有兩種方法.通過讓學生把解答過程投屏發現,幾何法和代數法都分別有很多人采用,隨后教師對兩種解答做了示范講解,對老師的示范解答,學生可以拍照記錄,也可以錄下來課后復習,這也是為學生自己解題提供表達的規范參照.

為了加深學生對直線與圓的位置關系的判斷,給出了下面的變易圖式:

在保持圓方程不變的情況下,讓學生設計題目給同桌完成,學生積極性很高,課堂一下子“活”起來,學生完成后,再利用智慧課堂的點名搶答功能,展示部分學生解答,如下圖3:

圖3

在例題的講解中,教師是沒有引導學生去選擇哪種方法,是通過學生讓自己在完成圖式的過程中,自己學會對方法進行選擇.為了更好地全面了解學生的解題情況,設置了一個選擇題給學生: A.采用幾何法解題,B.采用代數法解題,得到了下面圖4 的數據:

圖4

采用幾何法判斷直線與圓的位置關系的占比達到了89.7%.從學生的解答來看,在整個過程,教師都沒有引導學生去選擇幾何法,但是學生通過自己設計題目,變易探究,自己去發現問題,自己去解決問題,在這個合作探究的過程中,他們可以明顯地感受到幾何法在計算上的優勢,自然而然地絕大部分采用了幾何法解決直線與圓的位置關系判定.

上面的圖式,也可以保持直線方程不變,而改變圓的方程來進行探究.通過讓學生自己設計圖式進行探究,讓學生自己去感受數學的解題,不但調動了學生的積極性,培養了學生解決問題的能力,更是培養學生的數學素養.同時借助智慧課堂的隨測功能,可以實時監測學生的學習情況,在大數據的幫助下,可以更全面的了解學生的作答情況,緊扣學生為主體進行教學.

2.4 變易探究,拓展思維

對概念的關鍵特征和應用規律的探究,可以通過變易圖式,幫助學生去關注數學學習內容的核心知識點,讓學生在變中找到不變,讓學生在變化中審辯出不變的原則和方法,拓展思維,也就是“萬變不離其宗”的道理.同時,利用智慧課堂的功能,生成變易圖式的使用數據,老師可以清晰快速地了解學生對數學概念、數學解題方法的關鍵特征的掌握情況.

對課本的例題2: 過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1 的切線l,求切線l的方程.

題目就是求過一點的圓的切線方程,但在處理這個例題時,我并沒有直接就讓學生完成,而是引導學生繼續完成下面的變易圖式,保持圓的方程不變,你會把P(2,1)的坐標改為什么點讓你的同桌完成呢?

通過隨測功能,讓學生拍照上傳他們設計的圖式,學生的積極性依然很高,潛力也被有效激發,非常積極的分享自己的圖式,所取的點坐標也是五花八門: (666,555),(π,e),(πe,eπ)......他們的想法都比較一致: 利用計算難倒同桌.在肯定了同學們的想法之后,我給出了下面的圖式:

接下來讓學生完成下面三個問題:

(1)分別過上面的三個點作圓的切線,切線條數是多少?

利用智慧課堂的隨測選擇題功能,設置選項為A.0 條B.1 條C.2 條,讓學生快速做出選擇.圖5-1、5-2、5-3 是學生的作答情況.

圖5-1

圖5-2

圖5-3

從上面的數據反映,絕大部分的同學都能快速判斷點與圓的位置關系,但仍有個別同學判斷錯誤.

(2)變易圖式這樣設計點坐標的意圖是什么?

前面學生給的例子意圖是考查計算,并沒有考慮到過一點求圓的切線方程,首先需要判斷點與圓的位置關系,讓學生明確我們設計變易圖式,要抓住數學的關鍵特征和主要特點進行設計,正是考慮到點的位置影響著圓的切線條數以及解題方法,所以才把點的坐標設計為在圓內、圓上、圓外.通過這樣變易探究的過程,讓學生明白先判斷點的位置再求過該點的圓的切線.能根據數學概念和方法的關鍵特征設計圖式,深思熟慮的鉆研對待所學的知識,才能更好地培養學生的數學核心素養,提高學生提出問題、解決問題的能力.

(3)求上面第②、③圖式的切線方程.

在求切線方程的過程中,也是有幾何法和代數法兩種方法.幾何法: 設出切線的方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出未知量的值,此種方法需要注意斜率不存在的情況,要單獨驗證,若符合題意則直接寫出切線方程.代數法: 設出直線的方程后與圓的方程聯立消元,利用?=0 求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程,則說明要求的兩條切線中有一條直線的斜率不存在,可直接寫出切線的方程.過一點求圓的切線方程,一定要判斷該點是在圓上還是在圓外,在圓上只有一條切線方程,在圓外有兩條切線方程.

通過變易圖式的探究,讓學生一步步對問題進行思考,不斷地引導學生關注數學問題的本質和關鍵特征,而智慧課堂的使用則是更好地輔助我們精準地掌握學生的情況,及時進行課堂的調控.

同時,在變易探究的過程中,引導學生進行提煉,學生只有在探究的過程中準確提煉關鍵信息并實現對關鍵信息的有效總結才能真正理解并掌握概念知識.在此過程中,還需要不斷優化變易圖式,通過圖式引導學生探究與提煉,讓學生學會辨析概念,應用概念.教師拋磚引玉,以問題串的形式讓學生充分發揮,展開熱烈的探討,并對小組交流的結果進行展示,能提升學生學習的興趣和自信心,真正收到“學在其中,樂在其中”的效果.

2.5 隨堂測評,總結歸納

在教學中,課堂總結應用尤為重要,它是對課題內容的重要鞏固,也是教學內容的延生.通過總結應用,學生可以及時發現學習中存在的問題并加以完善,從而全面掌握整堂課的知識內容,并發展反思能力.而總結后的隨堂測試,更是檢驗本堂課效果的重要依據,也是課后作業布置和下一節教學處理的重要數據支撐.

為了檢測課堂學生的學習效果,檢驗課堂目標的達成情況,在歸納總結后給出了兩個測試題,下面圖6 是學生的作答情況:

圖6

從數據上可以看出絕大部分同學掌握了課堂上講的基本方法,出現錯誤的幾個同學的主要原因是計算錯誤導致的.隨堂測試主要是為了檢測課堂效果,因此題目的選取要緊緊圍繞課堂的內容來選取,對隨堂測試出現的問題要及時解決,同時反思課堂的教學環節有沒有出現問題,及時調整.在智慧課堂的大數據統計下,對教師的教學效果評價能快速及時,同時對學生的評價也更具體、更客觀,也更精準.

2.6 推送作業,分層布置

課前及課中的教學數據成為課后反思的強有力驅動,根據課中反饋的數據,課后可以分層布置作業.比如上面測試第一題答錯的四位同學,平時基礎也比較薄弱,可以給他們推送基礎一些的題目;第二題雖然只有三位同學答錯,但在課中教學過程中學生求圓的切線方程對先判斷點與圓的位置關系這個知識點的掌握并不是很理想的,因此作業題目可以在這個方面有所側重.在智慧課堂數據的支撐下,作業的布置會更有針對性,對學生的評價也會更客觀,更多元化.

2.7 批改作業,微課輔導

作業的批改,客觀題由系統自動批改,主觀題仍然需要老師進行批改,批改后可以得到學生的答題情況數據,如圖7:

圖7

其中第6、7、10 題的正答率不是很高,根據得分率的情況,對作業中出現的問題,可以錄制微課推送給學生,以幫助學生更好地解決問題,同時也可以根據學生的個人的得分情況,課后對學生進行輔導.同時,學生作業的答題情況,也為第二天的課前測試選題提供數據的參考.

智慧課堂課前、課中、課后所生成的數據,為我們的教學提供有力的輔助,借助數據分析,幫助學困生樹立自信,幫助優生做拓展訓練,分層教學能更精準,全面了解學生,讓因材施教真正達成.

3 變易圖式下的高中數學智慧課堂教學反思

變易圖式下的智慧課堂,以促進學生的智慧生成為導向,以學生為中心,在教學內容的處理上,通過變易,讓學生辨析概念和方法,拓展思維,培養學生數學核心素養;在教學手段上,利用智慧課堂的技術和功能,借助數據分析,可以讓教師準確捕捉不同學生的認知動向,及時調整教學方案,對教學進行有效調控和分層教學,同時對學生的評價也更多元,提高了學生學和老師教的效率.