同課異上思改進,全面參與促素養*

江蘇省南京市金陵中學仙林分校中學部(210033) 李虓晟昊 汪宏玲

筆者一個人帶兩個班,第二個班級往往在第一個班級基礎是進行教學改進,教學效果比第一個班級要好;這就為教學反思、改進教學提供很好的條件;如下的“平面直角坐標系中的等腰三角形”就是效果差異特別明顯的一節課.

1 學案準備

1.1 探究活動

已知在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A的坐標為(3,4) ,請你在坐標軸上畫出點P的位置,使得?AOP為等腰三角形,求點P的坐標(如圖1).

圖1

1.2 類比拓展

已知在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A的坐標為(3,4),請你確定點P的位置,使得?AOP為以OA為腰的等腰直角三角形,求點P的坐標(如圖2).

圖2

1.3 思考題(略)

2 第一節課——有案無生,亂象連連

2.1 課堂片段

(課堂一開始,教師就將學案下發,學生開始解決學案)

師: 請各位同學先獨立畫出點P的位置.

學生活動: 優生完成較快,在報出自己的做法后繼續自己后續練習.部分學生在聽過他們報出的做法后,就誤認為解決了這一問題,實際不能充分理解題目內涵.

師: 請同學根據自己的求解與討論上黑板進行分享.

學生活動反思: 由于討論和理解不充分,學生僅能呈現畫法,但不清楚畫法的原理以及為何想到這類方法.

師: 在前面的基礎上,請同學們先求出點P坐標,然后互相交流你的想法.

學生活動: 學生求解,優生求解較快,繼續完成其他問題.其他學生求解困難,難點無法突破,特別是后面的如圖5 的中垂線構造等腰的求解方法.

師: 我們請同學上黑板進行分享.

學生活動反思: 優生忙著解決后面問題,中等生和學困生因為討論人氣不旺,討論不深,只是機械的方法.

師: 請同學們繼續完成第二題.

學生活動: 會的學生忙于解決思考題,成為課堂的隱形人.中等和學困生問題解決困難重重,本節課教學效果較差;筆者本人也很沮喪.

2.2 教學反思

在本節課中,我選擇了以學案問題為核心,來引領教學的方式進行本節課的學習,最終課堂效果較差: (1)能力較強的學生在拿到學案后,陷入做題中,將探究課變成做題課、自習課,達不到本節課全面參與的目的,在課堂活動中成為了“隱形的存在”.(2)薄弱學生由于優生在本節課中的“隱形”,班級學生不能充分做到學習上的互幫互助,討論不深刻,不能達到本節課預期的教學效果.(3)在學生理解上,由于課堂的混亂,學生的思維不能得到充分的發展,達不到學生應該達到的最近發展區水平,知識層次和思維層次上的拓展都不能達到預期的目的,對于題目和知識的理解僅僅停留在表面.(4)系統性和全面性缺失,最終在知識、思想和解題技巧的掌握上碎片化、達不到對于核心素養培養的目標.更多學生在一節課后,面對題目仍然困難重重.

3 第二節課——無案有生,精彩紛呈

上一節課,教師將學案作為引導課堂進行的工具,導致教師喪失課堂主導地位,優生忽視課堂,中差生不能充分理解題目中蘊含的數學知識與數學思想,未能達到理想的課堂教學效果.本節課決定以教師指令引導本節課進行,引導各層次學生充分討論,以優生帶動中等生思考,優中共教學困生.拓寬學困生問題解答的全面性,促進中等生問題思考的活躍性,助力優生解題授題思維的豐富性.促進各層次學生思維全面發展.

3.1 課堂片段

活動一: 讓學生畫出點P的坐標.

讓學生在網格本上畫出平面直角坐標系,標出點A(3,4).在坐標軸上畫出點P,使得?AOP為等腰三角形.

教師活動: 巡視學生完成進度,引導學生進行討論.

學生活動: 學生先自主畫圖進行思考,然后根據自己思考的結果進行充分討論.

師: 你畫出的點P有幾個? (學生積極舉手)

生1: 一共有8 個.

師: 你是如何畫出這八種結果的?

生1: 首先以O為圓心,OA為半徑畫圓; 然后又以A為圓心,AO為半徑畫圓;最后作OA的垂直平分線(如圖2).

師: 這么畫的依據是什么?

生1: 題目要求構造等腰三角形,那么我們就要爭對OA的情況進行分類: ①OA為腰,O為頂點; ②OA為腰,A為頂點; ③OA為底邊,點P在OA的垂直平分線上.

師: 很好,還有什么要注意的呢?

生2: 還要排除與OA同一直線的點,此時不能得到等腰三角形.

師: 非常好,我們通過對于題目要求的分解,構造出“兩圓一垂線”,利用交軌法找出符合條件的點的情況,在這里,我們可以將等腰三角形的作圖總結為“010”模型.

活動二: 讓學生求出點P的坐標.

學生活動: 積極探究,根據教師引導進行熱烈討論,不會的同學積極詢問,會的同學熱情指導.

師: 誰能說一說點P的坐標? (學生躍躍欲試)

生3: 要想求點P,首先我們需要求出OP的長,因為A(3,4),我們很容易根據勾股定理得到OA=5.所以P1(0,5)、P2(-5,0)、P3(0,-5)、P4(5,0).

師: 非常好,知道了圓的半徑,我們很容易就能得出圓心為O的四個點的坐標.

生4:P5(如圖3) ,連接AP5,∵AO=AP5,此時作AN⊥OP5,此時ON=4,ON=NP5=4,∴P5(0,8).同理P6(6,0).

圖3

師: 你能說一說你這么做的依據是什么嗎?

生4: 利用了等腰三角形的三線合一,AN既是垂線,也是中線.

師: 非常好,根據圓的半徑相等得到等腰三角形,又很好的利用了等腰三角形的性質——三線合一.

生5:P7,連接AP7(如圖4).由題,AN=3,ON=4.我們會發現AP7=OP7.

圖4

師: 為什么AP7=OP7?

生5: 因為P7P8垂直平分OA,這里利用垂直平分線的性質.

師: 接下來呢?

生5: 此時我們發現NP7+AP7=4,于是設OP7=x,則NP7=4-x,AP7=x,而三角形ANP7為直角三角形,可以利用勾股定理:AP27=NP27+AN2,列出方程:x2=(4-x)2+32.求出x=所以同理(學生聚精會神聽講,結束掌聲熱烈)

師: 非常好,在這里我們的同學利用垂直平分線的性質,推出直角三角形兩邊關系,將方程思想與勾股定理結合,列方程,數形結合解決問題.

活動三: 讓學生進一步拓展.

請你確定點P 的情況,使得?AOP為以OA為腰的等腰直角三角形.

學生活動: 學生在第一問基礎上,先積極思考點P的情況,大部分同學根據第一問的探究,能夠類比畫出本題的圖.同時畫出的同學積極指導不會的同學,在做完后自覺進行討論交流.

師: 誰能說一說你是如何畫圖的?

生6(邊畫,指導其他同學): 這里已經告訴我們,OA為腰,則此時O為頂點或者A為頂點,畫圓得到等腰的情況.又題目要求直角,所以分別畫出兩個垂線,通過“交軌法”得到點P,有四種情況(如圖5).

圖5

師: 你能解釋一下你這么畫圖的依據嗎?

生6: 根據第一問,我們知道了等腰可以通過畫圓得到軌跡,而直角,我們通過畫出垂直平分線,得到直角,由此得到“兩圓兩垂直”的圖.

活動四: 求出點P的坐標.

(學生自覺完成,完成好的同學主動給沒有思路的同學以指導.同學們邊思考,邊討論.)

師: 那位同學能幫我們求一求點P的坐標呢? (大部分學生舉手)

生7: 過點A作AR⊥x軸,垂足為R.構成?AOR.過點A作AS//x軸,過P9作AS⊥P9S,構成?ASP9(如圖6).因為等腰,我們可以得到AO=AP9.又AR⊥x,AS⊥P9S,所以∠S=∠ARO=90?,所以∠1+∠2=90?,又∵OA⊥P9P10,所以∠2+∠OAR=90?,∴∠1=∠ORA.則?ASP9∽=?AOR.∵A(3,4),∴AR=4,OR=3,∴AS=AR=4;OR=P9S=3.所以P9(-1,7).此處圖形類似“K”,我們可以稱為“K”字形.其余點均可利用“K”字形求解:P10(7,1),P11(-4,3),P12(4,-3).

圖6

師: 這里的知識你們有印象嗎?

生8: 這里我們可以看成圖形在平面直角坐標系中的旋轉.

師: 非常好,在這里我們要是能夠與結合平面直角坐標系部分的旋轉,那我們就很容易想到利用全等解決問題了.

3.2 總結反思

本節課從形出發,加之以數,數形結合,考查學生數學知識的運用、數學思想養成最終達到對于核心素養的培養,如圖7.

圖7

4 教學啟示

4.1 課堂的呈現需要有節奏性

數學課的目的是為了培養學生,培養課堂上的學生,因此課堂的節奏就顯得尤為重要.但是學生層次的不同,使得學生的全面的、有節奏的參與課堂成為我們需要解決的問題.我們在設計課程時需要把握好以教師為主導,學生為主體的教學原則.發揮教師的主導作用控制好課堂節奏,在課堂中,積極引導課堂氛圍.同時發揮學生的主體作用,鼓勵學生之間的生生互教、生生互學,充分發揮每個層次學生在課堂中的作用.討論的過程全員參與,發揮出優生的作用,以優生為領,中等生為學與教主體,促進學困生的知識點了解,實現班級學生的共同發展.

4.2 活動的設計需要具有生長性

數學課堂是學生思維能力逐步進階的過程,因此,一開始就全盤脫出的課堂設置是不可取的.我們需要設置靈活的、生長式的教學過程,讓每一個題目的出現都能恰到好處的服務于學生的探究,更好的服務課堂.讓學生有思考,有探究的同時,還需要注意到學生的全面參與,多方共進.也只有這樣的課堂設置才能更好的服務于所有學生的“最近發展區”,讓每一個學生在課堂上逐步成長,感受到知識的生長過程,進而形成課堂上的逐步發展,達到每一個課堂教學過程的“最近發展區”.

4.3 核心素養的培養需要具有滲透性

新課標實施的背景下,教師需要將落實核心素養放在教學的首位,把握好有效滲透的契機,采用相應的教學手段[1],在教學過程中落實數學思想,發展學生核心素養.在課程中,學生發揮直觀想象,去構造符合要求的三角形;潛心分析,邏輯推理,挖掘題目中給出的條件之間的聯系,從而找尋解決題目的思路;數形結合,構建方程,發展數學運算能力.題目以一題融多知識,拓寬學生思維深度,發展學生綜合能力,促進學生核心素養的發展.