例談高考三角函數復習備考策略

吳偉雄

【摘 ?要】??三角函數是高中數學的六大主干知識之一，也是歷年高考的熱點問題^[1].本文結合近兩年的全國高考試題，對三角函數知識的考點進行分類、總結，突出在高考中三角函數部分考查的側重點，提高三角函數高考復習的質量.

【關鍵詞】 ?三角函數；高考數學；復習備考

1??考點回顧

1.1 ?考點分布

近兩年高考試題中三角函數的考點主要有：三角函數的定義、同角三角函數的基本關系式、誘導公式、三角恒等變換公式、圖像與性質、解三角形以及與三角函數的綜合問題.

1.2??命題規律

從試題結構與考點分布上看，難度保持相對穩定且題目適度創新；基本是1或2道小題加1道大題，分值一般為17分或22分；主要為選擇題、填空題和解答題，一般屬于中檔題.

1.3 ?考點預測

結合近兩年三角函數高考試題的命題規律、考點分布及與其它知識點交匯的情況來預測下一年高考在選擇題或填空題中將重點考查：同角三角函數的基本關系、三角函數的圖像與性質及三角函數變換，特別是這些知識點的組合是考查的熱點，同時要注意三角函數定義的復習，難度為基礎題或中檔題.在解答題的考查中將重點考查：已知三角形邊角關系利用正弦定理解三角形及利用正余弦定理求平面圖形的邊、角與面積，多為中檔題，也可為壓軸題.

2??典例剖析

2.1 ?考查三角函數的定義、同角三角函數基本關系式、誘導公式與三角恒等變換

例1??1）（2020全國Ⅱ卷理）若為第四象限角，則（???）

（A）.????（B）.????（C）.????（D）.

2）（2021全國新高考Ⅰ卷）若，則（ ??）

（A）. ???（B）. ???（C）. ???（D）.

分析??1）本題考查的是任意角三角函數的定義、象限角的概念、二倍角公式的應用.本題解法可以是從選項出發，用二倍角公式展開，利用角的位置判斷的符號，從而得到所求三角函數的符號；也可以利用角的位置確定角終邊所在的象限，再根據三角函數值在各象限的符號而得到所求三角函數的符號.意在考查學生的基礎知識和解題能力.

2）本題考查的是三角函數式的化簡求值問題，涉及到的知識是同角三角函數的基本關系、二倍角公式.本題解答的關鍵是利用和進行處理，結合齊次式的特征即可求得三角函數式的值.意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

評注??1）三角函數定義法求值：一般地，設角終邊上任意一點的坐標為，它與原點的距離為，則.

2）判斷三角函數值符號及角的位置的方法：如果已知角的三角函數值中的兩個的符號，可以確定出角終邊的可能位置，兩者的交集即為該角的終邊位置，也要注意終邊在坐標軸上的特殊情況^[2].

3）同角三角基本函數關系式的應用策略：借助實現角的正弦與余弦的互化，通過實現角的正弦、余弦與正切的互化.在使用這兩個互化公式求三角函數時，對于角的象限不明確時，一定要注意函數值的符號的判斷.

4）誘導公式常用在化簡、求值及證明恒等式等題型中.在化簡或求值的應用，關鍵在于根據給出角的特點，將角化成（為整數）的形式，再根據值“奇變偶不變，符號看象限”進行化簡，化簡時應遵循“負化正、大化小、化到銳角再計算”的原則.

5）三角恒等變換的基本思路是找差異、化同名（角）、化簡.策略是：①在使用兩角和（差）、二倍角的正余弦、正切公式時，首先必須是記住公式的結構特征，根據問題條件的結構選擇合適的公式進行變形，在變換過程中常用到換元、逆向使用公式等方法.②對于求函數的有關問題，通常化為或的形式再應用其對應的基本函數的性質來解決問題.

2.2 ?考查三角函數的圖像與性質

例2??1）（2021全國乙卷文）函數的最小正周期和最大值分別是（ ??）

（A）和. （B）和2. （C）和. （D）和2.

2）（2021全國乙卷理）把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ??）

（A）.??（B）.???（C）.???（D）.

分析??1）本題考查的是三角恒等變換的應用及三角函數的性質，其中性質涉及的內容是三角函數的周期性與最值.本題的解法是先將原函數化為，再結合函數的性質確定周期為，最大值.意在考查學生推理能力和化歸思想.

2）本題主要考查三角函數的圖像變換，既可以正向推導，也可以逆向求解.由圖像得到圖像有兩種方法：一種是先左右平移再伸縮，另一種是先伸縮再平移.無論是哪一種變換，它變換的都是對自變量.本題的解法是反推逆向變換，可以把函數的圖像向左平移個單位長度（即把函數解析式中的換成），得到函數的圖像，再將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍、縱坐標不變得到函數的圖像.也可以把函數圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍、縱坐標不變，得到函數的圖像，再向左平移個單位長度（即把函數解析式中的換成），得到函數的圖像.

評注??三角函數的圖象與性質的解題策略：①在三角函數圖像的伸縮平移變換時，一定要注意先伸縮再平移是平移個單位而不是個單位，且變換前后兩個函數是同名的；若不同名，則可通過誘導公式化為同名.②解答函數、、（）的性質時：對于求定義域、值域、對稱性、單調性、最值時，可以將看作一個整體，再與相應的簡單三角函數性質比較得解.對于求奇偶性，只有當取特殊值，即這些復合函數可以化為、、時才具備奇偶性.對于或的周期用公式求解，對于的周期用公式求解.

2.3 ?考查解三角形

例3??1）（2021全國乙卷理）記的內角，，的對邊分別為，，，面積為，，，則 ??????? .

2）（2021全國新高考Ⅱ卷）在中，角，，所對的邊長為，，，，.

①若，求的面積；

②是否存在正整數，使得為鈍角三角形？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

3）（2020全國新高考Ⅰ/Ⅱ卷）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在，它的內角的對邊分別為，且，，??????????？

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

分析??1）本題考查的是余弦定理與三角形的面積公式的應用，屬基礎題.本題的解答由、及聯立解得.意在考查學生公式的運用和解題能力.

2）本題主要考查了正、余弦定理的運用.本題的解答是：對于①，根據已知條件以及正弦定理可得，，，再結合余弦定理及三角形面積公式，即可求得.對于②，由及余弦定理可推得為鈍角三角形時，角必為鈍角，再運用余弦定理可推得，再結合，三角形的任意兩邊之和大于第三邊定理，即可求得.意在考查學生對三角函數基礎知識的綜合運用.

3）本題是一道結構不良題目，打破了常規形式，目標指向開放，增加思維量，提升學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理等學科素養^[1].主要考查了正、余弦定理的靈活應用.本題的解答是：對于①，根據題意，結合正弦定理可得，，結合，運用余弦定理，即可求得.

對于②，根據題意，中，即可求得，進而得到.運用余弦定理，即可求得.

對于③，根據，即，可列式求得，與已知條件矛盾，所以問題中的三角形不存在.意在考查學生知識掌握的系統性、解題的靈活性和創造性.

評注??解三角形主要是從正（余）定理出發，結合面積公式及三角形的相關結論，活靈求解三角形的邊角問題以及三角形中的邊角互化、判斷三角形形狀等問題^[3].一般來說，在三角形中，若“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”使用正弦定理求解；若“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”則使用余弦定理求解.在應用定理中要做到“統一角、統一函數、統一結構”即“三統一”.

2.4 ?三角函數的綜合問題

例4??1）（2021全國甲卷理）已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數為________.

2）已知為坐標原點，點，，，，，則

（A） （B） .

（C） （D）

評析?1）本題的考點是三角函數的圖像與不等式的綜合.本題的解法是：由的部分圖象可求得周期，，由五點作圖法可得，確定其解析式，故可得，，最后通過求解三角不等式可得最小正整數為2.意在考查學生的數形結合思想與運算求解能力.

2）本題考查同角三角函數基本關系式及兩角和的三角函數與平面向量數量積的性質及運算的綜合.本題的解法可以是由已知點的坐標分別求得對應向量的坐標，然后逐一驗證四個選項得答案；也可以是由題意畫出圖形，利用向量的模及數量積運算逐一分析四個選項得答案.意在考查學生的轉化思想、數形結合思想、數學運算能力.

評注 ?對于三角函數的綜合問題，在涉及到與三角恒等變換有關的問題時可以優先考慮角與角之間的關系；在涉及到與三角形有關的問題時可以優先考慮正弦（余）弦定理.

3??精題集萃

1.若已知，則的值為（???）

（A）. ??????（B）. ??????（C）. ?????（D）.

2.已知函數，圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，且，則不等式的解集為

（A）. （B）.

（C）. （D）.

3.將函數的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象對應的函數為，則下列結論正確的是

（A）函數的圖象關于直線對稱. ?????（B）函數的圖象關于點對稱.

（C）函數在，上恰有4個極值點. ?????（D）函數在上單調遞減.

4.如圖是函數的部分圖象，則

（A）函數的最小正周期為.

（B）直線是函數圖象的一條對稱軸.

（C）函數為偶函數.

（D）點是函數圖象的一個對稱中心.

5.在中，角，，所對的邊分別為，，.若，角的角平分線交于點，，，以下結論正確的是

（A）. ?????????（B）. ???????（C）. ??????（D）的面積為.

6.已知中，內角，，所對的邊分別為，，，，是邊上一點，.

（1）若，，求；

（2）若，求的最大值.

參考答案

1.B ??????2.C ???????3.ABC ??????4.ABC ????????5.ABD

6.解 ?（1），

，

，，

即，

，，

，，

，

.

（2）解法一：，

因為，所以，

即，

整理得到，

兩邊平方后有，

所以，

即，

整理得到，

所以，

因為，所以，

，當且僅當時等號成立，

所以的最大值.

解法二：設，則，，

在中，，

在中，，

又，

所以，解得，①

在中，，即，②

由①②可得.接下來同解法一.

參考文獻：

[1]黃金明.關注變化 強化思想 探尋規律[J].數學教學通訊（下旬），2021（07）：3-5.

[2]郭興甫.例談高考三角函數復習備考策略[J].中學教研（數學），2020（03）：45-50.

[3]張巖.2018年高考“三角函數”專題解題分析[J].中國數學教育，2018（7-8）：40-45.