全概率公式及其應用

李鴻昌

(北京師范大學貴陽附屬中學,貴州 貴陽 550081)

2019年人教A版高中新教材《數學(選擇性必修:第三冊)》增加了全概率公式的內容,要求結合古典概型,學會用全概率公式計算概率.

全概率公式蘊含的數學思想是:如果某個事件B的概率不易直接計算,那么可以用與事件B有聯系的n個兩兩互斥事件A1,A2,…,An分割事件B,然后利用加法公式和乘法公式求得事件B的概率,這個過程體現了化難為易的轉化思想.用簡單事件的運算表示復雜事件,利用概率的運算法則簡化概率的計算,這種思想方法具有普遍性[1].

1 全概率公式

又由條件概率公式,得

即P(Bi)=P(Ai)P(B|Ai).

(2)對全概率公式的進一步理解.

①P(Ai)稱為先驗概率,它反映了各種“原因”發生的可能性大小,一般是以往經驗的總結,是試驗之前就已知的概率.P(Ai|B)稱為后驗概率,它反映了試驗之后對各種“原因”發生的可能性大小[2].

②全概率公式的思想是“由因推果”,解決的問題是:達到某個目的有多種方式(或造成某種結果有多種原因),問達到目的的概率是多少(或造成這樣結果的概率是多少)?

2 全概率公式的應用

全概率公式針對的是某一個過程中已知條件求出最后結果的概率,其解題步驟如下:

找出條件事件里的某一個樣本空間——其中的事件分別命名為Ai(i=1,2,…,n)——把目標的概率事件命名為事件B——代入全概率公式求解.

例1 某同學雨傘丟失了.落在圖書館中的概率為50%,這種情況下找回的概率為0.80;落在教室里的概率為30%,這種情況下找回的概率為0.60;落在商場的概率為20%,這種情況下找回的概率為0.05,求找回雨傘的概率.

因此由全概率公式,得

例2 (2020年江蘇卷)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球,乙口袋中裝有3個白球. 現從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋,重復n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個數為Xn,恰有2個黑球的概率為pn,恰有1個黑球的概率為qn.

(1)求p1,q1和p2,q2.

(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系和Xn的數學期望E(Xn)(用n表示).

(2)由題意知pn=P(Xn=2),qn=P(Xn=1),1-pn-qn=P(Xn=0).

根據全概率公式可得

整理可得

根據題設式子結構,在上式第一個式子的等號兩邊同時乘以2并相加可得

依題意,Xn的取值為0,1,2,其分布列為

Xn012P1-pn-qnqnpn

點評第(1)問是研究初始值并計算第二次操作下的值,也是命題中常見的分步給分的原則.第(2)問不是直接給出遞推關系式,而是讓考生運用全概率公式來求遞推關系式,在遞推關系式的處理上借鑒了2019年全國Ⅰ卷21題,給出了研究遞推關系式的方向,為期望問題的解決奠定了基礎.

例3 甲、乙兩人進行射擊比賽,每回射擊勝者得1分,且每回射擊中甲勝的概率為α,乙勝的概率為β(α+β=1),比賽進行到有一人比另一人多2分時則結束,多2分者最終獲勝.

(1)試求甲、乙最終獲勝的概率;

(2)比賽是否有可能無限地一直進行下去?

解析(1)設A={甲最終獲勝},B={乙最終獲勝}.以C1記“在第一、二回射擊中甲均獲勝”,則P(A|C1)=1;以C2記“在第一、二回射擊中乙均獲勝”,則P(A|C2)=0;以C3記“在第一、二回射擊中甲、乙各獲勝一次”,則P(A|C3)=P(A).

顯然P(C1)=α2,P(C2)=β2,P(C3)=2αβ.

由全概率公式,得

P(A)=P(A|C1)P(C1)+P(A|C2)P(C2)+P(A|C3)P(C3)=α2+0+2αβP(A),

同理,P(B)=P(B|C1)P(C1)+P(B|C2)P(C2)+P(B|C3)P(C3)=β2+0+2αβP(B),

3 變式訓練

變式1(多選題)甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球、3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,分別以A1,A2和A3表示甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件;再從乙罐中隨機取出一球,以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件,則下列結論中正確的是( ).

C.事件B與事件A1相互獨立

D.A1,A2,A3是兩兩互斥的事件

綜上,正確的選項是BD.

變式2 某保險公司將其公司的被保險人分為三類:“謹慎的”“一般的”“冒失的”.統計資料表明,這三類人在一年內發生事故的概率依次為0.05,0.15,0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%,“一般的”被保險人占50%,“冒失的”被保險人占30%,則該保險公司的一個被保險人在一年內發生事故的概率是( ).

A.0.155 B.0.175 C.0.016 D.0.096

解析設事件B1表示被保險人是“謹慎的”,事件B2表示被保險人是“一般的”,事件B3表示被保險人是“冒失的”,則P(B1)=20%,P(B2)=50%,P(B3)=30%.

變式3 李明早上上學的時候,可以乘坐公共汽車,也可以乘坐地鐵.已知李明乘坐公共汽車的概率為0.3,乘坐地鐵的概率為0.7.而且乘坐公共汽車與地鐵時,李明遲到的概率分別為0.2與0.05.

(1)求李明上學遲到的概率;

(2)如果某天早上李明上學遲到了,那么他乘公交車的概率為多少?

解析(1)記小明乘坐公共汽車為事件A,乘坐地鐵為事件B,遲到為事件C,根據題意得P(A)=0.3,P(B)=0.7,P(C|A)=0.2,P(C|B)=0.05,由全概率公式得

P(C)=P(AC)+P(BC)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)=0.2×0.3+0.05×0.7=0.095.

(2)由條件概率公式得

變式4 為了避免就餐聚集和減少排隊時間,某校開學后,食堂從開學第一天起,每餐只推出即點即取的米飯套餐和面食套餐.已知某同學每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇,已知他第一天選擇米飯套餐的概率為2/3,而前一天選擇了米飯套餐后一天繼續選擇米飯套餐的概率為1/4,前一天選擇面食套餐后一天繼續選擇面食套餐的概率為1/2,如此往復.

(1)求該同學第二天中午選擇米飯套餐的概率;

(2)記該同學第n天選擇米飯套餐的概率為Pn.

由全概率公式,得

Pn+1=P(An+1)