一道拋物線問題的思路突破與教學微設
——以2021年常州市中考卷拋物線問題為例

陳 超

? 江蘇省蘇州高新區實驗初級中學

1 考題呈現,思路突破

1.1 考題呈現

(1)填空:k=______,b=______;

(2)設點D的橫坐標為t(t>0),連接EF,若∠FGE=∠DFE,求t的值;

1.2 思路突破

本題為以拋物線為背景的函數綜合題,題設三問,分別求直線與拋物線的特征參數,分析等角關系下的坐標值,以及探究幾何面積的構建.

(2)該問探究當∠FGE=∠DFE時點D的橫坐標,圖象較為復雜,解析的關鍵是轉化等角條件.

第一步,推導關鍵點的坐標.

圖2

第二步,構建方程求坐標.

點評：第(2)問的題設有兩大特點:一是等角條件所涉角度與平行四邊形的內角相關;二是平行四邊形的一組對邊平行于y軸.按照“等角轉化—關鍵點推導—構建坐標參數方程”的思路進行解題,即首先將等角轉化為等邊條件,然后推導關鍵點的坐標,基于三角函數構建參數方程,進而完成求解.其中,平行四邊形的特征性質與三角函數是破題的關鍵知識.

第一步,轉化面積條件.

圖3

第二步,構建線段關系.

點評：第(3)問則是將函數與圖形面積緊密關聯,同樣特點鮮明:一是構建三角形與四邊形的面積關系;二是隱含眾多平行與垂直關系.故探究線段長需分步進行:轉化面積關系條件,推導線段長,利用三角函數構建坐標參數方程.其中的破題方法特點突出,實用性強.

2 基于考題開展教學微設計

上述充分利用數學思想和解題方法來破解考題的后兩問,教學中需要重視思維的引導,合理設問引導學生獨立思考,幫助學生理解方法,形成自我的解題策略.下面基于第(2)(3)問開展教學微設計.

環節一：知識強化,初識圖象

圖4

設問1根據函數解析式提取特征參數,并求點A,B,C的坐標.

設問2理解構圖過程,梳理條件,提取其中的幾何性質.

設計意圖：直接呈現函數解析式,強化特征參數,掌握求交點的方法,同時引導學生讀題,把握圖象構建過程,理解圖象,提取幾何性質,為后續探究作鋪墊.

環節二：拾級而上,轉化構建

在環節一的基礎上,進一步設定:如圖2,過點A作EG的垂線,設垂足為M,延長GE與x軸的交點設為N.設點D的橫坐標為t(t>0),連接EF,∠FGE=∠DFE.

設問1在平行四邊形DEGF中,可以得出怎樣的線段關系?△DEF有怎樣的特性?

設問3分析可得∠AEM=∠NEC=∠AOC,是否有cos∠AOC=cos∠AEM?并求該函數值,

設問4請在Rt△AEM中構建cos∠AEM,并求出t的值.

設計意圖：將第(2)問的解析過程進行拆解,引導學生轉化條件,推導關鍵坐標和線段長,利用三角函數構建方程求解,使學生充分體驗解題過程.

環節三：思維發散,提升能力

設問3已知∠FDQ=∠ODH,在Rt△ODH中構建三角函數,求cos∠ODH的值.

設問4根據上述三角函數構建的邊長比例,推導DF,DQ,DA的線段長.根據DA+OD=5構建關于t的方程,進而求出OD.

設計意圖：拆解第(3)問的解析過程,引導學生轉化面積條件,充分利用三角函數知識來構建方程.同時引導學生體會解題的思想方法,感悟思想內涵.

解題教學建議采用教學微設計的方式,微設環節精選問題,合理拆解問題,通過設問來引導學生思考,探索解題步驟,體會解題過程,促進解題思維的發展.設計環節要注意兩點:一是問題設計的連續性,采用連續設問來引導學生遞進思考,促進思維形成;二是問題設計的導向性,關注學生的認知能力,利用具有引導性的問題來輔助學生思考.總之,整個教學環節要尊重學生的主體地位,給學生留足思考空間,以培養學生的解題思維為教學重點.Z