一道拋物線問題的思路突破與教學(xué)微設(shè)
——以2021年常州市中考卷拋物線問題為例

陳 超

? 江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)

1 考題呈現(xiàn),思路突破

1.1 考題呈現(xiàn)

(1)填空:k=______,b=______;

(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(t>0),連接EF,若∠FGE=∠DFE,求t的值;

1.2 思路突破

本題為以拋物線為背景的函數(shù)綜合題,題設(shè)三問,分別求直線與拋物線的特征參數(shù),分析等角關(guān)系下的坐標(biāo)值,以及探究幾何面積的構(gòu)建.

(2)該問探究當(dāng)∠FGE=∠DFE時點(diǎn)D的橫坐標(biāo),圖象較為復(fù)雜,解析的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化等角條件.

第一步,推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).

圖2

第二步,構(gòu)建方程求坐標(biāo).

點(diǎn)評：第(2)問的題設(shè)有兩大特點(diǎn):一是等角條件所涉角度與平行四邊形的內(nèi)角相關(guān);二是平行四邊形的一組對邊平行于y軸.按照“等角轉(zhuǎn)化—關(guān)鍵點(diǎn)推導(dǎo)—構(gòu)建坐標(biāo)參數(shù)方程”的思路進(jìn)行解題,即首先將等角轉(zhuǎn)化為等邊條件,然后推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),基于三角函數(shù)構(gòu)建參數(shù)方程,進(jìn)而完成求解.其中,平行四邊形的特征性質(zhì)與三角函數(shù)是破題的關(guān)鍵知識.

第一步,轉(zhuǎn)化面積條件.

圖3

第二步,構(gòu)建線段關(guān)系.

點(diǎn)評：第(3)問則是將函數(shù)與圖形面積緊密關(guān)聯(lián),同樣特點(diǎn)鮮明:一是構(gòu)建三角形與四邊形的面積關(guān)系;二是隱含眾多平行與垂直關(guān)系.故探究線段長需分步進(jìn)行:轉(zhuǎn)化面積關(guān)系條件,推導(dǎo)線段長,利用三角函數(shù)構(gòu)建坐標(biāo)參數(shù)方程.其中的破題方法特點(diǎn)突出,實(shí)用性強(qiáng).

2 基于考題開展教學(xué)微設(shè)計

上述充分利用數(shù)學(xué)思想和解題方法來破解考題的后兩問,教學(xué)中需要重視思維的引導(dǎo),合理設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考,幫助學(xué)生理解方法,形成自我的解題策略.下面基于第(2)(3)問開展教學(xué)微設(shè)計.

環(huán)節(jié)一：知識強(qiáng)化,初識圖象

圖4

設(shè)問1根據(jù)函數(shù)解析式提取特征參數(shù),并求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).

設(shè)問2理解構(gòu)圖過程,梳理?xiàng)l件,提取其中的幾何性質(zhì).

設(shè)計意圖：直接呈現(xiàn)函數(shù)解析式,強(qiáng)化特征參數(shù),掌握求交點(diǎn)的方法,同時引導(dǎo)學(xué)生讀題,把握圖象構(gòu)建過程,理解圖象,提取幾何性質(zhì),為后續(xù)探究作鋪墊.

環(huán)節(jié)二：拾級而上,轉(zhuǎn)化構(gòu)建

在環(huán)節(jié)一的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步設(shè)定:如圖2,過點(diǎn)A作EG的垂線,設(shè)垂足為M,延長GE與x軸的交點(diǎn)設(shè)為N.設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t(t>0),連接EF,∠FGE=∠DFE.

設(shè)問1在平行四邊形DEGF中,可以得出怎樣的線段關(guān)系?△DEF有怎樣的特性?

設(shè)問3分析可得∠AEM=∠NEC=∠AOC,是否有cos∠AOC=cos∠AEM?并求該函數(shù)值,

設(shè)問4請在Rt△AEM中構(gòu)建cos∠AEM,并求出t的值.

設(shè)計意圖：將第(2)問的解析過程進(jìn)行拆解,引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化條件,推導(dǎo)關(guān)鍵坐標(biāo)和線段長,利用三角函數(shù)構(gòu)建方程求解,使學(xué)生充分體驗(yàn)解題過程.

環(huán)節(jié)三：思維發(fā)散,提升能力

設(shè)問3已知∠FDQ=∠ODH,在Rt△ODH中構(gòu)建三角函數(shù),求cos∠ODH的值.

設(shè)問4根據(jù)上述三角函數(shù)構(gòu)建的邊長比例,推導(dǎo)DF,DQ,DA的線段長.根據(jù)DA+OD=5構(gòu)建關(guān)于t的方程,進(jìn)而求出OD.

設(shè)計意圖：拆解第(3)問的解析過程,引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化面積條件,充分利用三角函數(shù)知識來構(gòu)建方程.同時引導(dǎo)學(xué)生體會解題的思想方法,感悟思想內(nèi)涵.

解題教學(xué)建議采用教學(xué)微設(shè)計的方式,微設(shè)環(huán)節(jié)精選問題,合理拆解問題,通過設(shè)問來引導(dǎo)學(xué)生思考,探索解題步驟,體會解題過程,促進(jìn)解題思維的發(fā)展.設(shè)計環(huán)節(jié)要注意兩點(diǎn):一是問題設(shè)計的連續(xù)性,采用連續(xù)設(shè)問來引導(dǎo)學(xué)生遞進(jìn)思考,促進(jìn)思維形成;二是問題設(shè)計的導(dǎo)向性,關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知能力,利用具有引導(dǎo)性的問題來輔助學(xué)生思考.總之,整個教學(xué)環(huán)節(jié)要尊重學(xué)生的主體地位,給學(xué)生留足思考空間,以培養(yǎng)學(xué)生的解題思維為教學(xué)重點(diǎn).Z