一道與旋轉有關的動點最值問題的探究

李幽蘭

? 湖北省武漢市吳家山第二中學

初中平面幾何中,由圖形運動而產生的最值問題歷來是學生解題的難點,究其原因是圖形一直在變化,學生無法捕捉到運動變化背后“不變”的元素,難以分析出取最值時變化元素的位置,也就無法根據具體圖形分析求解[1]．其中,與旋轉有關的動點求最值問題,熱度一直高居不下,近幾年常“駐”各地中考選填題和幾何綜合題的壓軸位置,令莘莘學子頭疼畏懼.下面筆者分享一道題目的解法和變式的深入探究,希望給讀者一點啟發.

圖1

解法1：(坐標法)分別過點Q和Q′作x軸的垂線,垂足分別為點M和N,如圖2.

圖2

于是∠QMP=∠PNQ′=90°,則∠PQ′N+∠NPQ′=90°.

因為∠QPQ′=∠QPM+∠NPQ′=90°,則∠PQ′N=∠QPM.

又PQ=Q′P,所以△PMQ≌△Q′NP(AAS).

故PM=Q′N,QM=PN.

故選答案:B.

點評：解法1抓住平面直角坐標系中的有利條件,構造了 “一線三垂直”模型證三角形全等.首先設未知數表示出動點Q的坐標,用坐標來表示線段長度進行轉化,然后由勾股定理表示兩點之間的距離,用含x的式子將OQ′表示出來,最后運用二次函數的知識求出最值.這種方法雖然很巧妙、簡便,但是有一定的局限性,只能用于有坐標系且旋轉角度特殊的題目.

解法2：(軌跡法)如圖3,將△AOB繞點P順時針旋轉90°得到△A′O′B′,則Q′為直線A′B′上一動點,根據垂線段最短,OQ′的最小值為點O到直線A′B′的垂線段的長度d.

圖3

由題意,得O′(1,1),A′(3,1),B′(1,-3).

點評：解法2由旋轉的本質出發,直線AB繞點P順時針旋轉90°所得直線A′B′即為動點Q′的軌跡,但直接求直線A′B′的解析式不方便,因此旋轉整個△AOB,先求出點A′和B′的坐標,再求直線A′B′的解析式,最后用面積法求出點O到直線A′B′的距離.當然,在求出了直線A′B′的解析式后,也可以由此設Q′的坐標,用解法1中的坐標法,運用勾股定理和二次函數來求最值.解法2適用于大部分的動點旋轉求最值問題,即先確定動點軌跡.

圖4

變式1在Rt△AOB中,OA=2,AB=4,P是OB上一點,OP=1,Q是邊AB上的一個動點,將Q繞點P逆時針旋轉30°得到點Q′,連接OQ′,則OQ′的最小值為______.

解析：點Q在AB上運動,即點Q的軌跡為AB,那么將AB繞點P旋轉就能得到點Q′的軌跡.于是,將△AOB繞點P逆時針旋轉30°得到△A′O′B′,如圖5,則點O到A′B′的距離即為OQ′的最小值.

圖5

由旋轉,得∠BPB′=30°.

在Rt△AOB中,OA=2,AB=4,所以∠B=∠B′=∠BPB′=30°,于是A′B′∥OB,則∠AEB′=∠AOB=90°.

所以點O到A′B′的距離為OE的長度.

如圖5,過點B′作B′F⊥OB于點F,則∠B′FP=90°,于是四邊形OEB′F是矩形.

變式1沒有坐標系背景,顯然解法1不適用,而運用解法3,將點O繞點P順時針旋轉30°以后再求O′到AB的距離較為麻煩,經對比發現,此題解法2是最簡便的.

類似地,還可以變化圖形形狀和旋轉角度,解法一樣.

變式2如圖6,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D是AB上一點,AD=2,BD=4,E是邊BC上的動點,若點E繞點D逆時針旋轉30°的對應點是F,連CF,則CF的最小值是______.

圖6

基于以上分析,我們可以總結:解決這類繞定點旋轉的最值問題有三種方法,分別為坐標法、軌跡法、逆向軌跡法,根據不同的題目來選擇合適的方法,最常用的是軌跡法.若是動點所在的直線繞定點旋轉,則先確定動點旋轉后的軌跡,再根據垂線段最短求點到直線的距離,最后解直角三角形得到所求最值.

動態問題解題的關鍵是在“動”中尋找“定”的量,再由這些定量探尋出動點形成的軌跡,從而根據軌跡分析出最值位置,即“由動尋定,由定定軌,由軌求最”[2]．題目只是知識方法的一個素材,解題的過程能讓學生理解知識的原理,提煉方法的本質,注重解法的策略,總結問題的歸類,從而達到利用有限的題目實現無限的再創造．由解一道題變成會解一類題,乃至通解一種體系的題,這也是解題教學的方向[1].