一道初中幾何壓軸題的點評*

刁 琴 石勇國

?內江師范學院 數學與信息科學學院

從近年全國各省市中考來看,動態幾何題已成為中考數學的熱點題型之一.這類題按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”方式命題,有較好的區分度,具備探究的功能,有力地考查了學生的數學核心素養.然而這類題難度大,知識點跨度寬,多數學生不易掌握.本文中以2021年孝感孝南區二模初中數學壓軸題為例,利用歸納、類比、猜想、化歸的數學思維,結合數形結合的方法進行求解分析;同時點評了該題的考點、區分度、命題設計,并且給出了變式拓展以及教學上的幾點建議.

1 試題求解分析

題目在△ABC與△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,且∠CAB=∠CDE=θ,點D始終在線段AB上(不與點A,B重合).

圖1

圖2

對于第(2)問,利用類比、歸納,發現不變量.根據兩角對應相等的兩個三角形相似,判定Rt△ABC∽Rt△DEC,有

根據相似三角形的判定定理,即兩邊對應成比例且夾角相等,確定△ACD∽△BCE.于是

∠CBE=∠CAD=θ,∠DBE=90°,

以及相似比

猜想:不管角θ多大,均有△ACD∽△BCE,而且∠DBE是直角.

證明方法類似.

第(3)問利用化歸的方法,轉化最值問題進行求解.根據兩個不變量△ACD∽△BCE,∠DBE=90°,結合M是DE的中點、直角三角形斜邊中線定理和θ=30°,得到BM=ME=MD=CE.

圖3

2 試題點評

2.1 考點知識面寬,區分度明顯

試題第(1)問考查了三角形全等的判定.第(2)問考查了類比法、三角形相似的判定、相似比以及歸納法的第一步特殊值驗證.第(3)問考查了直角三角形的中線定理、勾股定理、直角三角形斜邊大于直角邊,以及最值問題.題中附帶的兩圖,包含了等腰直角三角形、特殊直角三角形等9個三角形,3個四邊形.涉及2個變量,即1個角度變量∠CAD,1個動點D.考點從等腰直角三角形變化為一般的直角三角形,從角度變化到動點變化,從求比值到求最值.問題由易到難、層次分明,考點之間有機融合,三個小問區分度明顯,是一道非常好的幾何壓軸題.

2.2 考題變中有定,動中有靜

該題有兩個變量,同時在變化中也有兩個不變量:一是△ACD∽△BCE;二是∠DBE是直角.

為了分解題目的難度,將變量θ依次取特殊值進行設問.第(1)問以簡單特殊值入門,讓考生初步嘗試;第(2)問以另外一個特殊值進一步探索,通過類比、歸納、猜想,引導學生發現上述兩個不變量.第(3)問將變量θ設置為固定值,以D為動點求最值.通過化歸的方法,將動態的問題轉化為直角三角形的靜態最值問題,最后得到解.

題目設計以學生為中心,讓學生從考題中享受探索發現、類比猜想、驗證證明的樂趣.選題動靜結合,從特殊到一般,在變化之中尋找不變量,在動態之中尋找最小值.三個小問由易到難、逐步深入,相關知識點銜接順暢,設計精巧,是一道適合探索研究的好題.

2.3 考題變化有度,適合變式訓練

本題有兩個變量,因此可以設計較多的變式拓展的訓練題.例如下面的問題(4):

(4)若θ=60°,M為DE的中點,當AC=2時,BM的最小值為多少?

另外考慮點D可能在AB的延長線上,可以設計如下問題(5):

(5)若θ=60°,且D在直線AB上(不與A,B重合),點M為線段DE的中點.若AC=2,當△BMC為直角三角形時,求BE的長.

圖4

圖5

再由直角三角形中線定理,可得

3 教學建議

(1)培養學生邏輯思維與直觀想象能力

針對幾何題,引導學生讀題并且聯想變化過程、繪制多幅圖展示動態過程,從題目中提取關鍵信息,在眾多的三角形中找出全等或相似三角形,利用相似比,根據三角形重要定理,列出邊角所具有的關系.利用數形結合的方式,對題目進行雙重表述,鍛煉邏輯思維與直觀想象能力.

(2)培養學生數學思維方式

按照數學的思維方式傳授數學知識,提升學生的四種數學思維:從特殊到一般的歸納思維、觸類旁通的類比思維、化繁為簡的化歸思維、“反其道而思之”的逆向思維.引導學生學會遇到問題時該如何發現規律、舉一反三、變換化簡、反向思考,逐步養成數學思維方法,能夠用數學的眼光看問題,了解問題的本質,分析出難點,選擇合適的數學方法,用數學語言表達求解過程,以此訓練學生的思維方式,提升數學核心素養.

(3)教學融入德育實踐

對復雜的動點幾何題分析不難發現,變量在變化過程中常常會出現數量關系保持不變的情形.這就需要我們勇于探索,排除動態變化的干擾,用數學的眼光去發現不變的規律,大膽猜測,小心求證.教學中要融入德育實踐,在潤物細無聲中,培養了學生講理、嚴謹的理性精神,鼓勵學生認識與評價數學,養成正確的理想信念,增強學生的興趣與自信心,培養堅韌不拔、謙虛謹慎與志存高遠的品質,以及追求創新的精神.Z