數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維的啟發(fā)與培養(yǎng)

周勇軍 肖樂斌

? 湖北省天門市小板中學(xué)

1 教學(xué)中要注意知識(shí)的遷移

“以其所知,喻其不知,使其知之.”這句話說明了用已知去獲取新知的道理,后續(xù)知識(shí)既是新知識(shí),又是已學(xué)知識(shí)的發(fā)展.數(shù)學(xué)教材通常在較多的例題前設(shè)計(jì)“準(zhǔn)備題”與“復(fù)習(xí)題”,其目的也就是溝通新舊知識(shí),讓學(xué)生聯(lián)系舊知識(shí),學(xué)習(xí)新知識(shí).因此,在教學(xué)新知識(shí)時(shí),應(yīng)充分利用教材知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,為學(xué)生指引一條由已知探求未知的道路,從而發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力.

例1比較下列兩個(gè)數(shù)的大小.

2 代數(shù)課上用基本語言法引導(dǎo)學(xué)生思維

基本語言法是指將復(fù)雜的代數(shù)問題逐步轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、學(xué)生能求解的形式.它是代數(shù)課上啟發(fā)學(xué)生思維的重要方法之一.下面結(jié)合例題具體談?wù)勥@種方法在啟導(dǎo)學(xué)生思維方面的具體運(yùn)用.

例2“x的3倍與y的差除以x與y的2倍的和的商”,如何列代數(shù)式.

運(yùn)用基本語言法啟導(dǎo)學(xué)生思維,首先引導(dǎo)學(xué)生觀察題目結(jié)構(gòu).(用提問的方式啟發(fā)學(xué)生思維.)

問題同學(xué)們,你能說出這段文字表述中含有幾種運(yùn)算嗎?(讓學(xué)生在思維活動(dòng)前,對(duì)問題內(nèi)容有初步的認(rèn)識(shí).)

學(xué)生都能很快回答有“差、和、商”.同時(shí),提醒學(xué)生在這些關(guān)鍵字眼上作上記號(hào).

接著進(jìn)一步提問:誰能用最基本、最簡(jiǎn)潔的語言說出這句話的大概意思呢?(讓學(xué)生在不自覺中運(yùn)用基本語言法來找到思維的突破口.)

學(xué)生可能有兩種典型的回答:

(1)差除以x再加上y的2倍的和;

(2)差除以和的商.

通過引導(dǎo)學(xué)生分析,原題目要求的問題可最終落腳到一個(gè)“商”字上.進(jìn)一步讓學(xué)生分析“到底是什么與什么的商呢?”學(xué)生很快會(huì)得出是“差與和的商”.其中,(1)的錯(cuò)誤在于沒有把握住基本語言的核心“商”.

最后,向?qū)W生明確指出:實(shí)際上,大家剛才使用了一種將復(fù)雜的代數(shù)語言轉(zhuǎn)化為基本語言的方法,我們把這種方法稱為基本語言法.從上面的分析可以看出,基本語言法能讓我們迅速、準(zhǔn)確地捕捉到問題的主要矛盾.只要抓住了主要矛盾,學(xué)生的思維活動(dòng)就會(huì)自然而然地正常、活躍、有序的運(yùn)轉(zhuǎn).為了解決主要矛盾,學(xué)生思維的能動(dòng)性就會(huì)自動(dòng)地推動(dòng)其思維活動(dòng)去處理最需要解決的次要矛盾.對(duì)于例2,學(xué)生為了能解決“差除以和的商”就會(huì)自然地去求“誰的差”“誰的和”.

基本語言法是一種啟導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生思維行之有效的方法.它以辯證唯物論中的矛盾論為理論依據(jù).要掌握好這種方法,需要學(xué)生有較強(qiáng)的語言駕馭能力,能抓住問題的主要矛盾準(zhǔn)確進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

為了能使學(xué)生對(duì)基本語言法有更清晰的認(rèn)識(shí),下面再給出一道文字語言少而數(shù)學(xué)語言多的題目.

例3設(shè)y=a(x2+2x+4)2+3a(x2+2x+4)+b的最小值是37,且x=-2時(shí),y=57,求a,b的值.

對(duì)于此例,如何具體地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用基本語言法去分析、轉(zhuǎn)化這里不再贅述,這里僅將使用基本語言法的轉(zhuǎn)化過程整理如下.

通過思維,一般學(xué)生根據(jù)條件能夠?qū)=-2,y=57代入原函數(shù)式化簡(jiǎn),整理得到28a+b=57.

原題可簡(jiǎn)化為:

設(shè)y=a(x2+2x十4)2+3a(x2+2x+4)+b的最小值是37,且28a+b=57求a,b的值.

引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)式,為了簡(jiǎn)化,設(shè)u=x2+2x+4,則u=(x十1)2十3≥3.

進(jìn)一步可簡(jiǎn)化為:設(shè)y=au2+3au十b(u≥3)的最小值是37,且28a+b=57,求a,b的值.

將u=3代入y=au2十3au+b,得18a+b=37.

原題最后簡(jiǎn)化為:

設(shè)18a+b=37,且28a+b=57,求a,b的值.

3 幾何課上用基本圖形法引導(dǎo)學(xué)生思維

基本圖形法是運(yùn)用基本圖形探索幾何解題思路的一種方法.它有助于提高學(xué)生的幾何解題能力.

它的模式是:將問題分解或構(gòu)造出若干個(gè)起主要作用的基本圖形,推出明顯(或隱藏)的性質(zhì),根據(jù)結(jié)論選擇組合,通過推理證明解決問題.

下面結(jié)合例子進(jìn)行分析.

例4如圖1,ABCD中,AE平分∠BAD,BM平分∠ABC,CM平分∠BCD,DE平分∠ADC.

圖1

求證:四邊形MNEF是矩形.

引導(dǎo)學(xué)生審題,首先對(duì)題目的已知條件及整個(gè)圖形有一個(gè)大致的認(rèn)識(shí).這是運(yùn)用基本圖形法的基礎(chǔ).

問題1要證四邊形MNEF是矩形,只需證什么就行了?

學(xué)生的回答可能有多種,但都離不開證“四個(gè)角都是直角”.(這是啟動(dòng)學(xué)生思維的開端.)

追問:四邊形MNEF的四個(gè)角是怎樣形成的?(這是引入基本圖形的關(guān)鍵,也是學(xué)生思維能否連續(xù)的關(guān)鍵點(diǎn).)

學(xué)生一般都能回答:每個(gè)角都是由一對(duì)角平分線相交形成的,并且是由一組平行線的同旁內(nèi)角形成的.

問題2一組平行線的同旁內(nèi)角的平分線相交形成的角有什么特點(diǎn)呢?

這就自然將問題轉(zhuǎn)變到對(duì)基本圖形的探索上了:

(1)如圖2,已知AD∥BC,AN平分∠BAD,BN平分∠ABC.求證:AN⊥BN.

圖2

(2)如圖3,已知AB∥CD,BM平分∠ABC,CM平分∠BCD.求證:BM⊥CM.

圖3

為了能使學(xué)生對(duì)基本圖形法有更清楚的認(rèn)識(shí),下面再舉一個(gè)較復(fù)雜的例子.

例5如圖4,ABCD為圓內(nèi)接四邊形,AC和BD交于點(diǎn)M,AE⊥BD于點(diǎn)E,BF⊥AC于點(diǎn)F.

圖4

求證:EF∥CD.

此題線條比較多,圖形較復(fù)雜,如何運(yùn)用基本圖形法來啟導(dǎo)學(xué)生思維呢?其運(yùn)用過程簡(jiǎn)述如下:

第一步,要求學(xué)生在圖中尋找所要證的基本圖形是什么.學(xué)生不難找出所證圖形為圖5.

圖5

結(jié)合此基本圖特點(diǎn),讓學(xué)生自己得出:要證EF∥CD,即證∠CDM=∠FEM.

第二步,根據(jù)第一步的結(jié)論,學(xué)生的思維就會(huì)轉(zhuǎn)向在原圖中尋找∠CDM與∠FEM.教師這時(shí)可以和學(xué)生共同分析,得出:

(1)∠CDM位于原圖的基本圖形是外圍圖形,如圖6.

圖6

隱含結(jié)論:∠CDM=∠BAM.要證∠CDM=∠FEM,即只需證∠FEM=∠BAM.

(2)∠FEM位于原圖的基本圖形是核心圖形,如圖7或圖8.

圖7

圖8

引導(dǎo)學(xué)生觀察,就會(huì)發(fā)現(xiàn)核心圖形中的隱含性質(zhì)——Rt△ABF與△ABE共圓,深化核心圖形.

聯(lián)系第一步,最后確定要證∠FEM=∠BAM,這兩個(gè)角都在核心圖形中.學(xué)生此時(shí)的注意力就可全集中于該圖中,不難證明∠BAM=∠FEM.

第三步,學(xué)生根據(jù)結(jié)論,選擇組合完成整個(gè)幾何問題的證明.

從以上例子可以看出,基本圖形法運(yùn)用得當(dāng),確實(shí)能使學(xué)生主動(dòng)參與活動(dòng),準(zhǔn)確有序地完成幾何問題的證明.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,注意新舊知識(shí)之間的聯(lián)系與遷移、基本數(shù)學(xué)語言中的核心字眼,融合基本圖形的應(yīng)用與分解組合,對(duì)培養(yǎng)和啟發(fā)學(xué)生的思維有重要的作用.Z