感悟等號(hào)意義 提高運(yùn)算能力

于 莎

? 山東省淄博市臨淄區(qū)遄臺(tái)中學(xué)

等號(hào)是數(shù)學(xué)中常見的運(yùn)算符號(hào),與等號(hào)相關(guān)的計(jì)算是代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).等號(hào)是用來表示左右相等關(guān)系的,如果等號(hào)兩邊的數(shù)字、字母或者式子不對(duì)等,學(xué)生往往會(huì)因?yàn)閷?duì)等號(hào)的理解不深刻,導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤.

等號(hào)的對(duì)等性是數(shù)值大小的相等,計(jì)算的關(guān)鍵在于不改變數(shù)值的對(duì)等性.圍繞這一對(duì)等性,進(jìn)行移項(xiàng)、去括號(hào)、添括號(hào)、配方、約分等運(yùn)算是代數(shù)運(yùn)算的法則和基礎(chǔ).

1 學(xué)生計(jì)算中常出現(xiàn)的問題以及解決策略

1.1 運(yùn)用配方法時(shí)只對(duì)等號(hào)一邊進(jìn)行運(yùn)算

例1解方程:3x2+8x-3=0.

常見錯(cuò)解：原方程可變形為3x2+8x=3,則

錯(cuò)解分析：學(xué)生解一元二次方程時(shí),通常比較注重配方,但往往忽視了與等式性質(zhì)的結(jié)合.在將二次項(xiàng)系數(shù)化為1進(jìn)行配方時(shí),容易忽略等號(hào)的右邊也要進(jìn)行同樣的運(yùn)算,計(jì)算過程中等號(hào)應(yīng)兩邊始終保持相等.配方運(yùn)算是建立在等式的基本性質(zhì)之上.

在教授配方法解一元二次方程時(shí),教師要強(qiáng)調(diào)等式的性質(zhì).將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,不是僅僅對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)化為1,而是要運(yùn)用等式的性質(zhì)2,將等式中的每一項(xiàng)都除以二次項(xiàng)系數(shù),這一過程沒有改變等號(hào)兩邊的平衡.運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行配方時(shí),配方的過程運(yùn)用的是等式的性質(zhì)1,方程兩邊要同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.教學(xué)中要讓學(xué)生明白算理,展現(xiàn)前后兩個(gè)算式的形和大小是如何變化的.

分析：等式的性質(zhì)是等式固有的運(yùn)算規(guī)律,代數(shù)中的很多運(yùn)算都要用到等式的性質(zhì).靈活運(yùn)用等式的性質(zhì)是解決方程問題的關(guān)鍵,也是一些化簡(jiǎn)求值題的關(guān)鍵.

例1中將方程兩邊同時(shí)除以3把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,運(yùn)用的是等式的性質(zhì)2,要讓學(xué)生明白等號(hào)的右邊不是沒有除以3,只不過0除以任何數(shù)都是0.配方運(yùn)用的是等式的性質(zhì)1,等號(hào)兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是左邊加了而右邊沒加.

無論是人教版還是魯教版,課本中的例題都沒有呈現(xiàn)如何將二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式.實(shí)際教學(xué)中,轉(zhuǎn)化運(yùn)算是難點(diǎn),也是易錯(cuò)點(diǎn).由于這部分內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)完利用配方法解一元二次方程后學(xué)習(xí)的,學(xué)生有了一定的基礎(chǔ),可類比計(jì)算,但兩者有不同之處.一元二次方程等號(hào)一邊是0,而二次函數(shù)等號(hào)一邊是y,計(jì)算過程中,一元二次方程若不能直接配方,則將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊,而二次函數(shù)的一邊是y,學(xué)生不知如何運(yùn)算.將二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式有如下三種方法.

方法3:將二次項(xiàng)系數(shù)化為1(等式兩邊同時(shí)乘-2),得-2y=x2-2x+5.

移項(xiàng),得-2y-5=x2-2x.

配方,得-2y-5+1=x2-2x+1,則-2y-4=(x-1)2,即-2y=(x-1)2+4.

分析：方法3與用配方法解一元二次方程類似,可類比學(xué)習(xí),這樣學(xué)生更易理解.方法1和方法2的不同之處在常數(shù)項(xiàng)的處理上面,兩種方法區(qū)別不大,用的都比較多.學(xué)生類比配方法解二次函數(shù)的相關(guān)問題時(shí),常常出現(xiàn)的問題是等號(hào)右邊二次項(xiàng)系數(shù)化為1,而等號(hào)左邊的y保持不變.究其根本原因是沒有深刻理解等式的性質(zhì).提取二次項(xiàng)系數(shù)后,括號(hào)里面要配方,還要把多余的數(shù)字再與二次項(xiàng)系數(shù)相乘后放到括號(hào)外面,這里十分容易出錯(cuò).教學(xué)中要讓學(xué)生明白等號(hào)之所以成立,是因?yàn)閮蛇叺淖冃胃淖兊闹皇切问?沒有改變大小.二次函數(shù)一般式化為頂點(diǎn)式后,教師可再次引導(dǎo)學(xué)生將頂點(diǎn)式通過去括號(hào)化為一般式,讓學(xué)生感受其中的變化,深刻理解等號(hào)的意義.

1.2 解一元一次方程去分母常出現(xiàn)的問題

隨著振興蘇北戰(zhàn)略的實(shí)施，蘇北地區(qū)園林綠化發(fā)展迅速，綠化指標(biāo)在同類城市中處于領(lǐng)先位置，如近年來，徐州以創(chuàng)建國(guó)家生態(tài)園林城市為抓手，大力推進(jìn)城市生態(tài)園林建設(shè)，構(gòu)建了功能完善、分布均衡、便民利民、管護(hù)精細(xì)的城市公園體系，繼2005年獲得國(guó)家園林城市稱號(hào)后，2016年1月又獲得首批“國(guó)家生態(tài)園林城市”稱號(hào).宿遷近幾年重點(diǎn)建設(shè)“一山一河三路三園”，打造了一批園林亮點(diǎn)工程，形成以“大湖林海”為核心、外環(huán)路綠化為環(huán)、古黃河水系綠化為帶、高速出入口為點(diǎn)、特殊區(qū)域?yàn)槠沫h(huán)城生態(tài)綠化格局.

針對(duì)這個(gè)題,也可以拓展一下,由兩個(gè)分母0.4,0.5的最小公倍數(shù)為2,得到如下方法二.

例4的三種方法可以使學(xué)生充分理解等號(hào)的意義,等號(hào)之所以相等,體現(xiàn)在數(shù)值的不變性上.運(yùn)用等式的基本性質(zhì)對(duì)式子左右兩邊進(jìn)行整體運(yùn)算,運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)對(duì)式子進(jìn)行局部化簡(jiǎn).

1.3 解分式方程與分式的運(yùn)算中出現(xiàn)的問題

學(xué)生進(jìn)行分式的加減時(shí),常與解分式方程發(fā)生混淆,根源還在于沒有理解等號(hào)的意義以及運(yùn)算法則.學(xué)生學(xué)完解分式方程后進(jìn)行異分母分式的加減,會(huì)按照解分式方程的步驟乘最簡(jiǎn)公分母去掉分式的分母.分式方程是等式,解分式方程與例3解一元一次方程方程是類似的,運(yùn)用的都是等式的性質(zhì);而分式的加減不是等式,運(yùn)用等式的性質(zhì)顯然是錯(cuò)誤的,應(yīng)該運(yùn)用分式的基本性質(zhì).

2 教學(xué)中要多角度理解等號(hào)的意義

2.1 等式的運(yùn)算只是形的改變,是等量轉(zhuǎn)化

例6若3x+5y-3=0,求8x·32y的值.

可將8和32轉(zhuǎn)化為23和25,改變了形,將數(shù)字轉(zhuǎn)化為冪的形式,進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化,運(yùn)用的是轉(zhuǎn)化思想,沒有改變數(shù)值的大小.

8x·32y=(23)x·(25)y=23x·25y=23x+5y=23=8.

2.2 借助等號(hào)的意義實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便運(yùn)算

實(shí)際問題中方程的數(shù)值都比較大,學(xué)生計(jì)算容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.運(yùn)用等式的性質(zhì)或者分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便.

等號(hào)的意義不僅僅在于表示運(yùn)算的結(jié)果,更要讓學(xué)生理解其中的算理.學(xué)生雖然已經(jīng)有一定的抽象運(yùn)算能力,但很大程度上還停留在具體數(shù)字的運(yùn)算層面,初中學(xué)生的思維正處在從具體到抽象的過渡期.因此,教師在授課時(shí),要注意借助具體、形象的模型或事物幫助學(xué)生理解問題,促進(jìn)其數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展.

運(yùn)算能力是初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一,提升運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理,尋求合理簡(jiǎn)潔的途徑解決問題.學(xué)生對(duì)等號(hào)的意義有了深刻的理解和感悟,才能夠提高運(yùn)算能力,培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)品質(zhì).Z