依托主題大概念 建構單元大整體
——“分數與整數相乘”教學實踐與思考

淮陰師范學院第一附屬小學 （223021） 王 平

淮陰師范學院 （223300） 任建波

“分數與整數相乘”是蘇教版教材六年級上冊“分數乘法”單元的起始內容，是“數與運算”主題的重要內容。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，這一主題教學的重點包括感悟數的認識與數的運算之間的密切聯系，理解四則運算之間的關系，感悟運算的一致性等。即數的認識是運算的基礎，通過數的運算有助于學生更好地認識數；四則運算本質上是計數單位多少的表達，加法和乘法是計數單位個數的累加，減法和除法是計數單位個數的細分。在內容分布上，“乘法運算”在小學三個學段中都有相應的安排，呈現螺旋上升、不斷豐富和深化的特點（見表1）：第一學段了解意義、感悟關系、探索算理和算法；第二學段探索并掌握多位數的乘法，進行混合運算和理解運算律；第三學段進行小數、分數的運算，感悟運算的一致性，包含乘法的意義、算理一致性和分數特殊性三個方面的大概念。

表1 “乘法運算”在小學三個學段中的編排情況

基于以上認識，筆者依據主題大概念對“分數與整數相乘”進行了整體性設計，橫向關聯，揭示乘法意義的一致性，即表示幾個相同整數、小數、分數相加的運算；縱向貫通，體現整數、小數和分數乘法算理本質的一致性，即均是求計數單位的個數。

【教學片段一】創設情境，整體進入

師：還記得我們是怎樣慶祝國慶節的嗎？我們通過當時的照片回憶一下。

出示圖文信息（圖略）：（1）一年級舉行了莊重的入隊儀式，邀請部分優秀少先隊員代表參加，他們的座位為低、中、高三個方陣，每個方陣20 個座位；（2）校園展出優秀書法、繪畫和手工作品，每種作品有30 件；（3）游園活動大約20 項，參與一個項目平均需要0.09 小時；（4）游藝活動的獎品特別豐厚，每個年級的經費為0.2萬元。

師：你能從以上信息中獲得哪些數學信息？會列算式表達嗎？列算式后選擇其中一道算式，說一說它表示的意思。

生1：優秀少先隊員代表的人數為20×3，表示3個20相加。

生2：參加全部游園活動大約需要0.09×20 小時，表示20個0.09相加的和。

師：怎樣計算？說說你計算的道理。

生3：20×3 就是2 個十乘3 得6 個十，6 寫在十位上，就是60。

生4：0.09×20 也是這樣，先算出有180 個0.01，就是1.8。

師：這些是大家已經學過的整數和小數乘法，分數乘法的意義會不會有變化？計算方法有沒有獨特之處？今天我們就來研究一下。

【思考】課始選取學生有親身體驗的國慶節慶祝活動作為導入情境，呈現活動中的場景和信息，引導學生進行數學化的表達和說理，可激活學生關于整數、小數乘法意義以及算法、算理的經驗。一方面將分數乘整數的學習融入乘法學習的整體中，另一方面給予學生回顧、溝通和比較的研究視角，為學生后續感悟大概念的意義相通性和運算一致性做好準備。

【教學片段二】探究算理，融入整體

1.獨立研究

出示任務單（如圖1）：

圖1

2.溝通比較

展示學生作品（如圖2）：

圖2

師：你們真了不起，想出了這么多方法。老師注意到，雖然大家都算出了相同的結果，可列的算式不一樣，都正確嗎？為什么？

生1：正確。不管是加法還是乘法，都算出了做3朵綢花要用綢帶的米數。

生2：正確。因為幾個相同的數相加可以用乘法。

師：和我們學過的整數、小數乘法一樣，幾個相同的分數相加也可以用乘法計算。

師：你都能看懂這些方法嗎？你看懂了哪個方法？

生4：第②個。他是將分數轉化為小數來計算的。把新問題轉化為已有知識來解決，是個好辦法。

生5：第③個。他根據分數與除法的關系，把分數轉化成整數來計算。

師：能看懂第④個的算法嗎？

……

師：這些方法之間有什么關系嗎？

生8：②和③其實也是一樣的，因為3÷10=0.3。

師：太棒了，你們不僅能理解這些方法，還能發現它們之間的聯系。

【思考】布魯納在《教育的過程》中指出，一節課應該圍繞社會認為值得人們持續關注的重大問題、原則和價值標準進行建構。鑒于此，本環節緊緊圍繞“乘法意義的一致性”和“運算方法的相通性”這兩個大概念進行整體建構。通過意義、算法和算理三個層次的溝通、比較，讓學生自然地遷移乘法的意義，使分數乘法與整數、小數乘法的意義縱向貫通，并且展現算法多樣化和算理溝通，使學生感悟到四則運算的關聯性，深化對運算的整體認識。

【教學片段三】溝通算理，完善算法

師：請回憶我們是怎樣計算整數乘整數、小數乘整數的。比一比，分數乘整數和它們一樣嗎？

生1：我覺得有不同的地方，也有相同的地方。相同的地方是它們都是先用整數相乘，不同的是算出的結果表示的數的大小不同。

生2：是一樣的，就像生1 說的，都是先計算出有多少個計數單位，整數、小數是計數單位，分數叫分數單位，再看結果是多少。

生3：都是先把數拆成計數單位和個數，算出個數再合成結果的。

師（根據學生的回答完成板書，如圖3）：同學們真了不起，可以這么深刻地認識乘法運算的道理。

圖3

出示例題：小華做5 朵這樣的綢花，一共用彩帶幾分之幾米？在作業紙上列式并解答。（學生獨立完成后全班交流）

……

師：面對能約分的分數乘法算式，先約分再計算更簡單。對照剛才計算的這些算式，說一說分數和整數相乘時可以怎樣計算？

生4：分子與整數相乘，算出分數單位的個數，分母不變，能約分的先約分再計算。

【思考】本環節重在對分數和整數、小數乘法算理一致性的建構和分數乘法算法的歸納。出示算式資源，引導學生在討論中體會乘法算理的一致性——都是計數單位個數的累加，計算時都是先計算有多少個計數單位（分數單位），再根據位值制表示結果。在此基礎上，通過比較計算過程讓學生明確能約分的先約分，為后面再次完善算理一致性的整體建構留下即插“接口”。

【教學片段四】實踐應用，深化整體

師：剛才我們一起研究了分數與整數相乘，下面就運用學到的知識解決一些實際問題。先在長方形中涂出4個，再算出涂色部分一共是這個長方形的幾分之幾。

圖4

圖5

師：圖形里藏著的數學奧妙不止這些，我們接著看。觀察圖示變化，先寫出算式，再說一說算式表示的意思。（動態出示圖6）

圖6

師：你們都是這么想的？再看一題。（出示圖7）

圖7

師：你有什么發現？

生5：圖示的過程不同，算式也不同，最終的樣子是相同的。

生6：算式不同，表示的意義也不同，它們的結果是相同的。

師：為什么會這樣？

出示信息：

總之，整節課教學在“乘法運算”主題下，依托乘法意義一致性和乘法運算一致性等大概念，實現了整數、小數和分數乘法的縱橫貫通，促使學生從整體的視角理解和掌握分數與整數相乘的意義與方法。在更大的“數與運算”主題下，學生感悟到了四則運算本質上的一致性——計數單位多少的累積與表達。在這樣的教學探索中，“分數乘法”單元不再只有分數的運算、乘法的“小整體”，還具有了數與運算的“大整體”。由此，單元聯結著課程與課時，單元教學的整體性思維與構型一定程度上就是課程學習的整體性樣態與進程，教師建構單元整體時要解構表面的單元課時內容之間的“小關聯”，依托更上位的主題大概念，從知識發展脈絡和學習本質內核上重新定位“大目標”、設計“大活動”、建立“單元鏈”，為學生核心素養的發展預留更多“大接口”。