因地制宜：學生量感培養的有效路徑
——以“認識公頃”一課為例

南通高等師范學校附屬小學 （226009） 施榮兵

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，量感主要是指對事物的可測量屬性及大小的直觀感知。量感是數學核心素養之一。在學段目標中，第一學段要求學生形成初步的量感，第二學段和第三學段都要求學生形成相應的量感，可見學生量感的培養貫穿整個小學階段。因此，教師在備課時需認真思考教材上的素材是否符合學生的知識基礎和生活經驗，當素材不能滿足培養學生量感的需要時，教師不應拘泥于教材給定的素材。教師要善于揣摩教材編者的意圖，根據教學內容和學生的實際情況因地制宜地開發教學資源，創造性地使用教材，引領學生開展高效的學習活動，使學生形成較為良好的量感。

一、分析教材，基于學生視角尋找適合的素材

教材編排的例題具有一定的普適性，但面對不同地區的學生，有時難免會有些“水土不服”。教師在教學有關量感的新課時，首先要認真分析教材，站在學生的角度確定教學的重難點，尋找身邊適合培養學生量感的教學素材。學生每學習一個新知識點，教師要全面考慮“以學生現有的知識基礎會遇到哪些困難”“以教材的素材進行教學能不能產生較好的教學效果”等問題。如果教材上的素材滿足不了學生的學習需求，教師就要思考“還需要哪些素材的輔助”“怎樣才能順利讓學生完成相應知識點的學習”。只有準確把握學生的學習起點，選擇合適的教學資源，教學才能做到有的放矢，才能順利完成一節課的教學。

蘇教版教材五年級上冊“認識公頃”一課中的公頃是個比較大的面積單位，學生對這個較大面積單位的感知不可能一蹴而就，要讓學生順利建立量感，素材的選擇尤為重要。

在學習公頃這個新的面積單位之前，學生的知識基礎是在三年級下冊認識的平方厘米、平方分米和平方米這幾個較小的面積單位。而在這節課之前，教材也只是側重于平行四邊形、三角形和梯形面積公式的推導以及相關面積問題的計算，并無有關量感的鋪墊。也就是說，在學習公頃之前，學生頭腦中只有在三年級學習面積單位時建立的幾到幾十平方米概念，而且中間一年多的時間沒有關于面積的任何訓練，部分學生對平方米這個面積單位也已經感到模糊，一下子跨越到公頃（10000 平方米）這個較大的面積單位，學習勢必不可能一帆風順。

教材是以四個著名景點的面積為素材（如圖1）導入新課，目的是讓學生對公頃這個新的面積單位有初步的認識。

圖1 教材上的素材

通過課前調查發現，絕大多數學生沒有去過這些景點，個別去過的學生對這些景點也沒有面積大小的概念。顯然，這些素材遠離學生的生活實際。因此，如果只用這些素材引入新課，學生就只知道“公頃是個新的面積單位”“公頃很大”，對于具體有多大，學生可能連感性的認識都沒有。

本節課的教學難點是讓學生建立1 公頃大小的表象。教材是先直接給出概念“邊長100 米的正方形土地，面積是1 公頃”，然后讓學生通過活動建立100平方米有多大這個表象，也就是讓28名學生手拉手圍成一個正方形，正方形的面積大約是100平方米。在此基礎上再讓學生通過計算去想象100 個100 平方米是10000 平方米，也就是1 公頃。學生在學這節課之前，對100 平方米的大小并沒有概念，因此，即使有了28 名學生手拉手圍成一個大約100 平方米的正方形這個即時表象，也很難在此基礎上通過想象去感知100 個100 平方米有多大。從100 直接跳躍到10000 ，跨度較大，超過了學生的感知范圍，不符合學生的認知規律，以此為基礎建立的10000平方米的表象猶如“空中樓閣”。

學生量感的建立，應遵循由小到大、螺旋上升的原則，跨度不能大。教師此時需要思考：學生身邊有沒有占地面積是100 平方米、1000 平方米和10000 平方米的地方呢？如果能找到，就可以讓學生逐步建立100平方米、1000平方米、10000平方米的表象，有助于學生建立比較穩定的1公頃表象。

二、找準參照物，以豐富的現實表象培養學生的量感

教學活動應使學生的認知與身體、環境建立聯系。選擇的素材應是學生熟悉的，可以因地制宜地從身邊找素材，從而讓學生通過有邏輯的推理想象，借助熟悉的小量感知大量；有時還需要借助轉化量，讓學生從其他角度進行感知。學生坐在教室里學習，就算教師創設的情境再生動形象，多媒體技術的運用再嫻熟，學生的感知也只是在視覺層面，體驗不會很深刻。當“虛擬情境”滿足不了學生的學習需求，學生很難在“虛擬情境”中感知較大的量，因此，在真實情境中選擇合適的素材讓學生感知就相當有必要了。當學生走出教室，以現實生活中的資源為學習素材，抽象的數學知識就會變得直觀形象，學生的體驗自然會深刻，學習效率自然會提高。

既然學生對教材編排的四個景點（如圖1）不熟悉，也沒有面積大小的概念，教師就應尋找學生熟悉的景點。例如本校每學期都會組織學生參加校外實踐活動，五年級的學生對學校周邊的風景區都比較熟悉，如占地面積約21 公頃的“南通城市綠谷”、占地面積約35 公頃的“南通嗇園”、占地面積約53公頃的“南通奇妙農場”、占地面積約125公頃的“南通植物園”，學生基本都游玩過這些本地旅游景點。學生熟悉的素材已經找到，下一步就是在現實生活中找到面積是100 平方米、1000 平方米、10000 平方米的地方讓學生實地感受，這還是得從學生的身邊找起。筆者課前和同年級的幾位數學教師一起去測量了幾個有代表性的建筑物：一間教室的長為8.2 米，寬為6.3 米（兩間教室的占地面積約為100 平方米）；學校有標準的室內籃球館，籃球場長為28米，寬為15米（兩個多一點的籃球場的占地面積約為1000 平方米）；學校的操場是標準的400 米跑道，內圈長方形的長是85.4 米，寬是73 米（如圖2），操場跑道圈起來的場地面積剛好接近1公頃。這幾個現成的面積原型，讓學生有了直觀的體驗，有利于學生逐步建立比較穩定的1 公頃表象。

圖2

三、因“材”施教，在測量和計算中培養量感

小學生以形象思維為主，雖然高年級學生有了初步的抽象邏輯思維，但這種抽象邏輯思維仍需要一定的直觀形象支撐。教學有關量感的概念課時，教師要在學生充分感知的基礎上，用豐富的表象做支撐，這樣才能幫助學生理解抽象的概念。教師除了要在現實生活中找到合適的教學素材，還要整合和優化素材，將其串聯起來教學。量感作為一種數學直覺具有一定的抽象性，讓學生親身經歷體驗過程是培養量感的重要途徑，因此，實地感受參照物的大小等數學活動是相當必要的。數學活動既可以是教室內的各種學習活動，也可以是教室外的實踐活動，讓學生動手與動腦相結合，有助于學生建立較為穩定的量感。教師要充分考慮學生在學習新知時可能會遇到的困難，因地制宜，找到適合學生學習的本土素材，因“材”施教，輕松突破教學難點，使教學過程順暢，“真學”就會自然發生。

教學“認識公頃”之前，筆者帶領學生一起測量了教室的長和寬、體育館內籃球場的長和寬以及跑道內場地的相關數據，并引導學生估算出各場地相應的占地面積。學生在測量活動中鍛煉了的動手能力和合作能力，在計算中對較大的面積有了直接的體驗。在操場上測量時，筆者還組織28 名學生在操場上手拉手圍正方形，并測量圍成的正方形邊長，再估算面積。學生得出結論：28 名學生手拉手圍成的正方形面積大約是100 平方米。對比圍成的正方形和兩間教室，初步滲透面積為100 平方米的圖形形狀可以不同的理念，為上新課時讓學生理解面積是1公頃的圖形形狀的多樣化做鋪墊。

課堂上，筆者利用課前學生測量的數據和學生一起計算出一間教室的占地面積為8.2×6.3=51.66（平方米）、標準籃球場的占地面積為28×15=420（平方米）、操場內圈面積為85.4×73+3.14×36.5×36.5=10417.465（平方米）。由于此時學生還沒有學習小數乘法和圓的面積公式，在計算時可簡單告訴學生計算方法后直接用計算器算出結果。

兩間教室的占地面積大約是100 平方米，學生能直接感知，從而建立100 平方米的量感；兩個多一點籃球場的占地面積大約1000 平方米，學生能在簡單地推理中感知，也能建立穩定的1000 平方米量感；操場內圈面積為10417.465平方米，大約是1公頃，至此，學生建立1公頃的量感。

對于教材上“邊長100 米的正方形土地，面積是1 公頃”這句話，有些學生會錯誤地認為只有邊長是100米的正方形面積才是1公頃。通過和操場內圈面積的對比，學生明白操場內圈面積減去417.465 平方米剩下的圖形形狀可以有很多種，就不再有這樣的誤解了。在測量和計算中，學生對1公頃的大小有了一個直接的感知，對1 公頃大小的圖形形狀的多樣性也有了認識，一舉兩得。

測量是十分重要的技能，其目的是得到精確的數值，而量感更多地體現在不借助工具的前提下對數量有較準確的感知。在學生建立了穩定的1 公頃表象之后，筆者再結合學校的鳥瞰圖（如圖3）讓學生估一估學校的占地面積，以操場內圈面積是1公頃左右為基礎進行估算：操場除了內圈，剩余部分面積大約為操場內圈面積的一半，也就是0.5 公頃，整個操場的面積約1.5公頃；操場占整個學校面積的三分之一，進而可以估算出整個學校的占地面積約4.5公頃。通過操場內圈面積推算學校的占地面積，學生在推理中對公頃的認識又進了一步。

圖3 學校的鳥瞰圖

學校是學生再熟悉不過的地方，一個五年級的學生已經熟悉學校的每一個角落，以學生最為熟悉的場地作為教學“認識公頃”的素材再好不過。在學生認識完身邊有關公頃的素材，有了量感的基礎后，再把教材編排的四個景點呈現給學生，效果會更好。

四、課外延伸，深化學生對量感的理性認知

一節課的時間有限，量感的培養僅靠課上的學習難以全面深入。教師要在吃透教材的前提下，在課后進行適度“擴容”，布置有針對性的課外拓展作業，使學生量感的培養過程變得更“豐滿”。學生的課外拓展作業也要因地制宜，教師可根據學習內容，引導學生課后觀察熟悉的家鄉、觀察地大物博的祖國。在真實情境中應用所學知識解決有關度量的實際問題，不僅有助于學生鞏固在課堂上學到的知識，同時也滋養了學生的家國情懷。

學生學完新課后雖然已經形成初步的量感，但對公頃的認識還處在從感性到理性的過渡階段，還需要在實際應用中進一步深化。認識公頃，不僅是認識一個面積單位，建立穩定的1 公頃有多大的表象，還要養成用定量的方法認識和解決實際問題的習慣，形成抽象能力和應用意識。教師要有單元整體教學的視野，不僅要完成本節課的教學目標，還要全面考慮所學知識點在整個單元乃至整個小學階段學習中所處的地位，有針對性地進行教學延伸。

教學完“認識公頃”這節課后正好是個周末，筆者給學生布置了兩項課外拓展作業：（1）想辦法了解自己家所在小區的占地面積是多少公頃；（2）查閱相關資料，看看自己游玩過一個風景區的占地面積是多少公頃。周一進行作業匯報交流時，學生都能準確說出自己家所在小區的占地面積，小到幾公頃，大到幾十公頃。學生游玩過有名的風景區主要有：南京雨花臺風景區占地面積約153.7公頃、蘇州虎丘山風景區占地面積約72.8公頃、常州中華恐龍園占地面積約40 公頃、天安門廣場占地面積約44公頃、南通能達生態通廊總占地面積約213 公頃、如皋水繪園占地面積約27 公頃、南通狼山風景名勝區總面積約11.27平方千米……學生了解了自己家所在小區的占地面積和“回頭看”游玩過的景區，既深化了對公頃的理性認知，也為下節課學習“平方千米”做強有力的鋪墊。

學生量感培養的素材從熟悉的現實生活中來，建立量感后在實際運用中得以鞏固和提升，在活學活用中深化對量感的理性認知。學生在拓寬數學視野的同時學習逐步走向深入，學生的核心素養也實現自然進階。