開發(fā)數(shù)學(xué)“動(dòng)手做”：學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)應(yīng)有的視角
——以”圖形的放大與縮小”教學(xué)為例

江蘇南京市百家湖小學(xué) （211100） 王 軍

筆者在教學(xué)“圖形的放大與縮小”時(shí)，有學(xué)生提出了一些疑問：“怎樣才能更方便地將復(fù)雜的圖形按比例放大或縮?。拷滩纳蠄D形的放大與縮小都是將圖形上的對(duì)應(yīng)邊進(jìn)行放大或縮小，而圓是曲線圖形，為什么改變半徑的長(zhǎng)度就能將圓放大或縮?。俊鼻∏山滩脑谶@一節(jié)課的練習(xí)中編排了“動(dòng)手做”（如圖1），讓學(xué)生通過操作不同圖形的放大來感受圖形的相似性?！皠?dòng)手做”是蘇教版教材的特色欄目，是通過操作、游戲、實(shí)驗(yàn)、調(diào)查研究等方式，引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)和感知數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，使得學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

圖1

基于此，筆者根據(jù)學(xué)生的疑問并結(jié)合教材編排的“動(dòng)手做”活動(dòng)內(nèi)容，對(duì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)，以期實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“圖形的放大與縮小”的再認(rèn)識(shí)。

【案例描述】

活動(dòng)一：探究放大和縮小原圖的原理

師：大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了有關(guān)圖形放大與縮小的知識(shí)。研究了長(zhǎng)方形、正方形的放大與縮小后，你還想研究哪些圖形的？

生1：三角形、平行四邊形、梯形……

師：請(qǐng)先選定一個(gè)圖形，在方格紙上畫出來，再將它按照一定的比放大或者縮小。

生2：我研究的是直角三角形，將它按1∶2的比縮小。先將兩條直角邊的長(zhǎng)度縮小為原來的，再連接直角邊的兩個(gè)端點(diǎn)，得到一個(gè)小直角三角形。

生2（出示圖2）：我可以驗(yàn)證。原來的直角三角形的斜邊有4 段方格的對(duì)角線那么長(zhǎng)，現(xiàn)在的小直角三角形有2段那么長(zhǎng)，斜邊也縮小為原來的。

圖2

師：看來，確定好兩條直角邊縮小后的長(zhǎng)度，斜邊縮小后的長(zhǎng)度也能確定了。

生3（出示圖3）：還可以找到一條直角邊的中點(diǎn)，再找另一條直角邊的中點(diǎn)，連接這兩個(gè)中點(diǎn)，形成的小三角形就是原來直角三角形按1∶2 的比縮小的圖形。

圖3

生4：我研究的是平行四邊形，把它按照3∶1的比放大。根據(jù)平行四邊形的特征，只要把這兩條鄰邊的長(zhǎng)度同時(shí)放大到原來的3倍就可以了。（如圖4）

圖4

生5：雖然圖形看起來放大了，但鄰邊夾角的角度會(huì)不會(huì)發(fā)生變化，導(dǎo)致和原來的平行四邊形不一樣。

師：的確，保持圖形內(nèi)角的角度不變也是圖形放大和縮小要考慮的關(guān)鍵要素。那么放大這個(gè)平行四邊形時(shí)還要怎么做呢？

生6：用量角器測(cè)量出鄰邊的夾角的角度，再在畫圖的時(shí)候保持相同的角度。

生7：在原圖的基礎(chǔ)上把鄰邊同時(shí)放大為原來的3倍，再作對(duì)邊的平行線后相連。

……

師：剛才我們?cè)诜礁窦埳涎芯苛硕喾N圖形的放大與縮小，如果沒有這樣的方格紙，你還能將圖形放大和縮小嗎？

生8：可以用尺子和量角器分別量出能確定圖形形狀和大小的邊長(zhǎng)和夾角，再按照給定的比將圖形放大或縮小。

師：你關(guān)注到了圖形的邊和角，考慮得很全面。

生9：也可以在原圖的基礎(chǔ)上放大和縮小。

師：確實(shí)，在原圖上直接進(jìn)行放大與縮小是一種非常方便的方法。

師：再看剛才在原圖上縮小直角三角形的作品（如圖3）。把圖上的線段都擦掉，這樣縮小的過程其實(shí)只是改變了三角形的什么？

生10：改變了頂點(diǎn)的位置。

生11：確定了三角形3 個(gè)頂點(diǎn)的位置，三角形的形狀與大小也就確定了。

師：其實(shí)，把原來直角三角形的頂點(diǎn)當(dāng)作原點(diǎn)，兩條直角邊分別當(dāng)作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位長(zhǎng)度“1”，那么這兩個(gè)點(diǎn)分別移動(dòng)到對(duì)應(yīng)直角邊的的位置時(shí)，也就是按1∶2的比縮小。（如圖5）

圖5

師：同樣地，在原圖（如圖4）中將平行四邊形按3∶1 的比放大，可以把原來的一組鄰邊分別當(dāng)作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位長(zhǎng)度“1”，再分別將它們延長(zhǎng)到“3”，找到頂點(diǎn)的位置。第4 個(gè)點(diǎn)的位置你能確定在哪嗎？

生12：作平行四邊形的對(duì)角線，把這段長(zhǎng)度也當(dāng)作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位長(zhǎng)度“1”，然后延長(zhǎng)到“3”，第4個(gè)點(diǎn)的位置也能確定。（如圖6）

圖6

活動(dòng)二：操作驗(yàn)證在原圖上放大方法的一般性

師：這樣的方法也適用于一般的四邊形和五邊形嗎？請(qǐng)用剛剛學(xué)到的方法將一般的四邊形和五邊形按2∶1 放大，并量一量放大后的圖形，看看每一條邊的長(zhǎng)度是否都按相應(yīng)的比放大，對(duì)應(yīng)邊夾角的角度是否保持不變。

師：對(duì)于在原圖上放大與縮小，你有什么想說的？

生1：在原圖上放大與縮小，操作很方便，只需要改變?cè)瓉韴D形中的點(diǎn)的位置，就能夠保證圖形的形狀保持不變。

師：是的，有了這樣的方法，面對(duì)更復(fù)雜的圖形，也一樣能放大和縮小。

活動(dòng)三：遷移拓展中感受更多的放大方法

師：剛剛我們?cè)趫D形上選了一個(gè)原點(diǎn)對(duì)圖形進(jìn)行放大，想象一下，這樣的點(diǎn)還可能在什么位置？

生1：可能在圖形的外面。

生2：還可能在圖形的里面。

師：請(qǐng)以小組為單位，按照剛才的方法，任選一種情況進(jìn)行驗(yàn)證。

生3：我們小組在三角形ABC外任取一個(gè)點(diǎn)O，將O和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別相連后作延長(zhǎng)線，分別以O(shè)A、OB、OC為標(biāo)準(zhǔn)單位長(zhǎng)度“1”，再分別在延長(zhǎng)線上取2份這樣的單位長(zhǎng)度，然后順次連接，得到一個(gè)大三角形，這個(gè)大三角形就是由原來的三角形ABC按2∶1 放大得到的。我們小組經(jīng)過測(cè)量和對(duì)比，發(fā)現(xiàn)操作正確。

師：你們不僅研究出了放大的方法，還進(jìn)行了驗(yàn)證，真嚴(yán)謹(jǐn)！

師：剛剛同學(xué)們研究了原點(diǎn)在圖形外部時(shí)如何放大一個(gè)圖形。仔細(xì)想想，生活中有這樣的現(xiàn)象嗎？

生4：有，美術(shù)上有這樣繪畫技巧。

生5：如果把這個(gè)原點(diǎn)想象成光源，對(duì)人照射后，就會(huì)在墻上留下一個(gè)按比例放大的人影。

師：確實(shí)，這樣的例子在生活中還有很多。那在圖形內(nèi)部找點(diǎn)，也能像這樣將圖形進(jìn)行放大嗎？

生6：可以，我們小組在一個(gè)四邊形內(nèi)任選了一個(gè)點(diǎn)，按照同樣的方法操作，得到的大四邊形就是原來的四邊形按3：1放大的。（如圖7）

圖7

師：看來在內(nèi)部選點(diǎn)也能將圖形放大。同樣的，反過來也能將圖形縮小?，F(xiàn)在知道如何將圓進(jìn)行放大和縮小了嗎？

生7：選取圓心為原點(diǎn)，改變半徑的長(zhǎng)度，這樣圓心到圓上所有點(diǎn)的距離都會(huì)發(fā)生等比變化。因此只要將半徑的長(zhǎng)度變長(zhǎng)或變短，就能將圓進(jìn)行放大或縮小。

師：原來圓的放大與縮小藏著這樣的奧秘。經(jīng)過動(dòng)手操作，相信大家一定對(duì)圖形的放大與縮小都有了新的認(rèn)識(shí)。

……

【反思】

“動(dòng)手做”活動(dòng)具有極高的教學(xué)價(jià)值，筆者結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)疑問將教材中的“動(dòng)手做”活動(dòng)進(jìn)行了改造，并以此為支點(diǎn)觸發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，取得了良好的教學(xué)效果。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為可以從“學(xué)習(xí)材料定位”“學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)”“學(xué)習(xí)材料使用”三個(gè)視角出發(fā)對(duì)“動(dòng)手做”的教學(xué)價(jià)值、活動(dòng)方式和教學(xué)組織等進(jìn)行重新定位和有機(jī)改造，使之成為促進(jìn)學(xué)生完整認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)和原理的有效學(xué)習(xí)材料。

一、學(xué)習(xí)材料定位：讓“動(dòng)手做”從“微操作”轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸僬J(rèn)識(shí)”

在日常的教學(xué)中，有的教師對(duì)“動(dòng)手做”的編排意圖和價(jià)值缺乏足夠的理解，同時(shí)缺乏可供參考和借鑒的資料，從而使得教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)僅僅要求學(xué)生了解，或者讓學(xué)生進(jìn)行依葫蘆畫瓢式的簡(jiǎn)單操作，學(xué)生大多不明所以。但學(xué)生提出的問題“怎樣才能更方便地將復(fù)雜的圖形按比例放大或縮??？教材上圖形的放大與縮小都是將圖形上的對(duì)應(yīng)邊進(jìn)行放大或縮小，而圓是曲線圖形，為什么改變半徑的長(zhǎng)度就能將圓放大或縮??？……”，以及“動(dòng)手做”中以原圖為基礎(chǔ)的放大或縮小、復(fù)雜圖形的放大與縮小的原理是什么？只有讓學(xué)生親身實(shí)踐、探索、感悟，才能讓學(xué)生真的理解其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

基于以上思考，筆者對(duì)“動(dòng)手做”活動(dòng)的進(jìn)行了整體設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷“獨(dú)立探索不同圖形的放大和縮小—理解和掌握在原圖基礎(chǔ)上放大的方法—原點(diǎn)在圖形外和圖形內(nèi)進(jìn)行放大”三個(gè)層次的操作活動(dòng)來感悟圖形放大與縮小的本質(zhì)是點(diǎn)的位置的移動(dòng)變化，進(jìn)而理解復(fù)雜圖形的放大與縮小的原理是從原點(diǎn)出發(fā)連接圖形上的頂點(diǎn)，并分別以這些連線長(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，按比例畫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接，就能得到相應(yīng)的放大或縮小后的圖形。在這個(gè)過程中，學(xué)生經(jīng)歷的不僅僅是對(duì)圖形的簡(jiǎn)單放大或縮小的操作，更多是對(duì)放大和縮小背后數(shù)學(xué)原理的“再認(rèn)識(shí)”，從而能站在更高的視角上整體把握?qǐng)D形變化的本質(zhì)。

二、學(xué)習(xí)材料設(shè)計(jì)：讓“動(dòng)手做”從“做數(shù)學(xué)”進(jìn)階到“創(chuàng)數(shù)學(xué)”

在教學(xué)中按部就班地呈現(xiàn)“動(dòng)手做”的活動(dòng)內(nèi)容，只能讓學(xué)生掌握有限的知識(shí)與方法，無法讓學(xué)生形成深刻的認(rèn)知，以及對(duì)“動(dòng)手做”與“圖形的放大與縮小”產(chǎn)生關(guān)聯(lián)性的理解。因此，筆者對(duì)“動(dòng)手做”活動(dòng)的呈現(xiàn)方式進(jìn)行了改進(jìn)，從學(xué)生已有的放大與縮小方法知識(shí)切入，讓學(xué)生體驗(yàn)多種與原有方法不一樣的放大方法。事實(shí)上，打破常規(guī)的學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅有利于開闊學(xué)生的視野，也能提高學(xué)生的認(rèn)知能力。

在上述案例中，筆者根據(jù)學(xué)生喜歡在具有操作性的、直觀豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)中學(xué)習(xí)的特性，引導(dǎo)學(xué)生研究在原圖基礎(chǔ)上放大和縮小圖形的方法后，適時(shí)地直觀呈現(xiàn)和介紹從原點(diǎn)連線取“單位長(zhǎng)度”將圖形放大的方法，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生不僅在交流和操作中主動(dòng)研究了應(yīng)用這種方法放大三角形、四邊形、五邊形、六邊形等多邊形的一般普適性，更主動(dòng)思考原點(diǎn)在圖形外和圖形內(nèi)的放大方法，并加以實(shí)踐驗(yàn)證，形成豐富的數(shù)學(xué)思考。因此，對(duì)于“動(dòng)手做”的活動(dòng)，教師有必要結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)生的年齡特征和心理特點(diǎn)設(shè)計(jì)具體且豐富的體驗(yàn)活動(dòng)，以此升華學(xué)生的體驗(yàn)和感受，讓學(xué)生在實(shí)踐操作和創(chuàng)造中實(shí)現(xiàn)自我突破。教師要積極地讓課堂上的“動(dòng)手做”從“做數(shù)學(xué)”進(jìn)階到“創(chuàng)數(shù)學(xué)”，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)看得見、摸得著。

三、學(xué)習(xí)材料使用：讓“動(dòng)手做”從“不動(dòng)點(diǎn)”升級(jí)成“觸發(fā)器”

“動(dòng)手做”的活動(dòng)內(nèi)容蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生交流、辨析、比較、歸納、概括、聯(lián)想，促進(jìn)學(xué)生從單純的“手動(dòng)”升級(jí)為積極的“腦動(dòng)”，通過啟發(fā)聯(lián)想和回顧反思，觸發(fā)學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)的同化與順應(yīng)，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。如在本文案例中，筆者并沒有局限于教材提供的例子，而是引導(dǎo)學(xué)生操作原點(diǎn)在圖形上、圖形外、圖形內(nèi)的放大或縮小，還啟發(fā)學(xué)生比較在原圖基礎(chǔ)上放大或縮小方法的共同點(diǎn)，以及聯(lián)系生活中的應(yīng)用原型和“為什么圓的放大（縮?。┡c半徑有關(guān)”的相關(guān)問題。如此一來，學(xué)生不僅獲得將圖形放大與縮小的多樣方法，更經(jīng)歷自我解惑、自主關(guān)聯(lián)知識(shí)、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、達(dá)成學(xué)習(xí)進(jìn)階的過程?？梢灶A(yù)見，學(xué)生未來學(xué)習(xí)相似圖形的有關(guān)知識(shí)時(shí)必然會(huì)產(chǎn)生熟悉感，同時(shí)學(xué)生也能逐步形成一種主動(dòng)對(duì)問題和知識(shí)進(jìn)行拓展、反思、類比、聯(lián)系和歸納概括的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)意識(shí)。

因此，在“動(dòng)手做”的教學(xué)中，教師需要有全局意識(shí)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中將技能方法、知識(shí)原理、生活原型有機(jī)地關(guān)聯(lián)起來，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“淺表”走向“深層”，從“分析”走向“綜合”，從“孤島”走向“聯(lián)結(jié)”，形成系統(tǒng)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)。