一致性視角下數與運算的教學思考和實踐
——以“分數”單元整體設計為例

中國人民大學附屬中學分校 （100000） 趙紅玲

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《2022 版課程標準》）中提出，要強調課程內容的內在聯系，突出課程內容結構化，并探索主題、項目、任務等內容組織方式。數與運算的一致性能很好地體現課程內容的結構化。同時，《2022 版課程標準》在“數與代數”領域明確要求“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識；感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。”在這個背景下，筆者將以“分數”單元為例，重點探討數與運算的一致性在教學中的關鍵作用。

一、緣起：數的概念與運算一致性的必要性

1.基于真實的學情分析

史寧中教授在解讀《2022版課程標準》中指出，從當前的教材和教學來看，關于數的運算，加減乘除有各自的算理，整數、分數、小數運算有各自的算法。這些知識似乎是支離破碎、缺乏內在一致性的。

每次提到分數，都有教師很苦惱，因為總有一部分學生掉隊，無論怎么講，學生都不明白；每次學到分數，學生也很困惑，總覺得跟之前學習的整數、小數不同，比之前學習的整數、小數都更抽象，難以理解。為此，筆者針對五年級學生做了教學前測。

【調研結果】對同分母分數加法的計算，學生的正確率為100%，但對異分母分數加減法的計算，學生的正確率為75%，做錯的學生均是將分母和分母相加、分子和分子相加。

【調研分析】從對數的認識來看，學生的認識不到位，無法對數的認識和數的運算建立聯系，對計數單位認識不足；從對數的運算來看，學生只記住了計算法則，能遷移應用到同分母分數加減法上，但對算理認識不清晰，對異分母分數加減法的計算形成負遷移。這說明學生在學習整數、小數加減法時，對“相同的計數單位才能相加減”的算理理解不到位，且分數的計數單位比較特殊，因此出現了錯誤。

從教學來看，散點化的教學導致學生接受的知識就是碎片化的，思維不能有效遷移。當學生學完整數后，不能將整數的學習方法遷移到小數、分數中去，以致整數、小數、分數的學習是割裂的。要改變這一現狀，就需要教師設計大概念統領的單元整體教學，以幫助學生系統化、結構化地學習，并形成知識網絡。

2.基于數學的學科本質

整數、小數、分數本質上是一個整體。從數的形成與發展角度看，分數的產生源于整數除法不夠除，小數的產生源于分數運算不方便；從數的組成角度看，整數、分數、小數都是基于計數單位建構的；從運算的角度看，數的運算都是計數單位與計數單位個數的運算。因此，數的組成和數的運算從本質上看是一致的，明白了數的組成就可以更好地運算，掌握了數的運算就能更好地理解數的組成。教師要引領學生理解數的本質，明白“數”與“運算”的一致性，使學生建立起知識之間的聯系，體會到數學知識的相通性、一致性與整體性，從而學得更透徹。

二、建構：大概念統領的單元教學設計

1.確定主題單元的教學邏輯

《2022 版課程標準》指出：“單元整體教學設計要整體分析數學內容本質和學生認知規律，合理整合教學內容，分析主題—單元—課時的數學知識和核心素養主要表現，確定單元教學目標，并落實到教學活動各個環節，整體設計，分步實施，促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的核心素養”。為此，教師應認真研讀課程標準，梳理、分析教材內容，厘清教材的邏輯結構，并分析學生的學習經驗和認知基礎，進而確定主題單元的教學邏輯。圖1 是筆者對北師大版五年級教材中有關分數單元的梳理。

通過梳理可以發現，這4 個單元的內容都和分數有關，而且所學內容是由淺入深、層層遞進、螺旋上升的。在教學中，教師要讓學生感受到這種關聯性，體會到分數的本質，學生才能把抽象的分數學好、學透。為此，筆者將這4個單元進行了整合。

2.尋找與單元對應的核心素養

（1）對接《2022版課程標準》

《2022 版課程標準》中詳細介紹了與本主題單元有關的內容要求、學業要求和教學提示。（見表1）

表1 《2022版課程標準》中有關分數單元的內容

與《義務教育數學課程標準（2011 年版）》相比，《2022 版課程標準》增加了感悟計數單位的內容，這可以看出《2022 版課程標準》對計數單位的重視。第三學段的學生已經掌握了數的意義，在此基礎上，教師要發展學生探索數的特征的能力，引導學生感悟計數單位的作用，進一步理解數的意義，從而提升學生的數感。在數的運算方面，教師要注重引導學生對整數、小數和分數四則運算的思維遷移，讓學生從整體上理解和掌握運算的算理和算法，認識整數、小數和分數計算方法的共性與差異，體會運算的一致性，提升學生的運算能力和推理意識。

（2）確定核心素養

小學階段的核心素養主要表現為數感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數據意識、模型意識、應用意識、創新意識。教學時，教師應從中選擇與主題單元匹配的核心素養。其中，與本主題單元匹配的是數感、符號意識、運算能力和推理意識。

3.構建大概念統領的單元架構

何為大概念？大概念中“大”的內涵不是“龐大”或“基礎”，而是“核心”。大概念指向學科本質、彰顯學科價值、概括學科結構，能打通數學知識之間的關聯，構建出脈絡清晰、條理分明、相互關聯的數學知識體系。大概念有很強的遷移功能，能打通跨學段、跨學科的學習，將思維方式遷移到新的學習中，讓學生明白新舊知識之間是相通的。

大概念教學可以將素養落地。在小學“數與代數”領域，通過大概念教學可以讓學生初步感悟數的概念的一致性，體會數是數量的抽象，形成數感和符號意識；感悟數的運算之間的聯系，體會數的運算的一致性，形成運算能力和初步的推理意識，明白整數、小數、分數本質上是一個整體。由此，筆者確定分數單元的大概念為計數單位。

【單元具體概念】

（1）從數的概念的一致性認識分數的本質，感悟分數的意義，體會分數單位的重要性。

（2）從數的運算的一致性理解分數加減法，體會“相同計數單位上的數才能相加減”。

（3）探索乘法運算的一致性，分數單位相乘，本質上是計數單位與計數單位相乘得到新的計數單位。

（4）探索除法運算的一致性，建立整數除法與分數除法的關系，貫通整數與分數的運算算理。

單元具體概念是單元教學的核心內容，也是教學過程中形成的思想方法的集中體現，更是大概念在單元教學內容中的具體化，對本單元教學起到引領作用。

基于此，筆者對這4 個單元的內容進行整合（如圖2），并構建了大概念統領下的大單元整體框架（如圖3）。

圖2 分數單元內容整合

三、實踐：不同學段的教學實踐

學生對一致性的理解不是一蹴而就的。教學中，教師要嘗試在不同學段逐步滲透一致性：第一學段學習整數時，就在學生腦海中“埋下”計數單位的“種子”；第二學段學習小數時，要喚起學生整數學習的經驗，引導學生建立小數與整數的聯系；第三學段學習分數時，要打通整數、小數、分數的學習脈絡，進而幫助學生理解一致性。

1.第一學段：“埋下”一顆“種子”

在第一學段“數與運算”中，“11～20 各數的認識”的內容是在學習了1～10 各數的認識的基礎上對數的進一步認識，重點是理解數位，即不同數位上的數字表示的數值不同。這是學生第一次接觸數位，也是學生進一步理解數位和計數單位的開始，這個內容的學習對后面百以內數、萬以內數等更大的整數乃至小數的認識都很重要。《2022 版課程標準》中強調“理解數位的含義”“能說出不同數位上的數表示的數值；能用符號表示數的大小關系，形成初步的數感和符號意識”，這是對萬以內數認識的總體要求，也是整數學習的重點和難點。

教學中，教師要重點思考：如何使學生更好地理解不同數位上的數字表示不同的數值？如可借助古人計數的情境，設計“辨11”環節。教師提問：“剛才我們用一塊大石頭和一塊小石頭，一捆小棒和一根小棒分別表示出11（如圖4），現在有兩顆同樣的珠子，還能表示出11 嗎？”學生思考后提出疑問：“大石頭和小石頭在大小上有區別，一捆小棒和一根小棒在數量上也有區別，而兩顆珠子卻是一模一樣的，怎么表示11 呢？”教師通過辨析解開學生的困惑，讓他們明白一顆珠子代表10，另一顆珠子代表1（如圖5）時，兩顆珠子在一起就能表示11，幫助學生真正理解位值制的本質：同樣的數放在不同數位上就表示不同的值。學生第一次接觸數位，就在腦海中深深“埋下”一顆計數單位的“種子”，為后面學習更大的數做好了準備。

圖4

圖5

2.第二學段：構建一些關聯

第二學段學習“小數的初步認識”時，教師可以以元、角、分為載體，引導學生從對小數的具體認識上升到抽象的小數表達。這種表達是整數數位認識的延續，也是對分數計數單位的進一步滲透。一些教師對小數數位的理解不重視，忽視對小數意義的探究，教學只停留在從形式上認識十分位、百分位、千分位上的數，缺少對這些數位實際意義的深入解析。《2022 版課程標準》指出，要結合具體情境探索并理解小數的意義，感悟計數單位。那么，教師應如何理解這一要求，并在教學中落實呢？

在教學中，教師可從學生認識的一位小數出發，運用幾何直觀的方法設計如圖6所示的場景，并圍繞“如何用小數表示這樣的涂色部分”的問題展開課堂討論。圖6是在原來涂色部分表示0.5 的圖形中又涂了一小塊，這時涂色部分還能用0.5 表示嗎？學生思考后得出不同結果，有學生認為應用0.51 表示，有學生認為是0.52……學生給出的答案都在0.5 和0.6 之間，但為什么用這些小數表示，學生說不清楚。這時，教師要不斷追問，引導學生把圖中一個長條（表示0.1）分成10 等份，直觀理解增加的一小塊就是一個長條的，也是大正方形的，理解0.01 是將0.1（十分位）10 等分后得到的新的計數單位——百分位，有幾個0.01就在百分位上用幾表示。教師還可以引導學生再細分下去，進而認識更多的小數單位，感悟小數單位的意義。在此活動中，學生逐步理解小數的意義、小數計數單位的概念以及小數計數單位與整數計數單位的聯系。

圖6

3.第三學段：打通一切脈絡

（1）感悟分數單位

在整數、小數的學習中，學生已經感受到計數單位的重要性。分數的教學也需要讓學生感悟分數單位。如果只強調“平均分”和“份數”，強調單一整體作為單位“1”的認識，忽視集合整體作為單位“1”的認識，不關注同一分數在不同單位“1”中所表示的具體數量不同，將會導致學生對分數理解困難。分數和整數一樣也有計數單位，分數單位是分數的計數單位，無論幾分之一，都表示把1 平均分成若干份，取其中的一份。分數的計數單位與其被等分的數量有關，學生對分數概念的理解需要建立在“平均分”和單位“1”的基礎上。如教師可通過單個圖形、多個圖形、多組圖形三個角度幫助學生理解的含義，將單位“1”從單一個體逐漸過渡為一個整體，強化學生對單位“1”的整體認識以及分數意義的理解。

（2）感悟運算的一致性

異分母分數加減法是分數加減法運算的重點和難點。因為分數的表達形式不是十進制，所以在計算方法上與整數、小數運算有明顯的差別，但運算的本質和算理具有一致性。教學中，教師應重點思考：怎樣使學生理解異分母分數加減法的算理？怎樣引導學生將分數運算與整數運算建立聯系，并能從計數單位的視角感受計算方法的一致性？

教師可以結合學校小菜園設計問題。例如，通過真實的問題情境“有一塊長方形菜地，其中種豆角，種黃瓜，請問：種豆角和黃瓜的面積一共占這塊菜地的幾分之幾？”喚起學生對計算方法的探索。學生嘗試用以往的知識與方法解決新問題，得出“分子加分子，分母加分母”的結論，這顯然是將整數、小數加法的算理遷移過來了。通過討論、質疑、交流，學生理解了異分母分數加減法為什么要通分，即通分的本質是把兩個分數單位不同的分數轉化為分數單位相同的分數。只有將異分母分數加法與整數加法聯系起來，理解它們之間的共同點是“相同的計數單位才可以相加”，把整數的數位、分數的分數單位都理解為計數單位，才能實現《2022版課程標準》提出的“感悟運算的一致性”。

四、評價：多元的評價體系

教師應注重合理運用多元評價方式，全面評價個體與集體的發展，并將評價融入教學活動中，發揮評價的育人導向，堅持以評促學、以評促教。

1.評價主體多元化

評價的主體是多元的，可以是學生、同伴、教師、家長等。教師要綜合運用學生的自我評價、同伴互評、教師評價、家長評價等方式，對學生的學習情況進行全方位的了解。在教學“分數”大單元后，教師出示評價單（見表2），并組織學生填寫、展示、交流。在自我評價中，學生從反思、克服困難中認識自我，實現自主學習和自我發展；在同伴互評中，學生互相監督、互相促進，形成良好的團隊合作精神；在教師評價中，學生得到正確的引導，獲得學習上的成就感和自信心；在家長評價中，營造和諧的成長環境，融洽親子關系。

表2 分數大單元評價單

2.評價維度多元化

評價的維度是多元的，可在評價的方式中加入過程性評價、表現性評價等。在評價中，教師不僅要關注學生的知識技能，還要關注學生的數學思想、基本活動經驗的積累；不僅要關注學生分析問題、解決問題的能力，還要關注學生發現問題、提出問題的能力，從而全面發展學生的核心素養。學習分數大單元后，有學生激動地說：“原來整數、小數、分數是一家啊！計算時，其實都是計數單位在加減呢！”學生的通透理解和喜悅，真真切切體現了學生的學習效果。

數學是有核心的，數學是有聯系的，數學是有結構的，數學是有系統的，只要學生在繁雜的知識中找到核心概念，就能抓住關鍵問題。數與運算中的核心概念就是“計數單位”，理解了“計數單位”的統領作用，就能溝通整數、小數、分數的聯系，使學生體會到數與運算的一致性，實現有效遷移。一致性視角，使核心素養落地生根。