在變式教學(xué)中落實(shí)數(shù)概念本質(zhì)的一致性
——以“數(shù)的意義回顧整理”為例

山東煙臺(tái)市福山區(qū)福新小學(xué) （265500） 潘麗君

山東煙臺(tái)市福山區(qū)河濱路小學(xué) （265500） 張?jiān)獓?/p>

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)”。那么“數(shù)概念本質(zhì)上的一致性”體現(xiàn)在哪里？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》在教學(xué)建議中又指出：“在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時(shí)，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性。”由此可見，“計(jì)數(shù)單位”是打通整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)一致性的核心概念。“一個(gè)基本概念或基本技能的形成，需要有一定程度的重復(fù)，這就是熟能生巧的古訓(xùn)。那么，中國數(shù)學(xué)教學(xué)的‘重復(fù)訓(xùn)練’，是否有什么優(yōu)越的地方？一個(gè)回答是‘重復(fù)經(jīng)過變式而得到發(fā)展’。變式教學(xué)成為中國數(shù)學(xué)教學(xué)的特征之一。”這段話來自2006年出版的數(shù)學(xué)家張奠宙教授撰寫的《中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)》。時(shí)至今日，變式教學(xué)仍然是常見的教學(xué)方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著它獨(dú)有的價(jià)值和作用。基于此，本文將以青島版教材五年級(jí)下冊(cè)“數(shù)的認(rèn)識(shí)回顧整理”這節(jié)復(fù)習(xí)課為例，從計(jì)數(shù)單位入手，對(duì)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)進(jìn)行梳理，通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的變式練習(xí)，讓學(xué)生在具體的習(xí)題訓(xùn)練中進(jìn)一步理解和感悟數(shù)本質(zhì)上的一致性。

【教學(xué)過程】

一、用計(jì)數(shù)單位數(shù)數(shù)（shǔshù），感知數(shù)概念的一致性

師：數(shù)學(xué)家華羅庚說“數(shù)源于數(shù)（shǔ）”。那數(shù)是怎樣數(shù)出來的？以365為例，可以怎樣數(shù)？

生1：可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，1、2、3……一直數(shù)到365。

師：你是以“一”為單位來數(shù)的，還有更快的數(shù)法嗎？

生2：可以先以“十”為單位來數(shù)，10、20、30……數(shù)到360 后，再接著數(shù)5 個(gè)一，即361、362、363、364、365。

生3：可以先數(shù)3 個(gè)百，接著數(shù)6 個(gè)十，最后數(shù)5個(gè)一。

師：以“一”為單位，以“十”為單位，以“百”為單位，都是以計(jì)數(shù)單位來數(shù)數(shù)。所有的整數(shù)都可以用相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位數(shù)出來。

師：整數(shù)能借助計(jì)數(shù)單位數(shù)出來。分?jǐn)?shù)和小數(shù)能數(shù)出來嗎？請(qǐng)舉例說明。

生4：可以“0.01”為單位來數(shù)0.64。0.01、0.02、0.03……數(shù)64個(gè)0.01就是0.64。

生5：還可以先數(shù)6 個(gè)0.1 是0.6，再接著數(shù)4 個(gè)0.01，合起來是0.64。

師：以“0.1”為單位，可以數(shù)出一位小數(shù)；以“0.01”為單位，可以數(shù)出兩位小數(shù)……因此，小數(shù)也可以借助計(jì)數(shù)單位來數(shù)。

師：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，都是借助相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位數(shù)出來的，都是在數(shù)有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位。

原題：

（1）124=（ ）×1+（ ）×2+（ ）×4

（2）0.24=（ ）×2+（ ）×4

出示學(xué)生作品（如圖1）：

圖1

師：說一說你們是怎么畫的。

生7：0.24 就是把一個(gè)正方形平均分成100 份，一個(gè)小格表示0.01，涂24個(gè)小格就是0.24。

生9：一個(gè)小方格表示1，先涂一個(gè)百就是100個(gè)小方格，再涂2 個(gè)十就是20 個(gè)小方格，再涂4 個(gè)一就是4個(gè)小方格。這樣就得到124。

師：畫圖表示數(shù)的意義與數(shù)數(shù)有共同之處嗎？

生10：它們都需要看有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位。數(shù)數(shù)是數(shù)出計(jì)數(shù)單位，畫圖是畫出計(jì)數(shù)單位。

變式2：在○里填上“＞”、“＜”或“=”。

生11：4260＜5001。我比較的是千位上的數(shù)，4＜5，所以4260＜5001。

師：為什么比較最高位上的數(shù)？

生11：最高位上的計(jì)數(shù)單位最大，4260 有4 個(gè)千，5001 有5 個(gè)千，不管其他數(shù)位上的數(shù)是多少，4個(gè)千小于5個(gè)千，所以4260＜5001。

師：在整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的大小比較中，實(shí)質(zhì)上比的是什么？

生14：比的是計(jì)數(shù)單位的大小和計(jì)數(shù)單位的數(shù)量。

師：在數(shù)的大小比較中，依舊要看計(jì)數(shù)單位和數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】原題是用算式呈現(xiàn)數(shù)是對(duì)多少個(gè)計(jì)數(shù)單位的表達(dá)，而變式1 改變題型，讓學(xué)生用畫圖的方法表示數(shù)的意義，這種數(shù)形結(jié)合的形式直觀可視地考查了學(xué)生對(duì)三種數(shù)的表達(dá)一致性的理解；變式2 也是改變題型，讓學(xué)生通過對(duì)數(shù)的大小比較進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)的表達(dá)的一致性。

二、理解十進(jìn)位值制，感受數(shù)概念的一致性

師：在剛才數(shù)數(shù)的過程中，我們知道滿十要向前一位進(jìn)一，這就是十進(jìn)制。十進(jìn)制只用10 個(gè)數(shù)字符號(hào)，即0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，就可以表示所有的數(shù)。整數(shù)和小數(shù)都是十進(jìn)制的，下面結(jié)合練習(xí)來感受。

原題：觀察圖2，你能寫出哪些數(shù)？

圖2

變式1：如圖3，有4顆珠子，可以任意擺放到計(jì)數(shù)器上。

圖3

（1）你可以擺出哪些數(shù)？

（2）擺出的最大的數(shù)是（ ），擺出的最小的數(shù)是（ ）。

（3）說一說40、4、0.4、0.04中的“4”的意義。

師：為什么把珠子放在最左邊，得到的這個(gè)數(shù)就最大？

生1：因?yàn)樵谟?jì)數(shù)器上，計(jì)數(shù)單位從右向左越來越大，所以把珠子放在計(jì)數(shù)器的最左邊，表示的數(shù)就最大。

師：說一說40、4、0.4、0.04中的“4”的意義。

生2：40 中的“4”在十位上，表示4 個(gè)十；0.4 中的“4”在十分位上，表示4個(gè)0.1……

師：都是“4”，為什么表示的意義不同？

生3：因?yàn)樗诘臄?shù)位不同，計(jì)數(shù)單位也不同，表示的意義就不同。

師：同一個(gè)數(shù)字在不同的數(shù)位上，表示的值不同，這就是位值制。我們現(xiàn)在常用的計(jì)數(shù)法就是十進(jìn)位值制。

圖4

”寫法相比，現(xiàn)在我們使用的“2284”這種十進(jìn)位值制寫法有什么優(yōu)點(diǎn)？

生5：不用寫計(jì)數(shù)單位，只需要寫出計(jì)數(shù)單位的數(shù)量就行，比較簡單方便。

生6：計(jì)數(shù)單位的位置是固定的，整數(shù)的數(shù)位是從右向左依次是個(gè)位、十位、百位……小數(shù)部分從左向右依次是十分位、百分位、千分位……所以表示的數(shù)有順序。

師：有了十進(jìn)位值制，只需要在數(shù)位上用0～9十個(gè)數(shù)字表示計(jì)數(shù)單位的數(shù)量即可。

【設(shè)計(jì)意圖】原題是引導(dǎo)學(xué)生理解“相同數(shù)量的珠子，因所在的數(shù)位不同，即計(jì)數(shù)單位不同，表示的數(shù)就不同”。變式1 是通過任意擺放4 顆珠子得到不同數(shù)，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步思考、感知位值制。變式2 是把十進(jìn)位值制與古埃及的十進(jìn)累加制對(duì)比，凸顯十進(jìn)位值制的優(yōu)勢，即簡單、方便、有序。

三、梳理三種數(shù)的聯(lián)系，感悟數(shù)概念的一致性

師：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)這三種數(shù)之間有什么聯(lián)系呢？先想一想，整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間可以互化嗎？可舉例說明。

師：對(duì)，1 可以寫成分母是1、2、3……的假分?jǐn)?shù)，那么其他的非零自然數(shù)也能化成分母是1、2、3……的假分?jǐn)?shù)嗎？請(qǐng)?jiān)囍钜惶睢?/p>

變式：

師：所有的非零自然數(shù)都可以看作分母是1、2、3……的假分?jǐn)?shù)。分子是分母倍數(shù)的假分?jǐn)?shù)可以化成整數(shù)。繼續(xù)思考，整數(shù)和小數(shù)可以互化嗎？分?jǐn)?shù)和小數(shù)呢？

生3：2.0 = 2，2.00 = 2，根據(jù)小數(shù)的基本性質(zhì)，像這樣的小數(shù)可以化簡為整數(shù)。整數(shù)有時(shí)也可以根據(jù)需要改寫成小數(shù)。

師：根據(jù)需要，整數(shù)和分?jǐn)?shù)、整數(shù)和小數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化。除此之外，它們之間還有聯(lián)系嗎？

……

師：我們認(rèn)識(shí)了那么多的整數(shù)，從幾個(gè)、幾十、幾百、幾千到幾萬……你認(rèn)為整數(shù)中最小的計(jì)數(shù)單位是幾？

生4：整數(shù)中最小的計(jì)數(shù)單位是1。

師：對(duì)，所有的整數(shù)都可以看作是從1 開始累加的，如26 是由26 個(gè)一累加的，703 是由703 個(gè)一累加的……

師：大家在三年級(jí)時(shí)認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，什么時(shí)候需要分?jǐn)?shù)？

生5：當(dāng)把一個(gè)物體平均分成兩份、三份或更多份，每一份就不能用整數(shù)表示時(shí)，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。

生6：我們就可以得到分母是9的所有分?jǐn)?shù)。

師：同理可得，分?jǐn)?shù)是把1平均分得到的。

師：還可以進(jìn)一步總結(jié)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的關(guān)系。所有的數(shù)都是從1開始，把1累加就得到整數(shù)，把1 平均分若干份就得到分?jǐn)?shù)，其中十進(jìn)分?jǐn)?shù)又可以寫成小數(shù)。因此，有人說“1 是萬數(shù)之首”。（出示圖5）

圖5

原題：（1）470是由（ ）個(gè)1組成的；

圖6

【設(shè)計(jì)意圖】整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的聯(lián)系可從兩方面來理解，一是三者之間可以互相轉(zhuǎn)化；二是三者之間有內(nèi)在聯(lián)系，即“1”累加產(chǎn)生整數(shù)，把“1”平均分產(chǎn)生分?jǐn)?shù)，十進(jìn)制分?jǐn)?shù)又可以記作小數(shù)。原題是讓學(xué)生理解基礎(chǔ)的“1”的累加和平均分；變式題是讓學(xué)生在數(shù)軸上先找計(jì)數(shù)單位再找點(diǎn)，經(jīng)歷“1”的累加和平均分的過程，從而進(jìn)一步體驗(yàn)計(jì)數(shù)單位是數(shù)概念中的關(guān)鍵。

【教后反思】

一、于變式教學(xué)中統(tǒng)整數(shù)概念

教師先讓學(xué)生在最熟悉的數(shù)數(shù)中對(duì)“多少個(gè)計(jì)數(shù)單位”有了最初的感知；再讓學(xué)生在數(shù)的組成中加深認(rèn)識(shí)，如0.24=（0.1）×2+（0.01）×4；然后在畫圖表示中，學(xué)生順其自然地想到要數(shù)“多少個(gè)計(jì)數(shù)單位”后再涂色，如0.24 需要數(shù)2 個(gè)0.1、4 個(gè)0.01；最后，在數(shù)的大小比較中，學(xué)生通過交流明確比的是“計(jì)數(shù)單位及計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)”。學(xué)生的思維在各種形式的變式練習(xí)中穿梭，于變化中體驗(yàn)不變，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)上升到“由復(fù)雜到簡單”的回歸，學(xué)生能夠逐步建立數(shù)概念的本質(zhì)模型，即整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都是計(jì)數(shù)單位的累加。

二、于變式教學(xué)中理解數(shù)概念

十進(jìn)位值制在計(jì)數(shù)制的發(fā)展中具有重要意義，為加深學(xué)生的理解，通過對(duì)“計(jì)數(shù)單位的有序排列和無序排列”練習(xí)進(jìn)行變式，體現(xiàn)了計(jì)數(shù)單位有序排列的便捷性和高效性，即“不用寫計(jì)數(shù)單位，只要寫出計(jì)數(shù)單位的數(shù)量就行”，進(jìn)而促使學(xué)生理解“每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字表示的是相應(yīng)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)”，感受整數(shù)和小數(shù)基于十進(jìn)位值制的一致性。

三、于變式教學(xué)中關(guān)聯(lián)數(shù)概念

復(fù)習(xí)課不是知識(shí)的重復(fù)練習(xí)，而是要在“溫故”的基礎(chǔ)上能夠“知新”，使知識(shí)系統(tǒng)化。首先，教師在梳理整數(shù)、分?jǐn)?shù)聯(lián)系的基礎(chǔ)上舉一反三，使學(xué)生能夠融會(huì)貫通，厘清整數(shù)和小數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，建立三種數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系網(wǎng)；其次，教師借助“1”關(guān)聯(lián)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)三者的關(guān)系，讓學(xué)生從基礎(chǔ)的填空到在數(shù)軸上找點(diǎn)找數(shù)，進(jìn)一步感受計(jì)數(shù)單位的重要性，感悟數(shù)概念之間基于計(jì)數(shù)單位的聯(lián)系。至此，學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的眼光看問題，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以發(fā)展。