重組架構聚核心 說理溯源促交融
——以“交換律和結合律”一課為例

浙江義烏市實驗小學教育集團 （322000） 龔哲榮

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出，通過實際問題和具體計算，引導學生用歸納的方法探索運算律、用字母表示運算律，感知運算律是確定算理和算法的重要依據，形成初步的代數思維。運算律的探索是學生在小學階段第一次全程經歷合情推理的數學活動，正確運用運算律是形成運算能力的關鍵，運算律與運算的意義、法則是并存的。

一、課前慎思

1.教材對比分析

現行五個版本的小學數學教材對運算律內容的編排有所不同（見表1）。

表1 不同版本教材運算律編排情況

五個版本教材都把乘法分配律編排在最后面，加法、乘法交換律和加法、乘法結合律的編排順序各不相同。

推理路徑一般為“舊知引入→發現共性→舉例驗證→總結規律→具體應用”，在引入環節有解決問題和直接計算兩種方式。此外，北師大版教材在總結規律之后，還特別新增了事例解釋環節。

在溝通運算律與計算之間的聯系上，北師大版教材和人教版教材都把結合律與驗算、乘法分配律與乘法豎式聯系起來。五個版本教材都沒有涉及結合律的聯系感知。

2.學生學情調查

為了準確把握教學起點，厘清教學順序，筆者對本校三年級學生進行前測。前測情況如下。

（1）“解決問題”的前測情況如圖1所示。

圖1

分析：學生在解題過程中偏向按數字出現的先后順序進行列式。

（2）“計算對比”的前測情況如圖2所示。

圖2

分析：超過75%的學生能夠發現運用交換律、結合律進行計算的結果不變，近50%的學生對算式的特征有所發現。

二、課堂實踐

通過教材對比分析，結合學生學情調查，筆者選擇從具體計算入手，對四種運算律進行結構重組，采取整體教學，聚焦四種運算律的本質特征。

1.算式對比，聚焦差異

師：有兩組沒有運算符號的式子（如圖3），請你仔細觀察每組式子，你有什么發現？

圖3

生1：第1 組的第一個式子，5 在前，3 在后；第二個式子，3在前，5在后，它們的位置交換了。

生2：第2組式子中，小括號位置變了。

師：小括號的位置變了，在運算的時候什么也會發生改變？

生3：運算順序會發生改變。

師：這兩組式子中什么沒有變？

生4：每組數字都沒變。

師：同學們真能干，發現了第1 組式子兩個數位置交換，第2組式子小括號位置變了。

【設計意圖】針對交換律和結合律的“交換”和“結合”這一核心，筆者直接呈現兩組最簡單的只有數字的式子，消除符號干擾，讓學生對比觀察，發現式子的變化本質：每組數字都沒變；第1 組數的前后位置變了，第2組數的運算順序變了。

2.猜測論證，探索規律

任務一：添符號

師：如果上面式子里的所有圈中只能填同一種運算符號，你覺得填哪種運算符號能使每組式子的運算結果相同？

生1：填“+”。第1 組，5+3=8，3+5=8；第2 組，（24+6）+2=32，24+（6+2）=32，結果都相等。

師：有誰填不一樣的符號？

生2：我填的是“×”。第1 組，5×3=15，3×5=15；第2 組，（24×6）×2=288，24×（6×2）=288，結果也都相等。

師：填“-”或“÷”可以嗎？

生3：3-5，是小數減大數，不夠減。

生4：（24-6）-2=16，24-（6-2）=20。它們的結果不相等。

生5：（24÷6）÷2=2，24÷（6÷2）=8。它們的結果也不相等。

師：看來只有填“+”或“×”的時候，加數（乘數）交換位置或改變運算順序，算出來的結果是不變的。

任務二：變數字

師：如果把這幾個數變一變，剛才我們的發現還成立嗎？請你試著照樣子變一變。

學生嘗試，交流反饋。

生1：7+8=8+7=15，7×8=8×7=56。（25+8）+3=25+（8+3）=36，（25×8）×3=25×（8×3）=600。

師：換成其他數可以嗎？

生2：可以。

師：你覺得能換多少個數字？

生3：無數個。

師：看來不管數怎么變，這個規律都是成立的。像這種兩個數交換位置，結果不變的規律叫交換律。加法時就是加法交換律，乘法時就是乘法交換律。像這樣改變運算順序但結果不變的規律叫結合律。加法的就是加法結合律，乘法的就是乘法結合律。

任務三：用字母

師：這樣的例子有無數個，那能不能統一用一個式子表示？

生1：可以用字母來代替數字，a+b=b+a。

師：按照這位同學的方法，其他式子可以怎么表示？

生2：a×b=b×a。

生3：（a+b）+c=a+（b+c）。

生4：（a×b）×c=a×（b×c）。

【設計意圖】通過對沒有運算符號的兩組式子填入加、減、乘、除四種運算符號的嘗試、驗證，發現只有相加或相乘時結果不變。針對這一結論，通過“變數字”活動進行舉例驗證，從而體會規律的一般性。然后運用不完全歸納法總結運算律，并嘗試用字母來表示運算律。整個教學環節讓學生完整經歷了一次合情推理的過程，積累活動經驗，萌發推理意識。

3.事例解釋，深化內涵

師：剛才我們用舉例子的方法歸納總結加法、乘法的交換律和結合律，那它們為什么成立呢？你能結合例子（如圖4），嘗試解釋算式的意義嗎？

圖4

生1：5+3 表示一支中性筆的價錢加上一塊橡皮的價錢，一共是8 元。3+5 表示一塊橡皮的價錢加上一支中性筆的價錢，也是8元。

生2：不管是先算男生和女生跳繩人數，再加上女生踢毽子人數，還是先算女生跳繩和踢毽子人數，再加上男生人數，最后加起來結果都一樣。

……

師：對比算式中的變化，實際只是改變了什么？

生3：只是改變了計算的先后順序，最終的結果是不變的。

師：看來生活道理和數學中的運算律的道理是一樣的。

【設計意圖】借助學生熟悉的現實生活事例，解釋不同運算順序表示的含義，深化學生對運算律現實意義的理解，從而體會生活事理和數學算理的一致性。

4.應用拓展，內化提升

師：請用數字32 編一道可以運用交換律和結合律進行簡便計算的算式。

生1：32×50×2=32×（50×2）=32×100=3200。

生2：32+55+19+67+1+45+181=（32+67+1）+（55+45）+（19+181）=100+100+200=400。

師：為什么以上兩位同學寫的算式要么都是用“+”，要么都是用“×”？

生3：在加法和乘法中才能用這些運算律。

師：在連加、連乘的時候，可以用交換律和結合律進行簡便運算。

【設計意圖】通過“為什么都是加號和乘號”的問題，引導學生發現在連加、連乘的情況下，可以運用交換律和結合律進行簡便計算，提升運算律運用的廣度，發展學生的運算能力。

三、課后反思

1.四律內核互通，發展核心素養

加法交換律和結合律、乘法交換律和結合律，除了運算符號不同，其結構是相同的。交換律是兩個數交換位置，結合律是借助小括號來改變運算順序，而交換位置其實也是計算的先后順序發生了改變。由此可見，交換律和結合律的本質就是改變運算順序，這也是同時運用交換律和結合律延伸到多個數相加或相乘進行簡便運算的原因。

在教學時逐層深入，從兩、三個數的計算延展到多個數的計算，并聚焦于在連加或連乘的情況下，運用交換律和結合律進行簡便計算，從而提升學生的運算能力和推理意識。

2.理律內錯互融，架構整體思維

算理是算法的基礎，算法是對算理的一種技能概括，運算律是算法的再次優化，又是算理意義理解和算法計算方法的支撐。三者相互依存，交錯相融。

數學源自對現實世界的觀察、思考和表達，數學最終用于解釋現實世界的數量關系和客觀規律。計算教學的核心是對算理的理解。小學階段的規律探索都是運用合情推理，是一種不完全歸納法。為此，及時借助生活事例、幾何圖形等多元表征有助于提升學生理解數學規律，發現數理和生活事理的一致性。

綜上所述，教師遵循規律探索的基本路徑，讓學生經歷“發現特例—舉例驗證—排除反例—歸納總結”的過程，在發現規律之后，借助身邊的事例解釋運算律，力求讓學生發現數學與生活的相通性。引導學生感知運算律既是一種運算規律，又是算理的基礎，更是后續學習的依據，從而體會算理、算法、運算律的一致性。