靈活思考、優化運算、規范表達

伏建彬

摘 要： 通過一堂解三角形的講評課，運用不同方法解決問題，鍛煉學生的思維．同時從思維定勢、運算粗心、表達不規范三個方面暴露學生的錯誤，再共同分析，既提高了學生思維的靈活性，又防微杜漸，讓學生減少失誤，規范表達，提高了數學問題解決水平．

關鍵詞： 三角形；思維；規范

三角解答題是高考數學試題中的一種基本題型，難度中等，多數學生能夠順利得到滿分，然而每年總有一些學生因為思維定勢、運算粗心、表達不規范導致失分或者直接做不出來.為解決這一問題，筆者通過一道高考試題的講評課，從靈活思考、優化運算、規范表達三個方面讓學生通過對比優化解題技能．

1 ?教學實錄

記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知 b2＝ac，點D在邊AC上，BD sin ∠ABC＝a sin ?C．

（1） 證明： BD＝b.

（2） 若 AD＝2DC，求 cos ∠ABC．

（提前出示問題，課前批閱，第二天課上探究）

師：第一問的難度不大，相信大家能從不同的角度得到多種解法，誰先來展示一下？

生1：在△ABC中，因為BD sin ∠ABC＝a sin ?C，由正弦定理 ?b ?sin ∠ABC ＝ c ?sin ?C ，得BD·b＝ac.又b2＝ac，所以BD·b＝b2，故BD＝b．

師：嗯，不錯，該同學是運用正弦定理統一到邊的，能夠展示必要的解題過程，書寫表達也比較規范，這一問可以得滿分.在批閱中發現部分同學沒有寫正弦定理或公式，有的同學沒有將條件“BD sin ∠ABC＝a sin ?C”寫上去，還有的同學將∠ABC寫成了∠B（適當投影展示，隱藏學生姓名），大家來評判一下，如果你是閱卷老師，要不要扣分？

生眾：各抒己見，多數說不能得滿分，要扣分，有的說不應該扣分，條件很明顯．

師：以上的寫法都是不合適的，解答題的回答就像寫一篇說明文，要前后通順，合理連貫，使讀者能夠一氣呵成的看懂，而不是再帶著疑問去查字典來進行分析、解讀，站在閱卷者的角度來看，這是不現實的，因此要杜絕以上情況，本題還有其他解法嗎？

生2：在△ABC中，因為b2＝ac，由正弦定理 ?b ?sin ∠ABC ＝ c ?sin ?C ，得b sin ∠ABC＝a sin ?C.

又BD sin ∠ABC＝a sin ?C，故b sin ∠ABC=BD sin ∠ABC，故BD＝b．

師：好，該同學是通過正弦定理去邊留角，思路清晰，表達規范，還有沒有其他方法？

生3：由 BD· sin ∠ABC＝a sin ?C，得 BD ?sin ?C = a ?sin ∠ABC ，

在△DBC中，由正弦定理 ?BD ?sin ?C = a ?sin ∠BDC ，

得 ?sin ∠ABC= sin ∠BDC，所以∠ABC與∠BDC相等或互補.

① ?若∠ABC=∠BDC，又∠C=∠C，故△ABC與△BDC相似，

得 ?BD c = a b ，所以BD·b＝ac，

又b2＝ac，所以BD＝b．

② 若 ∠ABC與∠BDC互補，即∠ABC=∠BDA.又∠A=∠A，故△ABC與△ABD相似，以下同①．

師：該同學也是去邊留角，不過他的立足點是△DBC，通過正弦定理及已知條件得到∠ABC與∠BDC相等或互補，再分別討論，運算量稍微大一些.還是那句話：思維量增加，運算量就減少．這一問的易錯點有如下四個，請大家引以為戒：1. 不抄寫條件，不寫正弦定理或公式；2. 正弦定理使用不恰當，如將方程一側 sin ?C直接變為c，另一側不變化；3. 公式變形太復雜，步驟混亂，用時過多；4. 不少學生用分析法，格式不對，例如讓證明 BD=b，有的同學先“假設BD=b”，則承認命題成立了，那就不需要證明了，其實這種假設只能用于反證法．再來看第二問，哪個同學先來回答？

生4：在△ADB中，由余弦定理可得 ?cos ∠ADB＝ BD2＋AD2－AB2 2BD·AD ＝ ?13 9 b2-c2 ?4 3 b2 ，

在△CDB中，由余弦定理可得 ?cos ∠BDC＝ BD2＋CD2－BC2 2BD·CD ＝ ?10 9 b2-a2 ?2 3 b2 ，

又因為 ∠ADB＋∠BDC＝ π ，所以 cos ∠ADB＝－ cos ∠BDC，

即 ??13 9 b2-c2 ?4 3 b2 ＝－ ?10 9 b2-a2 ?2 3 b2 ，即 11 3 b2＝2a2＋c2，又b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，

即 （2a－3c）（3a－c）＝0，解得a＝ 3 2 c或a＝ 1 3 c，

當 a＝ 3 2 c時，c＝ ?6 ?3 b，a＝ ?6 ?2 b， cos ∠ABC＝ a2＋c2－b2 2ac ＝ 7 12 ；

當 a＝ 1 3 c時，c＝ 3 b，a＝ ?3 ?3 b， cos ∠ABC＝ a2＋c2－b2 2ac ＝ 7 6 ＞1，舍去；故 cos ∠ABC＝ 7 12 ．

師：非常好，兩個三角形的六條邊都是已知的，∠ADB與∠BDC互補，很容易想到利用兩個余弦定理得到a，b，c的關系，再結合 b2＝ac，輕松得解，該同學思路清晰，運算準確，表達規范，可以作為解題模板．再補充一句，本題兩問互不影響，各自得分，第一問中由主干條件得出的結論可用，也就是說在第一問沒有附加條件情況下，萬一不會做也可以用其結論來做第二問．還有沒有其他解法？

生5：我是在△ABC和△ADB 中兩次使用余弦定理來表示 cos ?A，得到 6a2－11ac＋3c2＝0，結合b2＝ac得解．

生6：也可以在△ABC和△BDC 中兩次使用余弦定理來表示 cos ?C，再結合 b2＝ac得解．

師：以上兩位同學的思路都很好，都是利用余弦定理得到一個等式，再結合 b2＝ac，得到三邊關系，再用某一邊來表示另外兩個邊，得解，這是一般的解決方法，稱為通法.平時大家解題要注意總結提升理論水平，再用理論來指導實踐．

生7：因為 AD＝2DC，所以BD ＝ 1 3 BA ＋ 2 3 BC ，所以|BD |2＝ ?1 3 BA ＋ 2 3 BC ?2＝

1 3 BA ＋ 2 3 BC ?2，

即 b2＝ 1 9 c2＋ 4 9 a2＋ 4 9 ac cos ∠ABC，所以 cos ∠ABC＝ - 4 9 a2- 1 9 c2+b2 ?4 9 ac ＝ －4a2－c2＋9ac 4ac ，

在△ABC中，由余弦定理及 b2＝ac，得 cos ∠ABC＝ a2＋c2－b2 2ac ＝ a2＋c2－ac 2ac ，

所以 ?－4a2－c2＋9ac 4ac ＝ a2＋c2－ac 2ac ，即6a2－11ac＋3c2＝0，得a＝ 3 2 c或a＝ 1 3 c，

當 a＝ 3 2 c時， cos ∠ABC＝ a2＋c2－ac 2ac ＝ 7 12 ；

當 a＝ 1 3 c時， cos ∠ABC＝ a2＋c2－ac 2ac ＝ 7 6 ＞1，舍去，故 cos ∠ABC＝ 7 12 ．

師：嗯，利用向量來處理也可以，回想一下我們正是利用向量來證明的余弦定理，該同學對向量把握的較為熟練，還有其他方法嗎？

生8：由 BD· sin ∠ABC＝a sin ?C，得 BD ?sin ?C = a ?sin ∠ABC ，

在△DBC中，由正弦定理 ?BD ?sin ?C = a ?sin ∠BDC ，

得 ?sin ∠ABC= sin ∠BDC，得∠ABC與∠BDC相等或互補.

① 若 ∠ABC=∠BDC，又∠C=∠C，故△ABC與△BDC相似，

得 ?BC AC = CD CB ，即 a b = ?1 3 b a ，故b2＝3a2.

又b2＝ac所以c＝3a， cos ∠ABC＝ a2＋c2－ac 2ac ＝ 7 6 ＞1，舍去；

② 若∠ABC與∠BDC互補，即∠ABC＝∠BDA.又∠A=∠A，故△ABC與△ABD相似，得 BD BC ＝ AC AD ，即 b a = b ?2 3 b .又b2=ac，所以 a＝ 3 2 c， cos ∠ABC＝ a2＋c2－ac 2ac ＝ 7 12 .

師：該同學利用正弦定理得到∠ABC與∠BDC相等或互補后，利用三角形相似來得到三條邊的關系，簡便又易懂，也是非常好的，其實也可以用余弦定理把這兩個角的余弦表示出來，進而得到三條邊的關系，這種方法也是容易想到的，還有沒有其他方法？

生9：設 CD=m，得AD=2m，BD=3m，∠ADB＝θ， 在△ADB中，c2=4m2+9m2-2·2m·3m cos ?θ，

在△CDB中， a2=9m2+m2-2·3m·m cos ?（ π -θ），得到c2+2a2=33m2，由b=3m，結合b2＝ac，得c2+2a2= 11 3 ac，得a＝ 3 2 c或a＝ 1 3 c，同樣舍去一種情況，得到 cos ∠ABC＝ 7 12 ．

師：好，這一問涉及余弦定理的應用，考查同學們分析問題、解決問題的能力以及計算能力，要注意以下易錯點：

（1） 部分學生選擇角B，用兩角和的余弦建立等量關系，由于計算量較大無法確立a，c關系．

（2） 不會齊次式 11b2＝6a2＋3c2的因式分解，導致不能得滿分．

師：希望大家要有目標意識以及“迂回”解決問題的意識，對復雜問題，要從另外的角度使用條件，同時要加強計算能力的提升，如齊次式的因式分解，養成獨立計算的良好習慣，下面請大家再來練習一道高考題：在△ABC中，已知 AB ·AC =3BA ·BC ． （1） 求證： ?tan ?B=3 tan ?A；

（2） 若 ?cos ?C= ?5 ?5 ，求A的值．

2 ?教后反思

高考中的三角解答題大都涉及正弦定理、余弦定理、三角形中的邊、角的性質、兩角和與差的三角函數等知識點，還可能會涉及到平面向量的知識.要想得滿分，要靈活思考、優化運算和規范表達，這三者缺一不可．

2.1 靈活思考

很多學生在拿到試題后，沒有仔細審題就做，思路單一，一條胡同走到底，鉆牛角尖，導致考試失利.比如在上面練習題的第一問中，學生都能利用數量積、正弦定理和同角三角函數關系式得出證明，第二問卻難住了很多學生，這部分學生由于平時習慣了遇切化弦而導致思維定勢，又沒有注意第一問的指路作用導致思維受阻，直接影響后面的答題進度.其實出題者意圖是由 ?cos ?C= ?5 ?5 求出 tan ?C，再由三角形內角和，得到 tan ??（A+B），從而根據兩角和的正切公式和（1）的結論即可求得A= ?π ?4 ．

這就要求學生在分秒必爭的高考中，絕不要一條胡同走到底，要大膽發散思維，敢于換角度思考問題.再看一題：“在邊長為5、7、8的三角形中，求最大角與最小角的和”.多數學生拿到題后，求最大角與最小角的余弦、正弦，由于結果非特殊值而導致運算繁雜，也有一些學生換一個角度，通過求中間角的余弦值得到中間角為60度，從而輕松得解為120度．這些例子告訴我們，多角度考慮問題找到最佳路徑至關重要.筆者在每次考試前都會送給他們迎戰考試的三大法寶：① 默讀三遍題目；② 善于運用數形結合思想；③ 多角度考慮問題.即在拿到試題后首先要瀏覽試卷，做到心中有數，要善于數形結合、多角度、靈活解題，如果一種方法受阻了，換一個角度也許會柳暗花明．

2.2 優化運算

數學離不開運算，三角題也不例外，但不是硬算蠻干，而是需要細心、耐心和智慧.不少學生由于基礎知識不牢固導致浮躁，進而看錯、抄錯、算錯，導致丟分.其實運算能力是以知識為基礎的，只有基礎知識掌握牢固的同學，在養成平時獨立解題的習慣后，才有可能養成優化運算的好習慣.