情境·活動：在問題解決中提升核心素養

金鵬 張阿南

摘 要： 以“三角函數的周期性”的課堂教學為例，立足問題解決，通過創設豐富的情境，緊扣問題開展探究活動，引發學生思考，培養學生的探究意識和抽象能力，促進知識概念的自然生成，發展學生思維，逐步提升學生的數學素養．

關鍵詞： 情境；思維；問題解決；核心素養

1 ?問題提出

2003年的高中數學課程標準已提出“提高數學的提出、分析和解決問題的能力”．2016年以來，“數學核心素養”備受矚目，且大體已有定論，即包括思維方式、關鍵能力和通過數學活動培養品格三部分．［1］《普通高中數學課程標準（2017年版）》中明確指出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質．”［2］

那么指向核心素養的數學課堂教學應如何進行呢？筆者認為，在高中數學教學中，要把數學知識與生活實際相聯系，遵循學生的思維軌跡，通過創設適當的問題情境而讓學生產生“沖突”，設置層層遞進的問題來思考“沖突”，并在化解“沖突”中積累基本活動經驗，以達到問題解決，提升數學核心素養的能力．本文以“三角函數的周期性”教學為例，對照新課標要求，深入思考，教學實踐后進行了整理.

2 ?教學分析

2.1 內容分析

在這一章的學習中，三角函數的定義是研究三角函數的基礎，單位圓中的三角函數線是研究三角函數的重要工具．由于周期現象一般與圓周運動有關，教材中選擇用“圓周上一點的運動”這個簡單又基本的例子作為研究對象（如圖1［3］）．在本節課之前，教材中與之相似的圖形前后共出現了30余處，可見其重要性．學生不斷地圍繞這個圖形展開研究，引導學生逐步刻畫、完善圓周運動的數學模型，構建問題解決模式．

本節內容是 § 7．3三角函數的圖像和性質的第一節，主要內容是周期函數的定義和正弦、余弦、正切函數的周期性．前面已經學習了二節內容，第一大節是角與弧度，第二大節是三角函數概念，后面將要研究學習三角函數的圖象和性質及其應用，這就需要應用周期性來簡化函數圖象的作圖，所以三角函數的周期性是研究三角函數圖象與性質的基石，為后面的學習構建了范式．

2.2 學情分析

認知結構在遷移中起著決定性作用．從學生的知識儲備與能力水平兩個層面上來看，學生已經學習了三角函數定義，三角函數線，誘導公式，具有一定的抽象歸納能力，并掌握了數形結合、特殊到一般等數學思想方法．正是這些思想、方法、經驗等影響著新的學習，需要我們去了解學生在前面的知識領域中認知結構的組織特征，如清晰性、穩定性、概括性等，從而間接地影響新的學習與遷移．同時，在學習本節內容之前，學生雖已經歷過一些概念與定義的刻畫，如函數的概念、單調性與奇偶性的定義等，但過程中卻呈現不同程度的刻畫水平差異與能力不足，如對函數奇偶性的定義中只關注了 f（-x）＝f（x）與f（-x）＝-f（x）這種代數表示，而定義中的“定義域”“任意的x∈A，都有-x∈A”等關鍵語言的提煉與刻畫不完整、理解不到位．本節課，學生容易通過了解生活中的一些周期現象發現一些基本特征，但如何用數學的方式去思考周期現象以及概念的抽象素養均有待提高．

2.3 思路分析

本節課用學生比較熟悉的“周期現象”作為具體的問題情境，突出“建立刻畫周期性現象的數學模型”的必要性，［4］按照“創設情境—學生活動—數學建構—數學運用”的程序，讓學生經歷數學建模的過程．同時，從以下三點關注教學的達成與學生的反饋：

一是學生根據生活經驗感受周期現象中“循環往復的重復出現”這一變化規律的同時，能否用數學語言將規律中“每隔一定時間出現”“函數值就重復出現”精準的刻畫并逐步抽象出函數周期性的定義．

二是周期變化的現象描述與模型刻畫中如何培養學生的數學表達和交流能力及特殊到一般的歸納能力．

三是提醒學生重視學科之間的聯系與綜合，在學習相關內容時，注意運用三角函數來分析和理解，進一步培養學生發現問題、提出問題和解決問題的能力，并在應用與創新中從更深層面上認識到數學的科學、應用和文化價值.

為了使學生通過生活中周期性現象，抽象歸納函數周期性的概念，總結求解函數周期的一般方法，力圖讓學生通過“經歷”“體驗”達到“了解”“理解”的水平．

具體如表格：

3 ?教學實錄

3.1 教學片段1—問題情境

情境1 ???：（古詩欣賞）離離原上草，一歲一枯榮，野火燒不盡，春風吹又生．

情境2 ???：（課件演示）摩天輪上任意一點轉動一圈后回到原來的位置．

情境3 ???：（實物展示）彈簧振子．

問題1 ????上面的幾個例子有什么共同特征呢？

生：周而復始、循環、重復出現．

師：說得很好，這些都是按照一定的規律周而復始、循環、重復出現，我們把這種現象叫做周期性現象，你們還能在舉一些例子嗎？

教師先引導學生分析后，讓學生找出生活中周而復始的現象如“日出日落”“寒來暑往”“四季輪回”“月亮從虧到盈的變化”“潮汐變化”等，進一步體驗生活中的周期性現象．然后引導學生從數學內部進行探尋，如已經學習過的函數知識中是否有類似的周期性現象．

教學說明： 利用多媒體和實物展示引入3個問題情境，讓學生體驗周而復始、循環、重復出現的直觀感受．而情境2與3又成為本節課自始至終的研究對象，充分體現數學來源于生活，又應用于生活.問題1的追問舉例，將學生的感受進階擴展，繼續追尋生活中及數學本身更多的相似體會，激發學生的探究欲和求知欲．構建的“生活—數學—生活”這種解決問題的模式，為學生解決如何由實際問題抽象出數學問題及后續學習的思維遷移提供更好的幫助．

3.2 教學片段2—學生活動

探究活動1（通過情境2提出問題）

如圖2，點P從半徑為1的圓O上A點位置開始在圓周上按逆時針方向進行勻速運動，每4分鐘轉動一周．設點P 到A的距離為y，運動時間為t，記 y=f（t）．那么當點P每次回到點A位置時，你能發現什么？如何用函數形式表達？

生： f（0）＝f（4）=f（8）＝f（12）=…＝0．

師：P在其他位置呢？

生：無論點P從哪里開始，每隔4分鐘，都會到達的相同位置．

師：又能得到怎樣的函數表達式？

生： f（x）＝f（x+4）．

師：若點P按順時針方向運動呢？

生： f（x）＝f（x－4）．

師：若T分鐘運動一周呢？

生： f（x）＝f（x＋T）．

教學說明： 把情境2這一自然現象數學化，提煉出點在圓周上運動這個最基本的三角函數模型，再經過巧妙問題串聯師生的合作討論，使影響運動的元素與對應變化的數學對象顯現出來，讓學生在充分的形象和表象支持下發現周期函數的數學特征，感受觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括的思維過程有利于學生揭示數學本質、掌握周期的概念.問題情境與探究活動獨具匠心，課堂的情境與問題、學生的情緒與思維相輔相成，互相助益，有助于教學過程完整而流暢，使課堂充滿了興趣、思維、情感和價值認同等核心素養的元素．

3.3 教學片段3—數學建構

問題2 ????如何用數學語言來刻畫函數的周期性現象呢？

給學生一定時間進行討論，這個過程很重要，要根據學生刻畫的方向、描述的準確與否適時地給與引導，如前面學習過哪些類似知識，又有哪些類似的經驗或方法：是否可以類比借鑒呢？從而引導學生一步一步歸納出周期函數的定義．

問題3 ????請你談一談對周期函數定義的理解．

給學生一定時間進行討論，并看討論的情況提出預設問題：

問題3 1 ????常數T有什么要求？

問題3 2 ?????在活動1中，我們也發現 f（1）＝f（1＋2），那么能說明周期T＝2嗎？

問題3 3 ????一個周期函數的周期有多少個？

問題3 4 ????是不是所有的周期函數都有最小正周期？

問題4 ????正弦函數 y＝ sin ?x是周期函數嗎？

探究活動2 觀察三角函數線的變化規律，如圖3，能否找到非零常數T，使 ?sin ?x= sin （x+T）成立？

（給學生一定時間思考，引導對比誘導公式進行討論，并根據討論的情況提出預設問題）

問題4 1 ????余弦函數 y＝ cos ?x是周期函數嗎？若是，周期是多少？

問題4 2 ????正切函數 y＝ tan ?x呢？

問題4 3 ????周期函數的圖象具有什么特征？

問題4 4 ????你是如何想到的？

教學說明： 從本單元知識體系與相應核心素養進行整體性教學設計，研究函數的周期性時復習函數的奇偶性、單調性，充分調動、引導學生將新舊知識有機融合，同時引導學生思考誘導公式 ?sin （x＋2k π ）＝ sin ?x的代數表達，把正弦函數線“周而復始”的變化規律從形上的圖形認知與從數的角度如何代數刻畫建立溝通的橋梁，這兩點對學生理解和掌握周期函數的概念是十分有益的， 同時這種代數式的認識也為后面例2的研究做了很好的鋪墊；對于定義的理解采用了問題鏈的形式引導學生合作探究，培養學生大膽猜想，敢于發表個人見解，學生在問題鏈的驅使下一步一步的探索解決問題的辦法，提高類比歸納與演繹推理能力， 學會合作、探究問題．

3.4 教學片段4—數學運用

例1 ??回憶情境3中的實驗，若彈簧振子對平衡位置的位移x（ cm ）與時間t（ s ）之間的函數關系如圖4所示，求：（1） 該函數的周期；（2） ?t=10.5 ?s 時彈簧振子對平衡位置的位移．

例2 ??求下列函數的周期．

（1） ?f（x）= sin ?x+ ?π ?6 ?.

（2） ?f（x）=2 sin ?x.

探究活動3

求函數 f（x）=A sin （ωx+φ）及f（x）=A cos （ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0）的周期．

教學說明： 這節課的情境貫穿于整個課堂，支持了豐富的問題和探究的積極性．用情境3作為例1使整個教學過程充滿了生機和活力，學生易產生共鳴和期待．例題來源于生活，貼近生活，又立足于數學，拉近了學生與數學的距離，產生了良好的情感.例2的解決中為什么要整體換元也將是一個難點，同時例2是為了第3個小問做的鋪墊，使學生更容易掌握研究函數周期的方法，講評時要強調函數的周期是針對自變量x而言．

4 ?教學感悟

4.1 ?創設恰當情境，提出合理問題，加深數學理解

本節課共設計了3個情境、4個問題．課堂教學中創設必要且恰當的情境有利于調動學生的學習興趣和求知欲望，以梯度合理的問題鏈設計引導學生在思維的“最近發展區”進行思維活動，通過問題鏈形式進行教學深入淺出、融會貫通．所設計的4個問題，緊扣主題，層次分明，條理清晰，符合循序漸進的教學原則．而在課堂教學的過程中，并不滿足學生答對問題，而是通過追問，檢查學生的思考狀況，了解學生的理解程度，捕捉可能出現的疑惑，及時矯正問題．［5］從學生的視角解決問題，不僅能讓學生“知其然”，還能“知其所以然”，更要能“知何由以知其所以然”．通過問題3的思考既可以達到預設目標，又可以得到更多的“生成”，使學生建構起自己的數學理解，找到思維的起點和問題的本源，更好地把握數學本質，真正發展數學思維．

4.2 ?構建學習模式，形成思維結構，促進問題解決

問題解決是由一定的情境引起的，按照一定的目標，應用各種認知活動、技能等，經過一系列的心理操作，使問題得以解決的過程．深讀教材及教學參考，挖掘編寫者的設計意圖，對本章的學習內容整體規劃，厘清學習路徑，構建“創設情境—學生活動—數學建構—數學運用”的學習模式，經歷“一次次的提出、一次次的思考、一次次地修正、一次次地完善”的思維過程，對學生頭腦中已有的周期表象與研究知識的經驗不斷進行整合、融合、更新、加工，用數學的方式提取和概括周期性現象特征和規律，揭示模型的本質特征和內部聯系，構建問題解決的模式．讓學生對函數周期性概念的內涵與外延認識得更加深刻．經歷知識發生發展的過程，完善學生的思維認知結構，促進問題解決及概念的整體理解．

4.3 ?開展有效探究，引導自主建構，提升核心素養

本節課的3組探究活動均注重學生主體地位，教學的重心不是老師的教而是學生的學．在探究中問題3的提出是開放的，對答案沒有限制，也沒有刻意指示學生怎么探究．通過獨立思考、小組討論、代表發言、師生對話的形式展開探究教學，體現了課堂學習的自主性、過程性、實踐性與開放性．同時，探究也不能流于形式，要充分考慮學生已有的認知，以學生的視角為起點，營造適合學生自主建構知識的氛圍并創造條件，給學生的探究活動留足自由的時間，關注課堂生成特別是探究的方向、方式、進程等要素，動態調整，不斷改變和重建教學預設，逐步完善個體知識的自主建構．在注重數學知識形成的過程中引發學生思維的共鳴和數學思維品質的培養，讓數學核心素養在課堂教學中真正地落地生根．

參考文獻：

［1］ 孔凡哲，史寧中．中國學生發展的數學核心素養概念界定及養成途徑［J］．教育科學研究，2017（6）：5 11．

［2］ 普通高中數學課程標準（2017年版）［M］．北京：人民教育出版社，2017．

［3］ 高中數學必修第一冊［M］．南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019．

［4］ 樊亞東，張乃達．高中課程標準實驗教科書必修《數學4》（蘇教版）教學問答［J］．中學數學月刊，2007（6）：16 17．

［5］ 金鵬．問題引領課堂 探究促進生成——“拋物線的標準方程”教學實錄與反思［J］．中學數學月刊，2014（3）：42 44．