例談高中數學錯誤資源的有效利用

酈勝翔

摘 要： 本文主要研究學生在高中數學學習過程中常見的一些錯誤，針對不同錯誤的研究，提升學生不同的能力，幫助學生順利優化高中數學素養，對高中知識的掌握更加熟練.

關鍵詞： 高中；數學；錯題資源；能力提升

在高中數學教學中，學生經常出現各種錯誤，事實上學生在知識的建構過程中會有一些認識上的偏差甚至是負遷移，筆者談談如何有效地利用這些錯誤資源進行教學的做法與體會，不到之處請批評指正.

1 ?有效利用概念錯誤資源 加深學生對概念的理解

數學概念是反映數學對象的本質屬性，數學概念是數學理論體系中十分重要的組成部分.因此必須弄清概念，搞清概念的內涵和外延，為判斷和推理奠定基礎.我們正確的做法是利用一些概念易錯題讓學生在做中錯、錯中思、思中醒，體會概念的內涵與外延，從而加深對概念的正確理解.

例1 ??求過點（0，1）的直線方程，使它與拋物線y2=2x僅有一個交點.

錯解： ?設所求的過點（0，1）的直線方程為y=kx+1，

由 y=kx+1，

y2=2x， 消去y，得（kx+1）2-2x=0，

整理，得k2x2+（2k-2）x+1=0.

∵直線與拋物線僅有一個交點，

∴Δ=（2k-2）2-4k2=0，解得k= 1 2 .

故所求直線的方程為y= 1 2 x+1.

分析： ?此處解法共有三處概念存在理解上的錯誤：

第一，設所求直線為y=kx+1時，沒有考慮k=0與斜率不存在的情形.

第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相交的情況，只考慮相切的情況.原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關系理解不透徹.

第三，將直線方程與拋物線方程聯立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數不能為零.

正解： ?① ?當所求直線的斜率不存在，即直線垂直x軸時，因為過點（0，1），所以直線的方程為x=0；

② 當所求直線的斜率為零時，直線的方程為y=1，此時直線與拋物線y2=2x只有一個交點；

③ 設所求的過點（0，1）的直線為y=kx+1（k≠0），同錯解可得直線的方程為y= 1 2 x+1.

綜上，滿足條件的直線方程為y=1或x=0或y= 1 2 x+1.

通過這道題的訓練，可以幫助學生強化直線與拋物線僅有一個交點等概念的深刻理解.

學概念是為了用概念，在用的過程中才能理解概念，有效利用概念錯誤資源，客觀上可以給學生提供對概念由表及里，由淺入深的認識機會.

2 ?有效利用思維上的錯誤資源 提升學生的思維能力

思維能力是學生數學能力的重要標志，思維能力的培養是高中數學教與學的主旋律.利用學生思維上所犯的錯誤，可以透視學生的思維取向，從而發現教學中存在的問題，讓學生在思維的犯錯中訓練思維能力，提高思維品質.

2.1 ?有效利用思維缺乏深度的錯誤 培養學生思維的深刻性

例2 ??已知函數f（x）= （3-a）x+2 （x≤2），

a2x2-9x+11 （x＞2）， 數列{a n}滿足a n=f（n）（n∈ N *），若數列{a n}是遞增數列，則實數a的取值范圍為 ??????????.

錯解： ?由題意，得 3-a＞0，

a＞1，

8-2a≤a， 解得 8 3 ≤a＜3.故填答案： ?8 3 ，3 .

分析： ?這道題主要考查函數與數列的本質區別，即：函數的定義域為一切實數，而數列是特殊的函數，其定義域為n∈ N* 或其子集，由于學生對定義的本質缺乏思維上的深度理解造成錯誤.

正解： ?由題意，得 3-a＞0，

a＞1，

f（2）＜f（3）， 即 3-a＞0，

a＞1，

8-2a＜a2， 解得2＜a＜3.故填寫答案：（2，3）.

思維缺乏深度，一方面是概念的缺失，另一方面與思維習慣、方式、能力因素有關，有效利用思維缺乏深度的錯誤可以幫助學生訓練思維的深刻性，讓學生認識到思維質量的高低對決策的影響至關重要.

2.2 ?有效利用思維缺乏嚴謹的錯誤 培養學生思維的嚴密性

例3 ??若中心在原點、焦點在坐標軸上的雙曲線的一條漸近線方程為x+3y=0，則此雙曲線的離心率為 ?????.

錯解： ?設雙曲線的標準方程為 x2 a2 - y2 b2 =1（a＞0，b＞0），由題意，得 b a = 1 3 ，∴e= c a = 1+ ?b a ?2 = 1+ 1 9 ?= ?10 ?3 .

分析： ?錯解的原因是學生沒有把焦點在坐標軸上作為一個重要條件，僅考慮焦點在x軸上，從而漏解.

正解： ?漸近線方程可寫為y=- 1 3 x，當焦點在x軸上時，同錯解，得e= ?10 ?3 ；當焦點在y軸上時，可設雙曲線的標準方程為 y2 a2 - x2 b2 =1（a＞0，b＞0），由題意，得 a b = 1 3 ，即 b a =3，∴e= 1+ ?b a ?2 = 1+9 = 10 .故填寫答案： ?10 ?3 或 10 .

“丟三落四”看似粗心，實質上是思維不嚴謹所致，不嚴謹的思維往往會造成解題結果的遺漏或重復.有效利用思維缺乏嚴謹性的錯誤，可以訓練學生思維的嚴密性、精確性和敏感性，糾正學生的思維偏差，培養縝密思考的好習慣.

2.3 ?有效利用思維慣性的錯誤 培養學生思維的理性、質疑精神

例4 ??設等比數列{a n}的前n項和為S n.若S 3+S 6=2S 9，求數列{a n}的公比q.

錯解： ?∵S 3+S 6=2S 9，

∴ a 1（1-q3） 1-q + a 1（1-q6） 1-q =2· a 1（1-q9） 1-q ，

整理，得q3（2q6-q3-1）＝0，

解得q=- ?3 4 ?2 或q=1.

分析： ?在錯解中，學生習慣運用公式由 a 1（1-q3） 1-q + a 1（1-q6） 1-q =2· a 1（1-q9） 1-q ，忽略了等比數列的公比q也可能為1的情況.因此，在解題時應先討論公比q=1的情況，再在q≠1的情況下，對式子進行整理變形.

正解 ：若q=1，則有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1，

所以S 3+S 6＝9a 1，2S 9=18a，所以S 3+S 6≠2S 9，與題設矛盾，故q≠1.

由S 3+S 6=2S 9，

可得 a 1（1-q3） 1-q + a 1（1-q6） 1-q =2· a 1（1-q9） 1-q ，

整理，得q3（2q6-q3-1）＝0，

即（2q3+1）（q3-1）=0.

因為q≠1，所以q3-1≠0，所以2q3+1=0，解得q=- ?3 4 ?2 .

慣性思維緣于經驗依賴，或是應試模式的產物，告知式、滿堂灌的教學方式會使學生在思維上逆來順受，學生一路被教師牽著鼻子走，學生缺乏自己的學習空間，沒有創造性，面對新問題很可能出問題.慣性思維即為惰性思維，也可以說沒有思維，隨意性很大，思維過程不嚴謹，態度不嚴肅.有效利用思維慣性錯誤可以培養學生理性意識和質疑精神，明晰思維方向，提高思維準度.

3 ?有效利用新舊交替形成的錯誤 幫助學生形成新規則

在新舊知識交替時最容易發生的錯誤是將舊知識不經甄別地移植到新知識體系過程中的負遷移，如：對數運算性質會出現 log ?a （x+y）= log ?a x+ log ?a y等情況，這些錯誤發生了，學生也未必能察覺，所以要利用新舊知識交替形成的錯誤，讓學生有所警醒，使學生形成正遷移.

例5 ??已知方程x2+（m+4 i ）x+1+2m i =0至少有一個實數根，求m的取值范圍.

錯解： ?∵方程至少有一個實數根，

∴Δ=（m+4 i ）2-4（1+2m i ）=m2-20≥0，

解得m≥2 5 或m≤-2 5 .

分析： ?實數集合是復數集合的真子集，所以在實數范圍內成立的公式、定理，在復數范圍內不一定成立，必須經過嚴格推廣后方可使用.一元二次方程根的判別式是對實系數一元二次方程而言的，學生盲目地搬用結論把它推廣到復系數一元二次方程中，容易造成解法錯誤.

正解： ?設a是方程的一個實數根，

則a2+（m+4 i ）a+1+2m i =0，

∴a2+ma+1+（4a+2m） i =0.

由于a，m都是實數，

∴ a2+ma+1=0，

4a+2m=0， 解得m=±2.

初高中知識的呈現有許多是交叉遞進的，比如數系的擴充（引入復數），指數的運算（引入分數指數），實數的運算（引入向量的運算），平面幾何（引入立體幾何），新知識的引入，往往伴隨著新規則的出臺，學生往往認識不足，在接受新知識的同時依然沿襲舊的思維方式，對新規則難以接受，因此有效利用新舊知識交替的錯誤可以幫助學生樹立新規則意識的同時，實現新舊知識的順利交接.

4 ?有效利用觀念未形成所犯的錯誤 培養學生形成正確的解題觀

高中數學教育的宗旨就是培養學生正確的數學觀念，所有數學行為都圍繞這一中心話題，同時，從課程設置以及學生的認知規律來看，形成正確的觀念最重要的時期就在高一，有效利用觀念未形成所犯的錯誤，幫助學生樹立正確的數學觀念，是一個值得嘗試的教學手段.

例6 ??求y= 2 ?sin 2x + 8 ?cos 2x 的最小值.

錯解： ?y= ?2 ?sin 2x + sin 2x + ?8 ?cos 2x + cos 2x -1≥2 2 +2 8 -1=-1+6 2 ，故y的最小值為-1+6 2 .

分析： ?該題說明學生對基本不等式的一正二定三相等的解題觀念還沒有形成.在錯解中，y=-1+6 2 的充要條件是

2 ?sin 2x = sin 2x，且 8 ?cos 2x = cos 2x，即 sin 2x= 2 ， cos 2x=2 2 ，顯然這是不可能的.

正解 ：y= 2 ?sin 2x + 8 ?cos 2x = 2（ sin 2x+ cos 2x） ?sin 2x + 8（ sin 2x+ cos 2x） ?cos 2x =10+ 2 ?tan 2x +8 tan 2x≥10+2 16 =18，當且僅當 2 ?tan 2x =8 tan 2x，即 tan x=± ?2 ?2 時，等號成立.故y的最小值為18.

我們要在學生未形成正確的解題觀時多次強化學生，從而使其掌握正確的解題思路.

觀念支配行動，也決定成敗，沒有正確的數學觀念，學習就會迷失方向，有效利用在數學觀念尚未形成時所犯的錯誤，可以極大地打開學生的思維，拓展學生的視野，幫助學生指點迷津，明辨是非，明確什么是正確的數學原理、思想和方法，學會如何思考問題，促進學生領會數學的本質，為后續學習做認識上的儲備.

5 結束語

有效利用錯誤資源進行教學有助于學生正確理解概念，能培養學生的質疑精神和批判性思維，磨煉學習意志，激發學生興趣，增強信心，提高認識的準度和思維的深度.有效利用錯誤資源進行教學，可以使學生對概念的認識更深刻，思維更嚴謹，觀念更正確，最終獲得良好的數學素養.

參考文獻：

［1］ 鄭銳.如何促進數學思維能力發展［J］.知識文庫，2020（23）：35 36.

［2］ 胡桂仙.論初中數學教學中錯題資源的有效利用［J］.數學學習與研究，2016（2）：22.