讓“數學探究活動”成為高三復習的主旋律

陳艷 郭建華

摘 要： 以2019版蘇教版必修二一道習題為例，通過數學探究活動，積極探索多樣化的教學方式和多元化的學習形式，充分體現學生的主體性，促進學生數學核心素養的全面發展.

關鍵詞： 高三復習；數學探究；核心素養

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作探究，并最終解決問題的過程，是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動.特別是對于高三的數學課堂，更應該重視數學探究活動，提升復習的質量，落實新課程、踐行新課標、培育學生的數學學科核心素養，既重視教，更重視學，幫助學生學會學習，增強解決問題的能力.

筆者在復習“解三角形”時，選擇了課本上一道習題作為探究素材，開展了一次數學探究活動，旨在問題解決的過程中，發展學生的“四基”和“四能”，增進復習的有效性，培養學生的思維品質、實踐能力和創新意識.此次活動取得不錯的教學效果，現將教學過程整理如下.

1 問題呈現

問題 ??（2019版蘇教版必修二教材 P ?104復習題7） ：如圖1所示，已知∠A為定角，P，Q兩點分別在∠A的兩邊上，PQ為定長，當PQ處于什么位置時，△APQ面積最大？

2 教學實踐

根據自組織理論，適度開放的數學課堂教學環境，將有利于“數學探究活動”的開展.學生是學習的主體，要為學生搭建探究的平臺，讓學生的思維動起來，讓學生真正成為建構知識和課堂學習的主角.在遠離平衡態的前提下，通過教師、學生、探究素材和方式等多維交互，讓學生完成對知識的建構，實現教學過程從“他組織”向“自組織”的轉變，讓學生的認知從“無序”逐漸演變成“有序”，從而學會學習.

2.1 解法探究

學生很容易想到利用余弦定理求解，其解法如下.

解法1： ?如圖2所示，設∠A＝α，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y，其中α，a為定值.

由余弦定理，得a2＝x2+y2-2xy cos ?α≥2xy-2xy cos ?α＝2xy（1- cos ?α）.

因為1- cos ?α＞0，

所以xy≤ a2 2（1- cos ?α） ，

所以S △APQ＝ 1 2 xy sin ?α≤ α2 sin ?α 4（1- cos ?α） ?＝ a2 4 tan ??α 2 ?，當且僅當x＝y時取等號，

因此，當AP＝AQ時，△APQ面積最大.

解法1利用余弦定理化角為邊，并結合基本不等式求解，解法簡潔、運算簡單.

在上述解法的基礎上，利用正弦定理也是很自然的一種想法，其解法如下.

解法2 ?：如圖2所示，設∠A＝α，∠APQ＝β，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y，其中α，a為定值.

在△APQ中，由正弦定理，得 x ?sin ?（α+β） ＝ y ?sin ?β ＝ a ?sin ?α ，

即x＝ a sin ?（α+β） ?sin ?α ，y＝ a sin ?β ?sin ?α ，

所以S △APQ＝ 1 2 xy sin ?α＝ a2 sin ?（α+β） sin ?β 2 sin ?α ＝ a2 4 sin ?α ［ sin ?（2β-φ）+ cos ?α］，其中 tan ?φ＝ ?cos ?α ?sin ?α ，

當 sin ?（2β-φ）＝1時，（S △APQ） ?max ＝ α2 4 sin ?α （1+ cos ?α）＝ α2 4 tan ??α 2 ?.

解法2利用正弦定理和輔助角公式，將問題轉化為求三角函數的值域，是問題求解的通性通法.

由于問題的背景為三角形，不一定就局限于用正余弦定理求解，有的學生從平面幾何的視角求解，其解法如下.

解法3： ?如圖3所示，過點A作AB⊥PQ于點B，設∠PAQ＝α，PQ＝a，∠BAQ＝β，AB＝h，其中α，a為定值.

由圖3易知，h· tan ?（α-β）+h· tan ?β＝a，即h＝ a ?tan ?（α-β）+ tan ?β ＞0，

又 tan ?α＝ ?tan （α-β）+ tan ?β 1- tan ?（α-β）· tan ?β ，

所以 tan ?α-［ tan ?（α-β）+ tan ?β］＝ tan ?α［ tan ?（α-β） tan ?β］≤ tan ?α· ［ tan ?（α-β）+ tan ?β］2 4 ，

令x＝ tan ?（α-β）+ tan ?β，

則 tan ?α·x2+4x-4 tan ?α≥0，解得x≥ 2-2 cos ?α ?sin ?α ，x≤ -2-2 cos ?α ?sin ?α （舍去），

當x＝ 2-2 cos ?α ?sin ?α 時，h取得最大值，此時S △APQ最大，

所以（S △APQ） ?max ＝ 1 2 ah＝ 1 2 a· a ?2-2 cos ?α ?sin ?α ?＝ a2 4 tan ??α 2 ?.

解法3利用正切兩角和差公式和PQ長建立方程，并借助基本不等式求解，運算過程較為復雜.

在解法2的基礎上，有的學生發現該三角形的外接圓是定圓，于是利用數形結合思想求解，其解法如下.

解法4： ?設B為PQ的中點，O，r分別為△ABC外接圓的圓心和半徑，

令∠A＝α，PQ＝a，其中α，a為定值，則r＝ a 2 sin ?α .

如圖4所示，點A在優弧PQ 上運動（不與點P，Q重合），

要使（S △APQ） ?max ，只要點A到直線PQ的距離h最大，

由圖4易知，h≤AB≤OA+OB，當A，O，B三點共線時，h ?max ＝r+OB，

在 Rt △OPB中，OP＝r，∠OPB＝ ?π ?2 -α，故OB＝r· sin ?∠OPB＝r cos ?α，

所以h ?max ＝r+r cos ?α＝2r cos 2 ?α 2 ＝2 cos 2 ?α 2 · a 2 sin ?α ＝ a 2 tan ??α 2 ?，

所以（S △APQ） ?max ＝ 1 2 ah ?max ＝ 1 2 a· a 2 tan ??α 2 ?＝ a2 4 tan ??α 2 ?.

解法4利用幾何的方式求解，聯想三角形的外接圓，使得題目直觀形象、簡單易懂，這是求解該類問題的優法.其實，解法4利用的是正弦定理的幾何意義，更能體現問題的本質.

下面，從幾何的視角對該類型的問題做如下探究.

2.2 性質探究

在△ABC中，若∠A為定角，BC為定長，由正弦定理，得 BC ?sin ?A ＝2r（r為△ABC外接圓的半徑）為定值，則點A在半徑為r的圓弧上運動.引導學生發現，當A為銳角時，點A在優弧BC 上運動，如圖5所示；當A為鈍角時，點A在劣弧BC 上運動，如圖6所示.

我們不妨把上述三角形中的這類問題稱為“定邊對定角”問題.

根據以上分析，讓學生探究獲得如下的一般性結論：

結論1 ?： 在△ABC中，若∠A為定角α，BC為定長a， 則△ABC面積的取值范圍為 0， a2 4 tan ??α 2 ??.

問題1： ?如圖7所示，在△APQ中，∠PAQ為定角，PQ為定長，△APQ的周長存在最大值嗎？

分析： ?設∠A＝2β，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y，其中β，a為定值.

要求△APQ的周長取最大值，只要求x+y取最大值.

可以利用代數的方式求解，也可以從幾何的視角思考.

如圖7所示，延長PA至點B，使得AB＝AQ，連接BQ，

易求∠PBQ＝β，其對邊為PQ，則△BPQ在定圓O 1上，

由正弦定理，得圓O 1的半徑R＝ a 2 sin ?β ，顯然，當PB為圓O 1的直徑時，x+y取得最大值，即（x+y） ?max ＝2R＝ a ?sin ?β ，

此時△APQ周長的最大值為a+ a ?sin ?β .

當動點B接近點Q（或點P）時，S △BPQ接近0，故△APQ周長的取值范圍為 2a，a+ a ?sin ?β ?.

于是，得到如下更一般的結論.

結論2： ?在△ABC中，若∠A為定角2β，BC為定長a，則△ABC周長的取值范圍為 2a，a+ a ?sin ?β ?.

問題2： ?如圖8所示，在△APQ中，∠A為定角，PQ為定長，根據問題1求解PA+AQ的思路，能否求解PA+kAQ（k＞0）的范圍？

解： 設∠ABQ＝β，∠A ＝α，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y，其中α，a為定值.

延長PA至B，使得AB＝kAQ，則PA+kAQ＝PB，連接BQ，

在△ABQ中，由正弦定理，得 AB ?sin ?∠AQB ＝ AQ ?sin ?B ，即 ky ?sin ?（α-β） ＝ y ?sin ?β ，

化簡整理，得（k+ cos ?α） sin ?β＝ sin ?α cos ?β.

（1） 當k+ cos ?α＞0時，則 tan ?β＝ ?sin ?α k+ cos ?α ＞0，故 sin ?β＝ ?sin ?α ?k2+1+2k cos ?α ?，即β為定角，其對邊為a，故點B在定圓O 2的優弧PQ 上運動.

若α-β∈ 0， ?π ?2 ?，則 tan ?（α-β）＝ k sin ?α 1+k cos ?α ＞0，即k cos ?α＞-1，由圖8易知，當PB為圓O 2的直徑時，PB取得最大值，此時，△PBQ為直角三角形，PB＝ a ?sin ?β ＝ a k2+1+2k cos ?α ??sin ?β ，則 min {a，ka}＜PB≤ a k2+1+2k cos ?α ??sin ?β .

若α-β∈ ??π ?2 ， π ?，則 tan ?（α-β）＝ k sin ?α 1+k cos α ＜0，即k cos ?α≤-1，此時k＞1，所以a＜PB＜ka.

（2） 當k+ cos ?α≤0時， ?π ?2 ≤β＜ π ，點B在定圓O 2的劣弧PQ 上運動，如圖9所示，此時0＜k＜1，故ka＜PB＜a.

3 教學反思

數學探究是圍繞著一個學生能夠提出、發現、解決、理解、拓展的問題或問題串展開的過程.在探究過程中強調學生的自主性、開放性、實踐性，強調“問題”和“問題意識”，重視學生主動學和學的過程.

3.1 以探究促思維，教會學生思考

在高三數學復習中，不僅要教學生正確的思考方法，更應該讓學生學會思考.數學探究活動是一個非常好的發展學生思維的載體，引導學生從類比、模仿到自主創新，讓學生經歷“發現和提出數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，自主研究、合作研究論證結論”的過程.在數學探究活動過程中，教師要適度點撥，引領學生深度思考，不僅解決一類問題，更應該讓學生感受數學的“源”與“流”和價值，能用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界.

3.2 以探究促評價，發展學生素養

教師應引導每一位同學都參與數學探究活動，及時給予學生多元化的評價.通過評價發現學生已經掌握了哪些知識與技能，得到了哪些方面的提升，已經具備了哪些關鍵能力，還存在哪些不足之處等，以此更好地促進學生的學.基于數學核心素養的數學探究活動，在形成性評價的過程中，不僅要關注學生對知識技能的掌握程度，更應該多關注學生在實際活動過程中的親歷和體驗，注重學生學習方式的轉變，培養學生獨立思考、自主探究、動手實踐、合作交流的能力.