巧思維視角切入，妙技巧方法求解

任小瑞

摘 要： 解三角形一直是高考數學試卷中的一個重要知識點，是溝通初中平面幾何與高中三角函數等基礎知識的一個主場所，實現數學知識與能力的交匯與融合.結合一道高考真題加以實例分析，從不同思維視角切入，總結解題規律，啟示教學學習，引領并指導數學教學與解題研究.

關鍵詞： 解三角形；面積；中點；公式；余弦定理

解三角形是新教材模塊中平面向量及其應用中的一個重要知識點，是平面向量的一個應用方向，也是聯系初高中知識的一個很好的媒介.此類問題有“數”的內涵，有“形”的本質，“數”“形”結合，充分契合新課標的命題理念——“在知識交匯點處命題”，合理融合初中的平面幾何，高中的函數與方程、不等式、三角函數、平面向量以及平面解析幾何等相關知識，成為新高考數學試卷命題中的一個基本考點，倍受各方關注.

1 真題呈現

【高考真題】 ??（2023年高考數學新課標Ⅱ卷·17） 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC面積為 3 ，D為BC的中點，且AD=1.

（1） 若∠ADC= ?π ?3 ，求 tan ?B；

（2） 若b2+c2=8，求b，c.

2 真題剖析

本題通過兩小題的合理設置，通過題設中三角形的面積、中線長這兩個數值的給出，分別通過不同條件來設置兩個不一樣的問題，對應兩個不一樣的三角形，給考生兩種不同的體驗，具有很好的創新性.

同時借助相關角、邊的關系式等數據，全面調動三角形中相關元素及其對應關系，合理構建關系式并加以變形與轉化，是考查學生邏輯推理與數學運算等數學能力與核心素養的一個重要場所.

而在具體解決解三角形綜合應用問題時，充分挖掘題設條件，進行有效審題，合理妙用定理（平面幾何中的相關定理，解三角形中的正弦定理或余弦定理等），正確應用公式（平面幾何中的相關公式、三角函數的相關公式等），合理化歸與轉化，科學邏輯推理，正確數學運算，優化解題過程，提升解題效益.

3 真題破解

解析： ?（1） ??方法1 ?（平面幾何法）

在△ABC中，D為BC的中點，∠ADC= ?π ?3 ，AD=1，S △ABC= 3 ，

則S △ADC= 1 2 AD·DC sin ?∠ADC= 1 2 ×1× 1 2 a× ?3 ?2 = ?3 ?8 a= 1 2 S △ABC= ?3 ?2 ，解得a=4，

在△ADC中，由余弦定理可得b2=AD2+CD2-2AD·CD cos ?∠ADC=1+4-2×1×2× 1 2 =3，解得b= 3 ，

而AC2+AD2=4=CD2，則知∠CAD= ?π ?2 ，且有C= ?π ?6 ，

如圖所示，過點A作AE⊥BC交BC于點E.

于是CE=b cos ?C= 3 × ?3 ?2 ＝ 3 2 ，AE=b sin ?C= 3 × 1 2 ＝ ?3 ?2 ，BE=a-CE=4- 3 2 ＝ 5 2 ，

所以 tan ?B= AE BE ＝ ??3 ?2 ??5 2 ?= ?3 ?5 .

方法2 ?（解三角形法）

在△ABC中，D為BC的中點，∠ADC= ?π ?3 ，AD=1，S △ABC= 3 ，

則S △ADC= 1 2 AD·DC sin ?∠ADC= 1 2 ×1× 1 2 a× ?3 ?2 = ?3 ?8 a= 1 2 S △ABC= ?3 ?2 ，解得a=4，

在△ABD中，∠ADB= 2 π ?3 ，由余弦定理可得c2=AD2+BD2-2AD·BD cos ?∠ADB=1+4-2×1×2× - 1 2 ?=7，解得c= 7 ，

利用余弦定理有 cos ?B= AB2+BD2-AD2 2AB×BD = 7+4-1 2× 7 ×2 = 5 7 ?14 ，

由同角三角函數關系，得 sin ?B= 1- cos 2 B = ?21 ?14 ，所以 tan ?B= ?sin ?B ?cos ?B = ?3 ?5 .

解后反思： ?根據題設條件，結合三角形的面積公式以及中點性質等，求解相應的邊長是關鍵.而在邊a求得的基礎上，可通過平面幾何數形結合，也可通過解三角形與三角函數的代數關系進行代數運算，以在一定程度上引導學生深入思考培養數學思維為目標，對于教學與學習都有一定的幫助.

（2） ??方法1 ?（解三角形法）

在△ABD與△ADC中，

由余弦定理可得

c2= 1 4 a2+1-2× 1 2 a×1× cos ?（ π -∠ADC），

b2= 1 4 a2+1-2× 1 2 a×1× cos ?∠ADC，

整理，得 1 2 a2+2=b2+c2，而b2+c2=8，解得a=2 3 ，

因為S △ABC= 3 ，則S △ADC= 1 2 AD·DC sin ?∠ADC = 1 2 ×1× 3 × sin ?∠ADC= 1 2 S △ABC= ?3 ?2 ，

解得 sin ?∠ADC=1，又0＜∠ADC＜ π ，所以∠ADC= ?π ?2 ，

由D為BC的中點，得△ABC為等腰三角形，利用等腰三角形的性質知b=c=2 2 .

解后反思： ?根據三角形的圖形特征，結合余弦定理建立相應的方程，并通過三角形面積公式的應用來深入，探求對應角的數值，這是破解問題的關鍵點所在.借助直角的特征，以及中點的性質，回歸到等腰三角形中去，利用等腰三角形的性質來分析與求解.由代數思維的數學運算推導出圖形的結構特征，由“數”轉“形”.

方法2 ?（平面向量法）

在△ABC中，D為BC的中點，則2AD =AB +AC ，

又CB =AB -AC ，

則4AD 2+CB 2=（AB +AC ）2+（AB -AC ）2=2AB 2+2AC 2=2（b2+c2）=16，

即4×12+a2=16，解得a=2 3 ，

后續同方法1，可得b=c=2 2 .

方法3 ?（平面向量+三角函數法）

在△ABC中，D為BC的中點，則2AD =AB +AC ，

又4AD 2=（AB +AC ）2=AB 2+AC 2+2AB ·AC ，即4×12=b2+c2+2bc cos ?A，

又b2+c2=8，解bc cos ?A=-2，

因為S △ABC= 1 2 bc sin ?A= 3 ，所以bc sin ?A=2 3 ，

以上兩式相除，整理，得 tan ?A=- 3 ，又0＜A＜ π ，即A= 2 π ?3 ，

因為bc sin ?A=2 3 ，所以bc=4，又b2+c2=8，解得b=c=2 2 .

解后反思： ?根據三角形中的中點巧妙引入平面向量的線性關系，回歸解三角形的知識本源，借助平面向量的線性運算、數量積等來轉化與應用，同時結合三角形的面積公式構建對應的關系式加以綜合.將解三角形問題回歸到平面向量中去，利用平面向量的基礎知識來分析與應用，是解決此類問題中比較常用的一種技巧方法.

方法4 ?（平面幾何法）

在△ABC中，D為BC的中點，

由中線長公式，得4AD2+BC2=2（AB2+AC2），即4+a2=2（c2+b2），

由b2+c2=8，解得a=2 3 ，

如圖所示，過點A作AH⊥BC交BC于點H，又S △ABC= 1 2 a·AH= 3 ，解得AH=1，

因為AD=1，所以點H與點D重合，利用等腰三角形的性質知b=c=2 2 .

解后反思： ?回歸平面幾何圖形與幾何性質，通過數形直觀或性質應用來解決一些相應的解三角形問題，有時可使得問題的解決更加簡單快捷，也是一種不錯的思維方式.

4 教學啟示

4.1 拓展思維視角

4.1.1 代數思維

“數”的視角解決解三角形問題，就是其中的代數思維，或借助解三角形中的定理、公式等構建邊與角的關系式，或借助坐標運算、向量運算、解析幾何運算等來處理并解決解三角形問題.

在此過程中，往往離不開函數與方程、三角函數、不等式、平面解析幾何等相關知識與代數思維的綜合與應用.

4.1.2 幾何思維

“形”的視角解決解三角形問題，就是其中的幾何思維，或借助平面幾何圖形的直觀來分析處理問題，或借助平面向量的數形綜合來轉化與應用等，都可以從“形”的層面來解決解三角形問題.

在此過程中，往往離不開平面向量、三角函數、平面解析幾何等相關知識與幾何思維的綜合與應用.

4.2 培養思維能力

在平時數學教學與復習備考時，不能片面注重數學“刷題”，只注重數量，往往事倍功半；做題要注重質量，要少而精.

而要做到少而精的做題，就需要典型性的問題，以及對問題的深入研究，借助典型問題，開展“一題多解”，“串聯”起不同的知識點，構建相應的數學知識網絡，同時進一步加以拓展，實現“一題多得”的效果，優化解題效益，從而更加有效促進學生的“四基”，全面提升數學能力，發展并開拓學生的數學思維，舉一反三，有效進行“促雙減”的深化與改革.

參考文獻：

［1］ 單墫.解題研究［M］.上海：上海教育出版社，2013.

［2］ 于道洋，寧連華.試論墨家的理性精神及其對數學教育的啟示［J］.數學教育學報，2021，30（5）：87 91.