重構單元框架 深化整體教學
——以《多邊形面積》單元整體教學為例

文| 丁 偉

一、研究起源

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》首次提出并強調對數學內容進行結構化整合以解決碎片化學習問題。數學內容整合的內在邏輯是什么？具體該怎么整合？整合之后的教學路徑又是怎樣的？基于對這些問題的思考，本文以《多邊形面積》單元為研究載體，通過對學科邏輯和學生學情的深度思考，整體重構單元框架，系統實施教學路徑，促進度量思想的立體建構，優化面積度量的結構化教學策略，力圖讓學生在多邊形面積度量這一領域形成結構化思維。

二、追本溯源——整體重構單元框架

人教版五年級上冊第六單元《多邊形面積》的編排順序依次是：平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積、組合圖形面積、不規則圖形面積。在此之前學生已經學過長方形面積，在長方形中，長表示每行面積單位的個數，寬表示有這樣的幾行，因此可以得到長方形面積＝長×寬。長方形的面積是基礎，體現出度量思想最本源的意義，其他圖形的面積公式都是轉化成長方形進行推導的。

面對平行四邊形時，不能像長方形那樣直接確定度量單位的個數，而是需要將不完整的面積單位轉化成完整的面積單位，本質上也是確定面積單位的個數。利用方格紙作為度量工具，為思維發展提供有效支撐，形成由零碎歸整到整體再歸整到抽象的轉化過程。

而到了三角形和梯形時，教材完全脫離了方格紙，三角形面積、梯形面積是通過割補法、倍積變換，通過計算轉化后圖形的面積推導原圖形的面積公式。

基于這三種圖形面積學習路徑的相似性，將這三種圖形面積教學有效整合，用度量的思想建構新知，無疑會大大增加整體認知。

對單元內容進行整合如下表：

整合前 課時 整合后 課時 類型平行四邊形面積 2 用平移解決問題 1 教結構三角形面積 2平行四邊形面積三角形面積梯形面積1 用結構梯形面積 2 面積公式的應用與練習 2 用結構組合圖形面積 1 組合圖形面積 1 用結構不規則圖形面積 1 不規則圖形面積 1 拓展結構

單元重構的思路：以度量思想為主線貫穿，以方格紙為度量工具，在運用轉化方法的過程中理解知識本質，不斷深化度量思想，理法相容、螺旋上升。

三、基于結構系統實施——立體建構度量思想

（一）教結構——助力度量思想萌芽

【教學片斷】

1.任務驅動

你有辦法知道下面這個圖形的面積嗎？

2.交流反饋

3.對比質疑

（1）第三種方法轉化成什么圖形？怎樣轉化的？

（2）轉化前后兩個圖形面積大小變了嗎？周長有沒有變呢？

（3）為什么轉化前后兩個圖形面積大小不變而周長卻變了呢？

從本質上講，平面圖形面積的度量是通過轉化實現的，而“轉化”是因為二維空間度量中出現的問題，也就是被測圖形與度量單位不能吻合，轉化的目的是為了更好地度量，所以歸根結底是度量思想的孕育與落實，而轉化是實現度量思想的一種具體策略與方法。因此，本單元的起始課筆者將四年級下冊用平移解決問題遷移至本單元設計了上述教學路徑：本節課定位于教結構——將學生置于具體的操作活動中感悟轉化策略的價值，著力滲透度量思想。上述三種反饋具有典型性和代表性，第一幅圖是面積度量最本源的意義，反饋層次的遞進實質上也是度量方法不斷優化的過程，其中蘊含著度量的三要素：度量對象（不規則圖形）、度量途徑（平移）、度量目標（長方形），度量思想在學生具體的操作中無形滲透，度量意識在學生心中萌芽。

（二）用結構——助力度量思想生長

【教學片斷】

1.自主探究

你有什么辦法知道下面圖形的面積嗎？

2.交流反饋

（1）數方格度量

（2）等積變換度量

（3）翻倍度量

3.厘清內涵

師：不管度量的方式是數方格還是等積變換或者翻倍度量，你發現相同的地方是什么？

生：都是在計算度量單位的個數。

師：這些方法分別怎樣計算度量單位的個數？

在學習了平移解決問題后，學生進一步明確度量的本質是計算面積單位的個數，其中方格紙發揮了將圖形分割后不完整的面積單位轉化為完整面積單位的作用。教材的編排不僅一個圖形一課時，而且在編排三角形和梯形面積時舍棄了方格紙，目的是培養學生的空間觀念，而實際教學卻出現學生轉化方法單一，思維被整齊劃一地切割。基于學生前面學習了平移解決問題，以方格紙為工具，可以將三節課整合教學以更高效地構建學生的認知結構。通過課堂實踐反映出來的學生作品表明，研究三角形會主動與長方形、平行四邊形建立聯系，研究梯形會主動與三角形、平行四邊形、長方形建立聯系。在這些圖形轉化后，引導學生再次意識到三種不同圖形轉化都是還原完整的面積單位，為了方便計算面積單位的個數。整個研究過程，學生借助方格紙將三角形、梯形轉化成其他圖形，這樣結構化的整體性教學，將學生置于更大的認知背景下深入感悟度量價值，培養度量思想。

（三）拓展結構——助力度量思想發散

面對規則圖形，學生找到了使用方格紙的巧妙方法，而不規則圖形的面積只能估算出它的面積，估算最重要的是為估算的事物找到一個合適的測量標準，然后利用這個測量標準進行估計。而學生在面對不規則圖形面積時，具體表現出兩種度量形式：一是借助方格紙直接數；二是創設更小的度量單位。學生在研究中體會不同面積單位的產生源于測量不同大小圖形面積的實際需要，度量單位之所以發生變化，是因為度量對象的變化。進一步梳通知識內在結構，度量時間、重量、長度、面積，之所以度量單位不同，就是因為度量對象的變化，不僅讓知識更好地融會貫通，度量思想也通過具體的知識建構得到進一步發散，后續的度量教學才能順利得以發展高階思維。

四、深化結構教學——知識系統化走向思維結構化

通過結構化教學，幫助學生建立清晰的知識結構及獲得知識的方法結構，發展具有系統性、本質性、遷移性的思維，最終實現由知識系統化走向思維結構化。

（一）知識系統化——結構化教學內容載體

數學知識具有很強的內在邏輯，是有整體、系統、結構性的。教材的分冊編寫和教學的分課時推進在一定程度上讓整體性變得“斷裂”和“隱蔽”，導致學生的理解“散點化”與“割裂化”。因此，在教學中需要幫助學生梳理知識體系，揭示內在的邏輯與關聯，真正建立整體性的概念體系。

面積度量領域教材的編排是按照邏輯結構，在學生認識面積概念后學習長、正方形面積，然后依次是平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積、圓的面積。但僅僅看到這樣線性單向的邏輯結構是不夠的，而需要從更為廣泛的角度解釋概念之間的相互聯系，在多向的視角下形成網狀的知識結構，從而真正建立起整體性的概念體系。

（二）教學結構化——結構化思維建構路徑

1.整體呈現——培養系統性思維

整體性呈現問題，將問題置于比較情境之中，學生對數學問題主動辨析、比較，體會知識之間的聯系，從而將相關知識點能動地納入原有的認知結構中。但整體性呈現問題時，需要教師從知識整體上把握各個知識點，熟悉知識點的源與流。如在學習長、正方形面積后，我們需要將面積計算與周長計算整體性呈現問題：（1）為什么兩個長度相乘，會得出面積？（2）通過計算長方形的面積與周長，你發現了什么？第一個問題看上去是由一維的長度跨越到二維的面積，而實際上是對度量本質的叩問，明白面積并不是兩個長度相乘，而是度量單位個數的累加。有了這樣的認識后，將周長與面積進行全面對比，引導學生認識到不管周長的度量還是面積的度量，其實質是度量單位個數的累加，而乘法計算只是對算法的優化。雖然度量的對象由長度過渡到面積，但度量的本質是一脈相承的，有助于學生形成整體性思維。

2.追本求源——深化本質性思維

數學結構化教學不僅要遵循數學知識本身的邏輯，而且要順應學生的認知規律，引導學生對知識點追本溯源，對知識點之間的關系有本質性的理解，對知識點的動態發生、發展、融合有所領悟。例如在教學平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積后,可以將這些面積的度量與長方形面積度量建立聯系，通過追問長方形、平行四邊形、三角形、梯形面積計算公式是怎么計數面積單位的？引導學生明白長方形的度量是體現度量的本源意義，而其他這些圖形都是通過轉化策略進行度量，雖然轉化的方式方法不盡相同，但是轉化的目的都是將不完整的面積單位進行歸整的過程，歸根究底多邊形面積度量體現的是度量思想，轉化是實現度量思想的具體策略與方法，只有理清了知識的本源，才能真正幫助學生形成本質性思維。

3.類比推理——發展遷移性思維

結構化不僅表現在對數學知識本質的理解，而且體現在能夠主動運用類比的方法進行邏輯推理，即需要具有遷移性思維。就“度量領域”的教學中，長度單位是學生最早接觸的，也是最基本的，具有種子特質，而其他的度量（重量、時間、角度、面積、體積）的內在原理與長度是一致的，都是滿足度量的兩個基本屬性：“度”——度量單位，“量”——度量單位的個數。這是從計量的角度思考的，那么計數與計量在本質上是否一脈相承，助力學生遷移性思維的發展呢？在數領域教學中，整數、小數、分數三種數可以通過計數單位的聯結，使小數、分數概念納入到原有整數認知體系。雖然計數與計量的對象不同，但是本質上都是用計量標準去度量出結果，所以計數與計量在本源上是一脈相承的，從而將計數與計量納入到度量這個大觀念，形成一個更完整的知識結構全景圖，助力學生遷移性思維的發展。

結構化教學要求教師基于整體、系統、全局的視野將相關知識串起來，努力突破課時、單元、年級的邏輯束縛，將每堂課的知識置于整體知識的體系中，通過結構化的長程設計：教結構—孕育思想、用結構—發展思維、拓展結構—發散思維。只有這樣對結構化教學內容的深度解讀與處理，才能實現結構化教學的價值追求，真正將結構化思維的培養落到實處，最終由知識系統化向思維結構化邁進。