立足新課標要求 驅動課堂教學創新
——以《用字母表示數》教學為例

文| 潘小福（特級教師） 蔣敏杰

“用字母表示數”是后繼學習方程的重要基礎。學生學會用字母或含有字母的式子表示數量之間的關系、性質和規律，需要突破原有思維慣性，因此，“用字母表示數”一直以來都是教學的難點，也是教師教學研究的熱點。

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）從知識教學的整體性、一致性出發，強化了“用字母表示數”的教學，并將“方程”移入第四學段，這對教學“用字母表示數”提出了新的研究視角。那么，如何立足新課標要求，驅動“用字母表示數”的創新教學呢？常州市的芮金芳老師與楊曄老師都依據新課標中“內容要求”“學業要求”與“教學提示”的要求，合理設計與編排學習活動，幫助學生經歷經驗的“再加工”，進而實現認識提升，但她們在情境創設、探究引領、交流互動、鞏固應用方面，有著各自的特點和風格，形成了可借鑒的案例。

一、創設豐富情境，幫助學生感悟“用字母表示數”的一般性

從用字母表示已知的數到用字母表示未知的數，再到理解用含有字母的式子表示數量關系，是認識上的飛躍，需要豐富的認知經驗，特別是要讓學生感悟“用字母表示數”的一般性，是學生認識的一個難點，需要讓學生通過真實的問題情境去體悟。

1.以問題情境激活探究需求

芮老師和楊老師都非常關注創設問題情境，立足學生原有認知起點，激活問題思考：首先基于生活經驗，知道字母可以表示特定的數；其次借助運算律學習的經驗，體會字母可以表示不確定的數；然后啟發學生從“是什么、為什么、怎么做”的角度提出新問題、新思考，明確學習目標，從真實需求出發，學生也自然進入了真實的情境問題。芮老師在課始安排了遞進式的鋪墊環節，從學生熟悉的撲克牌引入字母的“含義”，再到回顧運算律中字母表示數的特點，最后啟發學生提出學習問題，明確學習需求，一系列環節設計上，讓學生體會在生活、數學中用數、符號、字母表示的普遍性。楊老師將思考巧妙地安排在與學生的對話過程中，提出“無法確定的數，在數學上如何表示？”的問題，引導學生與原有經驗聯系，體會字母表達的應用，再引入韋達的研究，使學生知道從文字敘述到符號、字母表達的過程，感受到用字母表示數的力量。

2.以問題解決感悟一般性

感受用字母表達的一般性，需要融合各類情境、問題，讓學生在不同背景的分析及問題解決中從代數視角看問題，把握規律，逐步體會用字母表示數及數量關系的一般化。芮老師借“擺小三角形，探索三角形個數與小棒根數的關系”“喝牛奶，研究總量與分量的聯系”“圍正方形，求周長、面積”三個問題情境，讓學生在解決問題中認識到字母不僅可以表示簡潔的結果，還可以表示兩個變量的關系，在變與不變中感悟用字母表達的一般性。其后通過不同問題情境下對“5a”含義的解讀，理解其表示的相同數量關系，體會“字母表示數”還能表示不同情境中共同的本質聯系。楊老師設計的“年齡問題”“擺三角形問題”，集中指向學生思維的表達，通過如何簡潔表達“哥哥和妹妹年齡的關系”“三角形的個數和小棒的根數之間的關系”，幫助學生在真實情境與抽象形式之間建立聯結，使學生認識用字母比用文字更簡潔、概括。

兩位教師都激活了學生的原有經驗，在實際情境中認識到用字母或含有字母的式子可以表達常見數量關系及其變形，還可以表達圖形的周長和面積計算公式等，感悟字母符號在數學表達上的一般性。

二、消解認知困境，幫助學生理解含有字母的式子可以表達關系、規律

“用字母表示數”的目標定位是什么？有些教師定位在“能表示特定的未知數”，為此教學中進行大量練習以達成目標。教學實踐告訴我們，學生的思維困難不僅在于此，學生依據經驗，能理解喝掉的可以用 “x 毫升” 表示，但剩下的用250-x 表示，部分學生卻難以接受與理解。產生問題的根源在于學生之前面對的都是在確定的數量關系中得出確定的結果，而當出現用含有字母的式子表示數量時，受算術思維的影響，從而造成對字母表示數的理解片面化。教學就需要在此下功夫，以更好地幫助學生突破原有思維，理解知識。

1.設計能引發學生思考的學習活動

教師教學要善于設計貼合學生思維的學習活動，引發認知沖突，通過具有挑戰性的問題，促進學生積極思考，經歷數學觀察、思考、表達、概括與分析等學習過程，認識數學的表達方式。兩位教師均設計了三個基本學習活動。芮老師“用自己的方式表示喬治喝掉的牛奶和剩下的牛奶之間的關系” 就是一個具有挑戰性的學習活動。教師在教學中緊扣住了兩個關鍵：一是通過對“剩下b 毫升”與“剩下250-x 毫升”的對比，使學生認識到用字母式能表示兩個有聯系的數量間關系；二是含有字母的式子可以表示一種結果，是一個數，當喝掉的牛奶x 確定，剩下的牛奶250-x 的量也就確定了，同時結合具體情境，表示不確定的數（變量）也存在一定范圍。楊老師以“表示哥哥的年齡”設計探究活動，通過“能用一個式子表示出所有的情況嗎”為核心問題，啟發學生用自己的方式嘗試概括表達，經歷初步抽象概括過程。通過對話交流清晰數量關系中的不變情況，使學生體會到用字母思考和表達是數學概括的重要形式，具有更高水平的一般性。

2.促進學生思維的多元表征

新課標指出：在用數與符號表達和分析現實世界中的數量關系時，要讓“學生經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程。”教學中就需要充分理解并給予學生思維的呈現方式及結果，并借以此為資源，指導學生比較與分析，逐層深入以達成基于數量關系理解之上的、對字母表示的一般性的感悟。兩位教師在設計中都注重了學生思維多樣表征的辨析。芮老師在引導學生自主探究“怎樣表示三角形個數和小棒根數之間的關系？”的問題后，呈現五種不同的學生思維結果，其中“作品3”和“作品5”的本質是一樣的，都是從數量關系中抽取出共同特征進行總結，體現簡潔性與概括性。楊老師在指導學生分析哥哥與妹妹年齡關系時也是如此，抓住數量關系，從具體數量向符號表達的轉變中，通過比較、說理，幫助學生打破原有思維，初步感悟代數思維。從數量關系的視角理解和把握核心內容，設計并捕捉學生多樣表征，讓思維可見，推動深度學習正是教師教學專業化的體現。

三、強化關系思維，幫助學生確立代數思維

《用字母表示數》一課，除了讓學生理解并會用字母或含有字母的式子表示簡單的數和數量關系外，還要讓學生探索經歷常見數量關系的抽象概括過程，體會一般化的表達，發展代數思維。教學中，需要通過具體學習任務，幫助學生分析事物的關系、性質和規律，以更好地感悟內涵。芮老師巧妙設計了“喝牛奶”情境，共250 毫升牛奶，喝掉的不確定，那么如何表示剩下的就需要學生把握數量關系，理清總量與分量，并引導學生在交流互動中發現變量之間的聯系，進而知道在同一問題中不同的變量可用不同字母表示，也可以依據聯系，用一個字母概括表示關系。楊老師通過比較用不同字母表示不同事物，并抓住哥哥、妹妹的年齡關系，幫助學生理清字母所概括表示的關系結構。“如果妹妹的年齡用a 表示，那哥哥的年齡就可以根據妹妹的年齡，用a＋4 表示；如果哥哥的年齡用b 表示，那妹妹的年齡就可以用b－4 表示”，通過對比讓學生意識到字母表示的量不同，那含有字母的式子表示的量也不同，但蘊含的數量關系是不變的。

可見，認識其概括性、簡潔性，需要引導學生發現從具體到抽象、由確定到變化的過程，要注重關系的發現及應用，讓學生初步感受到“代數思維”的方式，由此自然生長。兩個設計在解決“字母表示變量”時，都提了同一問題：“這里的3為什么不能用字母表示呢？”其目的就在于幫助學生理清對“用字母表示”的情境判斷，明確字母是對數量及數量關系的抽象，這也是算術思維邁入代數思維的關鍵一步。

四、螺旋遞進練習，幫助學生掌握含有字母式子的簡寫方法

學生掌握含有字母式子的簡寫方法也是需要達成的目標。以往的教學主要是通過教師講解或學生自學課本的方式，教給學生簡寫的規則，并能應用規則準確簡寫。這樣教學，雖也能完成基本目標，但弱化了學生體會用字母表示數的簡潔性，沒能很好發展學生的符號意識、推理意識。芮老師和楊老師都關注到“練習”對知識理解的作用，通過螺旋遞進的方式，幫助學生掌握方法，提升字母表示的一般性認識。芮老師首先要求學生用字母表示正方形周長、面積的計算公式，在應用反饋中溝通原有認識經驗，明確用字母表示公式更簡潔；其次安排自主學習簡寫規則，并應用規則解決計算公式、數量關系的簡寫；最后，要求學生應用規則再次整理運算律，一方面內化用字母表示關系和規律的方法，另一方面豐富學生的認知應用情境，引導學生認識到用字母可以表達數量關系、性質和規律，感受其一般性。楊老師安排了三個層次的教學環節，即在應用中體現簡寫的作用，并學習規則；借助正方形、長方形等周長、面積計算公式完善規則應用；用含有字母的式子表示運算律。兩位教師都將規則新授與練習應用融為一體，通過新舊知識聯系拓展思維，感悟出用字母表示數的內涵與價值，從而提升用字母表達具有一般性的認識。

在《用字母表示數》一課的教學中，兩位教師在素材選擇上都化繁為簡，通過核心問題引導學生思考，讓思維在比較分析中得以豐富與深刻，認識也隨著場景應用及理解的深入拾級而上。她們立足新課標要求，對教學進行了創新實踐，取得了較好的教學效果。但是，立足新課標，“用字母表示數”的教學研究遠不止于此，比如立足整體性、階段性，第三學段的“用字母表示數”與第四學段的”用字母表示數”教學如何體現區別與聯系；如何基于代數思維發展促進學生符號意識的發展等，都是后續仍需關注的問題，正符合教學研究是一個長期規劃、不斷累進的過程。依“標”研究，洞察問題，破解難題正是新課標學習與實踐的重要舉措。