整體把握明思路 系統(tǒng)整合提效率
——以“常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系”板塊為例

文| 魏軍君

單元整體設(shè)計(jì)是提高課堂教學(xué)效率的重要方法。眾所周知，小學(xué)數(shù)學(xué)教材由一個(gè)個(gè)相對(duì)獨(dú)立的單元構(gòu)成，同一單元中的新知又是按照一定的邏輯順序編寫(xiě)的。因此，教學(xué)中應(yīng)從單元整體設(shè)計(jì)的視角來(lái)審視單元內(nèi)的課時(shí)教學(xué)內(nèi)容，并通過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整與重組來(lái)更好地構(gòu)建起基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律與數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯的單元教學(xué)體系，從而促進(jìn)教學(xué)效率的提升。

一、單元結(jié)構(gòu)介紹與重組

《三位數(shù)乘兩位數(shù)》是在兩位數(shù)乘兩位數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，主要內(nèi)容包括：三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算、積的變化規(guī)律、常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系。

第一個(gè)板塊是例1、例2，即“三位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算乘法，兩個(gè)例題按一般到特殊的形式編排，即例2一般是在例1“三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算”的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)因數(shù)末尾有0 或第一個(gè)因數(shù)中間有0 的兩種特殊的乘法筆算；第二個(gè)板塊是例3，即積的變化規(guī)律，通過(guò)計(jì)算有聯(lián)系的乘法題組，觀察、分析、概括出規(guī)律；第三個(gè)板塊是例4、例5，即乘法中兩個(gè)常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)舉例，概括得出更為一般的數(shù)量關(guān)系。

原編排序列與課時(shí)安排

對(duì)于教材的編排，在實(shí)際教學(xué)中我們有以下幾點(diǎn)思考：

1.這個(gè)單元是整數(shù)乘法的最后一個(gè)單元，要凸顯總結(jié)整數(shù)乘法筆算與估算的一般方法，例1 筆算和估算需要進(jìn)一步加強(qiáng)。

2.例2，160×30 簡(jiǎn)算的依據(jù)是例3 積的變化規(guī)律，而例3 被安排在例2 后面教學(xué)，算理依據(jù)滯后；建議例3 前移至例2 之前教學(xué)，更有利于例2 算理的總結(jié)與理解。

3.整個(gè)小學(xué)階段，對(duì)于“工作效率×工作時(shí)間=工作總量”沒(méi)有安排例題教學(xué)，但在實(shí)際應(yīng)用中卻很普遍，需要補(bǔ)充教學(xué)；而且“速度×?xí)r間=路程”這組數(shù)量關(guān)系安排單薄，需要進(jìn)一步加強(qiáng)。

通過(guò)單元內(nèi)部結(jié)構(gòu)的重組，增強(qiáng)板塊間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)單元的結(jié)構(gòu)性與邏輯性。

調(diào)整后的序列及課時(shí)安排：

三位數(shù)乘兩位數(shù)課時(shí)順序 內(nèi)容 課時(shí)數(shù)一積的變化規(guī)律與簡(jiǎn)算（例3 例2）1二三位數(shù)乘兩數(shù)筆算與估算（例1）1練習(xí) 1三速度時(shí)間路程（例5）1四工作效率工作時(shí)間工作總量（補(bǔ)充）1五單價(jià)數(shù)量總價(jià)與三組數(shù)量關(guān)系梳理（例4+練習(xí)）1合計(jì) 6

調(diào)整后的單元序列是：積的變化規(guī)律→三位數(shù)乘兩位數(shù)→常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系。總課時(shí)沒(méi)變，例3 和例2整合為一節(jié)課，增加了工作效率一節(jié)課，把速度提到數(shù)量關(guān)系板塊的第一節(jié)課。通過(guò)單元板塊間邏輯關(guān)系的辨析，力爭(zhēng)使各個(gè)板塊之間的邏輯關(guān)系更加密切，讓原來(lái)相互獨(dú)立的板塊，通過(guò)合理調(diào)整，成為更有邏輯關(guān)系的單元學(xué)習(xí)序列。

二、學(xué)情實(shí)證，審視學(xué)生立場(chǎng)

1.常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系板塊介紹與重組

在日常生活中，“單價(jià)”“速度”“工作效率”的數(shù)量關(guān)系都很常見(jiàn)，但是教材里沒(méi)有工作效率的教學(xué)內(nèi)容，這里增加工作效率的教學(xué)很有必要，也為高段的工程問(wèn)題進(jìn)行鋪墊。

速度×?xí)r間=路程這組數(shù)量關(guān)系需要進(jìn)一步加強(qiáng)。速度這節(jié)課在此板塊中是核心概念，學(xué)生理解了速度的含義，對(duì)于后面學(xué)習(xí)單價(jià)和工作效率具有指導(dǎo)意義，所以速度這節(jié)課放在了這一板塊的第一課。第二課時(shí)的工作效率，可以看成有關(guān)“速度”的數(shù)量關(guān)系的變式，在學(xué)生學(xué)習(xí)了有關(guān)“速度”的數(shù)量關(guān)系后，添加有關(guān)“工作效率”的關(guān)系式來(lái)解決問(wèn)題，讓學(xué)生在比較中總結(jié)出有關(guān)“工作效率”的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)知識(shí)的遷移，幫助學(xué)生建立工作效率的數(shù)學(xué)模型。

脫離了速度來(lái)研究工作效率是不完整的。速度和工作效率含義相近，學(xué)了速度，學(xué)生可以遷移到工作效率。我們對(duì)速度和工作效率分別進(jìn)行了前測(cè)，看看學(xué)生對(duì)于它們了解多少，以便準(zhǔn)確定位，同時(shí)指導(dǎo)工作效率這節(jié)課的教學(xué)。

2.前測(cè)分析與啟示

對(duì)四年級(jí)2 個(gè)班82 名學(xué)生進(jìn)行前測(cè)。

●第一題：關(guān)于速度，你聽(tīng)說(shuō)過(guò)嗎？

調(diào)查統(tǒng)計(jì)如下：

知道的有43.9%，有點(diǎn)知道的有45.1%，聽(tīng)說(shuō)過(guò)的有4.9%，不知道的有6.1%。

一共有93.9%的同學(xué)認(rèn)為知道速度，占了絕大部分。速度這個(gè)詞在生活中運(yùn)用得非常廣泛，學(xué)生很熟悉，家長(zhǎng)可能每天都說(shuō)做作業(yè)速度要快一點(diǎn)，生活中經(jīng)常比賽看誰(shuí)的速度最快等等。

關(guān)于工作效率，你聽(tīng)說(shuō)過(guò)嗎？調(diào)查統(tǒng)計(jì)如下：

知道的有26.3%，有點(diǎn)知道的有34.2%，聽(tīng)說(shuō)過(guò)的有18.4%，不知道的有21%。

一共有79%的同學(xué)認(rèn)為知道工作效率。雖然工作效率在生活中也在用，但是沒(méi)有速度那么廣泛，而且這個(gè)概念明顯比速度更抽象。還是有大部分學(xué)生自認(rèn)為了解工作效率。那么學(xué)生對(duì)這兩個(gè)量的表述水平怎樣？于是有了第二題。

●第二題：想一想什么是速度？把你的想法寫(xiě)下來(lái)。

調(diào)查統(tǒng)計(jì)如下：

我們把調(diào)查結(jié)果分成4 個(gè)水平：

水平0：表述錯(cuò)誤，占7.3%。對(duì)速度的理解是不準(zhǔn)確的。

水平1：速度就是時(shí)間占14.6%。生活中往往做一件事情比賽誰(shuí)做得快，用時(shí)最少就是最快，所以造成的錯(cuò)覺(jué)就是時(shí)間就是速度。

水平2：速度表示快慢占74.4%。這一水平是最多的，做事情的快慢就是速度。其中有43.9%的學(xué)生認(rèn)為快就是速度。

水平3：表述中有路程和時(shí)間兩個(gè)量，占3.7%。

看來(lái)學(xué)生自認(rèn)為了解的速度但并沒(méi)有理解速度的真正含義，與自我感覺(jué)相差較大。

教學(xué)啟示：學(xué)生對(duì)速度的感知。

（1）學(xué)生感知到速度表示運(yùn)動(dòng)的快慢。

（2）學(xué)生對(duì)快慢的理解更多停留在時(shí)間上。（時(shí)間少就是快，時(shí)間多就是慢）

教學(xué)要思考的重點(diǎn)：

如何讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)量（速度）的產(chǎn)生過(guò)程，從而知道它的意義以及所適用的范圍，最終抽象出數(shù)量關(guān)系。

在教學(xué)完速度之后進(jìn)行了工作效率的前測(cè)：

想一想什么是工作效率？把你的想法寫(xiě)下來(lái)。調(diào)查統(tǒng)計(jì)如下：

工作效率相對(duì)比較陌生，很多學(xué)生不知道如何表達(dá)，有85%的學(xué)生表述不清楚，有15%的學(xué)生表述相對(duì)準(zhǔn)確。

教學(xué)啟示：工作效率比速度更抽象，更難表述，但從前測(cè)來(lái)看，準(zhǔn)確表述速度的有3.7%，準(zhǔn)確表述工作效率的有15%，相比有了提高，我想這可能是速度的教學(xué)對(duì)工作效率概念的理解有幫助，遷移到對(duì)工作效率的理解。

●第三題：請(qǐng)完成下面各題。

這節(jié)課的核心環(huán)節(jié)就是出示的6 道題目，我們對(duì)這6 道題進(jìn)行了前測(cè)，想了解學(xué)生對(duì)題目中數(shù)量關(guān)系的理解程度。統(tǒng)計(jì)如下：

準(zhǔn)確率如下：

（1）第一題81.6%，第二題94.7%，第三題86.8%，第四題81.6%，第五題97.4%，第六題94.7%。

（2）請(qǐng)把6 道題目分類(lèi)，說(shuō)一說(shuō)分類(lèi)的理由。

分析：有21%的學(xué)生按照數(shù)量關(guān)系來(lái)分類(lèi)，能發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)而歸類(lèi)，只是在表述的時(shí)候把求一份的工作量也就是求工作效率說(shuō)成是求速度或者平均數(shù)，在學(xué)習(xí)工作效率之前，速度可能就代表了工作效率的本質(zhì)。

那么在其他分類(lèi)中出現(xiàn)的情況又是怎樣？有63.3%的學(xué)生是按照除法和乘法的情況來(lái)分，占了大部分，還有些學(xué)生是按照問(wèn)題分類(lèi)。

教學(xué)啟示：本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生從具體教學(xué)情境中認(rèn)識(shí)、探索工作效率、工作時(shí)間和工作量三者間的數(shù)量關(guān)系。通過(guò)學(xué)生獨(dú)立思考與同桌互助學(xué)習(xí)的機(jī)制，運(yùn)用分類(lèi)、歸納的策略，讓學(xué)生體驗(yàn)從具象表述到抽象建模的過(guò)程。

三、教學(xué)啟示與思考

由跑得多快到做得多快，由速度轉(zhuǎn)向工作效率，兩個(gè)量的實(shí)質(zhì)是一樣的，學(xué)生經(jīng)歷了速度的產(chǎn)生過(guò)程，自然而然由速度遷移到工作效率，所以速度這節(jié)課對(duì)于工作效率有點(diǎn)種子課的感覺(jué)。鑒于以上調(diào)查，給了我們以下啟示與思考：

1.這節(jié)課的思考

構(gòu)建生活具體問(wèn)題抽象出工作效率的數(shù)學(xué)模型，并將數(shù)學(xué)模型用于現(xiàn)實(shí)中的簡(jiǎn)單問(wèn)題中去。通過(guò)不同情境的問(wèn)題解決豐富工作效率的內(nèi)涵，讓學(xué)生從問(wèn)題解決中建立工作效率、工作時(shí)間、工作總量的數(shù)學(xué)模型。模型思想作為一種數(shù)學(xué)思想，要真正使學(xué)生有所感悟，需要經(jīng)歷一個(gè)過(guò)程：讓學(xué)生建構(gòu)后去運(yùn)用模型經(jīng)歷問(wèn)題解決，在此過(guò)程中完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、感悟解決問(wèn)題的策略，深化認(rèn)識(shí)。

2.單元序列的思考

本單元三個(gè)板塊相對(duì)獨(dú)立。常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系這一板塊能否上移到第二板塊，三位數(shù)乘兩位數(shù)的板塊放在最后。因?yàn)槔? 是關(guān)于速度的解決問(wèn)題，如果在學(xué)了速度之后教學(xué)，可以用“（火車(chē)的）速度×?xí)r間＝（到北京的）路程”來(lái)概括，前后知識(shí)的邏輯關(guān)系就更加緊密了。