在解決問題的過程中生成數(shù)學概念
——《倍的認識》教學實踐與反思

文| 陳 敏 王雪晴

【教學背景】

“倍”是小學數(shù)學中的一個重要概念。通常的處理是在規(guī)定“把A 看成1 份”的基礎上，引導學生理解“B 有這樣的幾份，B 就是A的幾倍”（如圖1）。這樣雖然把“倍”的意思說得清晰、利落，但為什么要把A 看成1 份，又為什么按這樣1 份1 份去度量B，亦即，為什么要對A、B 做乘法性的比較缺少緣由。

圖1 人教版《數(shù)學》三年級上冊第50 頁

圖2

圖3

圖4

實際上，對兩個數(shù)量是進行加法性比較還是進行乘法性比較“既不是假設的，也不是規(guī)定的，而是根據(jù)個人想要知道什么、需要解決什么來建構的”，即，這是一種“刻意的關系”。若創(chuàng)設問題情境，引導學生經(jīng)歷刻意的關系的建構和交流過程，將有益于增進學生的模型意識，發(fā)展他們的量化推理能力。

基于上述思考，本課嘗試引入喂魚及搭積木的日常情境，鼓勵學生探討其中的數(shù)量關系，促成“倍”概念的發(fā)生和發(fā)展，建構乘法模型。經(jīng)實踐，效果良好。

【教學對象】

二年級學生，已經(jīng)學習了2～4的乘法口訣以及對應的除法計算。

【教學內(nèi)容】

一、情境導入，引發(fā)比較

師：這個周末，老師去花鳥城買了兩條小魚。看，魚哥哥和魚弟弟朝我們游過來了！你能辨認出誰是哥哥？誰是弟弟嗎？

師：老師打算每天給魚弟弟喂2 粒魚食。你覺得給魚哥哥喂幾粒合適呢？

生1：3 粒。因為魚哥哥長得比魚弟弟大，所以吃得肯定也多一點。

生2：4 粒。因為哥哥看起來有2 個弟弟那么大，2+2=4（粒）。

【設計意圖：題材取自Kamii等（1996）使用的一道乘法思維檢測題。以學生熟悉的喂魚情境引入，激發(fā)學習興趣，探明學習起點：生1 采用定性分析，知道要“吃得多一點”，選擇算法“2+1=3”，體現(xiàn)為加法思維水平。生2 則基于圖像，定量判斷出“哥哥有2 個弟弟那么大”，初具乘法思維水平。】

二、深入討論，理解倍比

1.比較身長，確定魚食

師：兩位同學都認為哥哥比弟弟“長得大”，所以要“吃得多”。那到底怎么把握哥哥和弟弟的大小，又怎樣根據(jù)大小比較合理地喂食呢？

師：我們先來說說，哥哥和弟弟的大小可以怎么比較？

生1：我覺得可以比較它們的長短。

生2：我覺得也可以比較它們的輕重。

（板書：身長、體重）

師：請一位同學來比比身長。

生1 操作課件呈現(xiàn)：

生2：哥哥比弟弟長。

生3：看起來魚哥哥的身長是魚弟弟的2 倍。我可以上來再量量看嗎？

（生3 操作，集體觀察：正好量了2 次）

生3：魚哥哥的身長就是魚弟弟的2 倍。

生4：也可以說，魚弟弟的身長是魚哥哥的一半。

師：很好，用上了我們昨天剛剛學習的 “2 倍” 和 “一半”。

【設計意圖：學生已具有2 倍和一半的比較及表達經(jīng)驗。前一課中，特別安排借助復印水彩點的活動，學習了2 倍和一半關系（如圖5）。魚兄弟身長2 倍（一半）關系的視覺效果比較明顯。為完成合理喂食的任務，需要對魚的身長進行更為精確的比較。以上多個因素疊加，學生主動對魚身長進行了乘法性比較。】

圖5 自編的“2 倍和一半”課時方案

圖6

師：身長的關系清楚了，按照這樣的關系，你們覺得給哥哥喂幾粒魚食比較合適呢？

生1：魚哥哥的身長是魚弟弟的2 倍，食量也是魚弟弟的2 倍。

生2：弟弟吃2 粒，哥哥身長是它的2 倍，就是2 個2 粒，2+2=4（粒）。

生3：也可以用乘法計算：2×2=4（粒）。

師：如果魚哥哥的食量是魚弟弟的2 倍，也就是說——把魚弟弟吃的2 粒看成1 份（貼1 條線段，并板書：1 份——2 粒），魚哥哥要吃這樣的2 份（貼2 條線段，并板書：2 份——？粒），魚哥哥要吃4 粒。［板書：2×2=4（粒）］

【設計意圖：在學生回答的基礎上，初步梳理出倍比的分析框架：先確定1 份量，再確定有這樣的幾份是多少。線段圖、對應式和乘法算式互相生成，互為參照，實現(xiàn)對“倍”概念的多元表征：線段圖是幾何直觀；對應式揭示數(shù)量結構；最后凝聚為乘法算式。】

2.比較體重，確定魚食

師：有同學說也可以按體重喂，體重是怎樣的關系呢？

生1：1 條魚哥哥等于3 條魚弟弟那么重。

師：可以試試用“倍”來說嗎？誰來試試？

生2：魚哥哥的體重是3 倍。

師：怎樣的3 倍？

生3：魚哥哥的體重是魚弟弟的3 倍。

師：為什么認為“魚哥哥的體重是魚弟弟的3 倍”呢？

生4：可以學習2 倍的方法。1條魚弟弟的體重是1 份，3 條就是3 份，魚哥哥等于這樣的3 份，所以魚哥哥的體重是魚弟弟的3 倍。

生5：把魚弟弟的體重看作1份，魚哥哥的體重有這樣的3 份，魚哥哥的體重就是魚弟弟的3 倍。

強調(diào)：我們一起像生5 這樣說一說——把（ ）看成一份，（ ）有這樣的（ ）份，（ ）是（ ）的（ ）倍。

師：那按照這樣的體重關系，給魚哥哥喂幾粒魚食比較合適？

生1：給魚哥哥喂這樣的3倍：2×3=6（粒）。

生2：魚弟弟吃1 份是2 粒魚食，魚哥哥吃這樣的3 份，就是2×3=6（粒）。

【設計意圖：借助天平直觀，激勵學生將“2 倍”的分析經(jīng)驗遷移到“3 倍”的情境中。強化倍比的分析框架、語言表述和數(shù)學表示。】

三、推廣舉例，豐富理解

師：好，我們給魚哥哥喂上魚食。按2 倍的話，要喂——4 粒（課件演示）；按3 倍的話，要喂——6粒（課件演示再添2 粒）。

生1：我感覺6 粒太多了，小魚要撐壞的。4 粒比較合適。

師：你提醒得好。我們按這樣的關系來計算魚食，其實只是一種設想。到底怎樣喂魚，可能我們還得去請教一下養(yǎng)魚專家。那同學們，你們在生活中遇到過像這樣“倍”的問題嗎？

生1：周末我有2 個培訓班，我姐姐有4 個培訓班，姐姐的培訓班個數(shù)是我的2 倍。

生2：有一天，我想吃2 個冰淇淋，弟弟想吃6 個冰淇淋，弟弟想吃的是我的3 倍。

師：怎么知道是3 倍呢？

生2：2 個是1 份，6 個有這樣的3 份，6 個是2 個的3 倍。

師：你分析得真清楚。不過冰淇吃太多，對身體可不好，你可以勸勸弟弟。還有想說的同學嗎？

生3：我們有100 米和50 米兩種測試，100 米的長度是50 米的2 倍。

師：預測一下跑100 米和跑50米用的時間，可能是什么關系？

生4：可能也是2 倍。

生5：要同一個人跑，跑100米花的時間是跑50 米的2 倍。

生6：也不一定，可能路長了以后，會跑得慢下來。

師：想得很周到！你們想強調(diào)的是跑的速度不變，跑100 米花的時間是跑50 米的2 倍。對嗎？

生7：我知道生活中的倍數(shù)不一定正好是2 倍、3 倍，新聞里有時也說1.5 倍，1.2 倍。

生8：中國人口大約是14 億，美國人口大約是3 億，我們的人口比美國的4 倍還要多。

師：這里的一份數(shù)是？怎么知道是4 倍還要多？

生：3 億人。3×4=12 億，小于14 億……

師：一份也可以有3 億那么多，好大的一份呀！

生8：我把半個月餅看成1份，8 個月餅是半個月餅的……8個半個是……8 個是半個的……

師：自己有點說暈了。我們幫他理一理。（在黑板上畫半個圓和8 個圓）1 份是——半個，8 個可以分為這樣的（用手指引導學生觀察和計數(shù)）——16 份。現(xiàn)在可以自信地說出來了嗎？

生8：8 個是半個的16 倍。

師：掌聲送給他。一份可以很大，也可以很小，同學們真棒！

師：同學們，你們舉了這么多“倍”的例子，它們有什么共同的地方嗎？

生9：倍就是兩個數(shù)比，其中1 個看成1 份，另一個看看有這樣的幾份，就是它的幾倍。

生10：1 份可大可小，看我們自己選誰做1 份。

生11：1 份大了，倍數(shù)就小；1份小了，倍數(shù)就大。

生12：一半也是倍，不到1 倍。

【設計意圖：引導學生通過類比、聯(lián)想其他生活經(jīng)驗，進一步理解“倍”的意義。在舉例過程中，教師有針對地進行追問，鞏固倍比的基本分析框架，適當增加推理的復雜性。同時，教師經(jīng)由學生的回答診斷學生的概念掌握情況并概括和凸顯倍比的本質(zhì)。】

四、綜合運用，發(fā)展推理

師：我們來看另外一項同學喜歡的活動——搭積木。

師：請你打開作業(yè)紙，先自己靜靜地寫一寫好嗎？

生1：我發(fā)現(xiàn)，綠積木的高度是橙積木的2 倍。藍積木的高度是橙積木的6 倍。

師：對嗎？也是這樣寫的同學舉手。關于這個發(fā)現(xiàn)，你們有什么想說的嗎？

生2：積木越高，比出來的倍數(shù)也越高。

生3：都和橙積木比，藍積木高，比出來的倍數(shù)也大；綠積木矮，比出來的倍數(shù)就小。

師：意思是，一份量不變，比較量越大，比出來的倍數(shù)也越大。是嗎？那如果比較量不變，倍數(shù)會變嗎？

生4：會變的。比如說，我比的都是藍積木。如果和橙積木比，藍積木是橙積木的6 倍；但是和綠積木比，藍積木只是綠積木的3 倍。

師：一份量變了，比較的結果也會變。

生5：一份量越大，比出來的倍數(shù)反而小了。

【設計意圖：直觀比較，檢查學生基礎目標的達成。對比較結論進行比較，滲透一份量、比較量和倍數(shù)三者之間的函數(shù)關系。】

師：要搭一座24 層的大積木塔，要用幾座小積木塔？你們算出來分別是多少呢？

生1：藍積木塔最高，算起來最快：12+12=24，用2 座就夠了。24÷4=6（座），綠積木塔的話，要用6 座。

師：橙色的呢？

生1：橙積木塔是24÷2，我們還沒有學過。

生2：先算12÷2=6，6 座橙色塔搭成1 座藍色塔。再用6×2=12，2 座藍色塔=12 座橙色塔。

師：大家聽懂了嗎？

生3：我想的和生2 有點像。因為綠積木的高度是橙積木的2倍，那么需要綠積木的座數(shù)應該是橙積木的一半，綠積木要：24÷4=6（座），橙積木要：6×2=12（座）。

師：生3 說到好幾組倍數(shù)關系，我們來捋一捋。綠積木的高度是橙積木的2 倍，有問題嗎？所以綠積木的座數(shù)只要橙積木的一半，同意嗎？為什么？

生4：一份量越大，倍數(shù)越小。把綠積木當成比較量，這個一份量大，比出來倍數(shù)小；橙積木這個一份量小，比出來倍數(shù)多。

生5：1 塊綠積木=2 塊橙積木，6 塊綠積木=12 塊橙積木。大家都乘6 倍。

生6：其實就是想，越矮的積木，要用的塊數(shù)就越多。

師：大家真是太厲害了！從會比較倍數(shù)，到會用倍數(shù)推算，又上了一層樓。

【設計意圖：進一步挑戰(zhàn)學生的推理。生1 使用大塔層數(shù)÷小塔層數(shù)求取需要的小塔座數(shù)，依賴于數(shù)值計算，可診斷為加法思維水平，在橙色塔問題上遇到了困難；生2 對此做了優(yōu)化和推進，其推理過程可表達為24÷2=（12+12）÷2=12÷2×2，具備一定的乘法思維；生3 采用反比推理，基于小塔之間的高度關系推斷小塔座數(shù)之間的關系，簡潔高效，體現(xiàn)出較高的乘法思維水平。促進不同水平學生之間的交流，在將他人思考與本人思考進行比較與聯(lián)系的過程中，內(nèi)化、提高。】

【反思】

對于一些重要的數(shù)學概念、關系，教師往往把備課的重點放在怎樣幫助學生理解和掌握這些概念、關系上，卻疏忽了如何引發(fā)學生的學習動機，即，為什么要學習這個內(nèi)容？如倍的認識，有多次聽課的經(jīng)歷表明，當課堂上呈現(xiàn)兔子和蘿卜圖（圖1）時，二、三年級的學生更傾向于從多少的角度而非倍數(shù)關系來提出分析。“倍”變成了教師的選擇，當堂的規(guī)定。

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》提出要“注重發(fā)揮情境設計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用，使學生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)”。Savard 也建議 “任務的設計需要鑲嵌于社會文化情境中，從而學生能將自己看作是積極的代理人”。在本課中，我們沒有使用以往課堂中常見的、直接要求比較物品倍數(shù)關系的任務，而采用喂魚、搭積木等情境，先激活學生“大魚多吃，小魚少吃”“高積木用得少，矮積木用得多”之類的日常經(jīng)驗，再推動他們逐漸量化，主動從“倍”的角度分析情境，建構數(shù)量關系。我們期望經(jīng)由這樣的學習過程，可以幫助學生體會到數(shù)學中有很多概念和關系都是人們出于分析和解決問題的需要，主動建構和發(fā)明的，而這些建構和發(fā)明的概念、法則能大大增進人們對現(xiàn)實世界的理解和把握。我們相信，如果學生經(jīng)常有機會從自己熟悉的情境開始，自覺反思和加工自己的應對經(jīng)驗，逐步迭代成更為準確和高效的概念、法則，進而改善他們對數(shù)學學習的信念，同時，也能降低概念和法則的學習難度，增進學生的理解。

另外，需要提出，課堂上學生也討論到 “6 粒太多了”“喂魚不完全按照大小關系” 等等，這些評價恰恰體現(xiàn)了學生對任務真實性的感受，對數(shù)學模型的理解，是思維批判性的表現(xiàn)，有了進一步學習的可能。素養(yǎng)導向的課堂不正應該包容乃至追求這樣的彈性嗎！