畢達哥拉斯三角模糊數密度算子及其應用

易平濤, 王勝男, 李偉偉, 王 露

(東北大學 工商管理學院,遼寧 沈陽 110167)

0 引言

多屬性決策[1]是多指標環境下多方案的選擇方法,在經濟管理、政治、軍事、工業,乃至醫藥衛生等諸多領域廣為應用。近年來,受決策問題頻度、廣度需求日增及現代信息技術迅猛發展的內外驅動,相較于經典處理方式,新時期的多屬性決策問題呈現出復雜化、多樣化等信息特征。其中,考慮到決策過程中的不確定性、敏感性及決策者偏好等原因,以模糊信息形式為基礎的決策問題成為眾多學者關注的焦點。

考慮到隸屬度與非隸屬度之和大于1的情形,YAGER和ABBASOV[2]在直覺模糊集的基礎上進一步拓展,提出畢達哥拉斯模糊集(PFS),滿足條件為隸屬度與非隸屬度的平方和小于等于1,從而更清晰地刻畫出決策的不確定性本質并確保屬性信息呈現的真實性。近年來,基于PFS的拓展性研究逐漸被重視。2019年,何霞等[3]提出PTFN及其集成算子,既有效地解決方案屬性值為直覺三角模糊數時可能存在隸屬度與非隸屬度之和大于等于1的情況,又進一步拓展了PFS的研究領域。PTFN是模糊數據的深度拓展,兼顧畢達哥拉斯模糊集與直覺三角模糊集的優勢,為復雜不確定決策情景提供一種新的量化形式。(1)但目前PTFN在決策領域的應用極少,且在PTFN集結過程中沒有考慮數據的分布特征,較難適應更復雜的決策環境。

在信息集結過程中,常借助于數據的疏密程度對數據進行聚類,進而刻畫數據間的分布結構特征?；诖?易平濤等[4]考慮屬性信息分布的疏密關系,構造出密度中間(DM)算子,從而實現數據在信息結構上的二次柔性集結。近年來對于DM算子的拓展研究逐漸深入[5-7]。DM算子充分考慮屬性信息分布的疏密,有效增強信息集結過程的準確性。(2)但目前DM算子的研究大多聚焦于普通的評價環境,依托的數據類型多為精確值、語言信息或基礎的模糊數[8-12],未有研究運用DM算子解決畢達哥拉斯三角模糊決策問題。

基于以上兩點局限性,本文對屬性信息為PTFN的多屬性決策問題進行探索,考慮數據信息分布的疏密關系,構建出一種新的PTF-DM算子,并參考了CABLES等[13]研究中模糊參考理想法(FRIM)的基本思想以及得分函數實現數據的有效聚類和最終排序。PTF-DM算子是在信息表達及信息集成方向上的有效拓展,既實現多屬性決策中模糊數據類型的深度細化,又考慮數據信息分布的不均勻問題,能夠有效應對多屬性決策問題中逐漸模糊化及復雜化的決策環境。

1 相關概念介紹

(1)

記非隸屬函數為v(x):X→[0,1],有

(2)

(3)

2 畢達哥拉斯三角模糊數的聚類

2016年,學者CABLES等[14]首次提出參考理想法(Reference Ideal Method,RIM),隨后,一些學者開展相關拓展研究。2018年,CABLES等[13]將RIM拓展到模糊領域,提出模糊參考理想法(Fuzzy Reference Ideal Method,FRIM),并將FRIM法應用到以PFN為屬性信息的決策問題中。2020年,SANCHEZ-LOZANO和RODRIGUEZ[15]將FRIM法應用到屬性值為三角模糊數(TFN)的軍用訓練機優選中,為該研究領域提供新的決策方法。由于PTFN是TFN的推廣并符合PFN的性質,因此,基于FRIM法的部分思想實現PTFN的聚類。根據CABLES等[13]、SANCHEZ-LOZANO和RODRIGUEZ[15]的研究,現給出畢達哥拉斯三角模糊數的距離與估值矩陣的相關定義。

(4)

(5)

(6)

其中,P,Q,M,N∈PTFNs,IRj=[P,Q]表示參考理想區間,Rj=[M,N]表示取值范圍,且滿足[P,Q]?[M,N]。

歸一化的估值矩陣為

針對一維數據聚類問題,CABLES等[14]提出一種聚類方法——有序增量分割法。該法根據數據增量以及間隔的疏密來實現數據的最終聚類。

3 畢達哥拉斯三角模糊數密度算子

3.1 基本定義

(7)

(8)

將PTF-DWA算子與PTF-DWGA算子統稱作畢達哥拉斯三角模糊數密度算子,記PTF-DM算子,與其他密度算子類似,PTF-DM算子滿足冪等性、置換性、有界性、單調性等性質[9]。它可與WA,WAA,OWA,AA,Min,Max等算子結合構建合成算子,下面以WAA算子為例,構建相應的密度合成算子。

定義9設PTF-DWAWAA:Rn→R,稱PTF-DWAWAA算子為畢達哥拉斯三角模糊數密度加權平均算子:

(9)

(10)

3.2 密度權重的確定

定義10[4]令ξ=(ξ1,ξ2,…,ξm)T為密度加權向量,則有

(11)

密度權重有趨同性、趨極性與趨中性之分,本文依據易平濤等[4]的“組間同性”(Ts(ξ))測度方法與熵值法求解密度權重,規劃模型如下:

(12)

4 應用算例

某家風險投資公司需要在6家制造型企業Ci(i=1,2,…,6)中選擇一家進行投資,且在進行企業優選時需考慮6個因素,分別為創新能力(f1)、技術基礎(f2)、產品質量(f3)、服務品質(f4)、成長背景(f5)、綠色生態(f6)。假設制造型企業Ci(i=1,2,…,6)關于屬性fj(j=1,2,…,6)的綜合值取值為PTFN,相關決策信息見表1,如<(4.3,6.5,8.4),0.7,0.3>表示制造型企業C1相對于技術基礎(f2)方面的得分為6.5,且最大滿意度為0.7,而最小不滿意度為0.3。假設6家制造型企業中各屬性的最高分值是10分,且屬性權重向量為w1=(0.1,0.3,0.1,0.2,0.1,0.2)T(計算結果保留三位小數)。

表1 PTFN相關決策信息

下面給出PTF-DM算子的具體計算步驟:

(1)聚類PTFN決策信息

由表1的信息可得出各屬性取值范圍(R),參考理想區間(IR)可由決策者(即風險投資公司)根據決策需要或屬性特點以及取值范圍給出,具體結果見表2及表3。

表2 各屬性取值范圍(R)

表3 各屬性參考理想區間(IF)

首先,通過式(3)-式(6)計算出各備選企業各屬性的畢達哥拉斯三角模糊數,得到歸一化處理后的估值矩陣Y:

根據有序增量分割法,取m=3,實現各備選企業屬性的聚類,得到的結果分別為:

企業C1:A1={f2,f3,f6},A2={f1,f4},A3={f5};

企業C2:A1={f2,f3,f6},A2={f5,f4},A3={f1};

企業C3:A1={f2,f3,f6},A2={f1,f4},A3={f5};

企業C4:A1={f1,f4,f6},A2={f3,f5},A3={f2};

企業C5:A1={f1,f4,f5},A2={f2,f6},A3={f3};

企業C6:A1={f1,f2,f4},A2={f5,f6},A3={f3}。

(2)確定密度權重

為體現密度權重(即決策者對信息分布的偏好)對企業最終排序結果的影響,給定“組間同性”測度的不同取值,根據式(12)的規劃模型計算出不同取值下的密度權重,詳見表4。

表4 不同“組間同性”測度取值下的密度權重

(3)集結決策信息

計算不同“組間同性”測度下的各企業最終評價值并得到最終排序結果,詳見表5。同時,圖1反映了在不同“組間同性”測度(決策者的信息偏好)下,各企業最終評價值的變化趨勢。從表5和圖1中可以得出結論:Ts(ξ)取值的不同(即密度權重的不同)會對企業評價值產生影響并最終影響排序結果,這進一步表明考慮決策者信息分布偏好對企業優選具有重要作用。

圖1 不同“組間同性”測度下各企業最終評價值的變化

表5 不同“組間同性”測度下各企業最終評價值及排序結果

分別以PTF-DWAWAA,PTF-DWGAWAA,PTF-DWAOWA和PTF-DWGAOWA算子為例,假定決策者偏好群體共識,給出“組間同性”測度Ts(ξ)=0.7,通過PTF-DM算子計算出各企業Ci(i=1,2,…,6)最終評價值和排序結果,如表6所示(PTF-DWAOWA和PTF-DWGAOWA算子中決策信息的位置權重隨機生成,取w2=(0.1678,0.1485,0.1987,0.1892,0.1533,0.1425)T。

表6 考慮信息分布疏密的各企業最終評價值及排序結果

由表6可得出如下結論:4種密度算子中有3種密度算子得到的最優企業均為C2(PTF-DWGAOWA算子中最優企業為C6),這表明PTF-DM算子具有很好的穩定性。通常情況下,PTF-DWA算子的最終集結值大于PTF-DWGA算子的最終集結值,PTF-DM算子可以有效地應用于多屬性決策中,且決策者可根據自身偏好自由選擇相應的集結方法。

(4)PTF-DM算子與PTF集成算子的對比分析

為進一步驗證PTF-DM算子的有效性,選擇與何霞等[3]研究中提出的三種畢達哥拉斯三角模糊數集成算子(即畢達哥拉斯三角模糊數加權平均(PTF-WAA)算子、畢達哥拉斯三角模糊加權幾何平均(PTF-WGA)算子與畢達哥拉斯三角模糊有序加權平均(PTF-OWA)算子)作對比研究,得到的最終評價值與排序結果如表7所示,同時圖2反映了不同集結方法下各企業排序結果的變化趨勢。

圖2 不同集結算子下各企業最終評價值的變化

表7 不考慮信息分布疏密的各企業最終評價值及排序結果

從表7中可以看出,在運用上述3種經典算子實現信息集結時,最優企業均為C6,與表6中運用4種密度算子得到的最優企業(C2)不同,且整體排序結果有較大程度的波動。各企業整體排序結果有波動的關鍵原因在于密度算子實現了信息的二次集結,集結過程中受密度權重等要素影響使得評價值發生變動,進而影響排序結果。

從圖2中可以觀察出每家企業在不同集結算子下的最終評價值及其變化趨勢,即各企業的最終評價值在3種經典算子中產生小范圍波動,而在4種密度算子中變化明顯。最終評價值變化明顯的主要原因在于密度算子注重決策者對群體信息分布的偏好。決策者偏好確實可以影響最終的集結結果,因此考慮信息分布的疏密程度十分必要。

5 結論

畢達哥拉斯模糊集與密度信息集結是對信息表達及信息集成理念的新發展,本文是對二者的深度融合性研究。針對屬性信息為PTFN的多屬性決策問題,考慮到屬性信息分布的疏密關系,提出PTF-DM算子并詳細探討其運用方法。具體而言,基于模糊參考理想法(FRIM法)的思想與得分函數,實現對PTFN的有效聚類,并運用熵值法建立規劃模型確定密度權重。將PTF-DM算子與經典信息集結算子結合,構建出面向不同情境的具體集結算子,從而大幅拓展決策工具的選擇空間。進一步的研究可從群體、時序背景切入,考慮立體信息結構下的多屬性決策問題展開,實現對泛條件下的信息表達與集結研究。