不動點集為Dold流形P(2,15)的對合

趙素倩,張卓琳,魏祥林

(河北科技大學理學院,河北石家莊 050018)

1 預備知識及引理

本文中,系數群是模2整數加群Z2,2N中的N是充分大的正整數,ω表示全Stiefel-Whitney類,ωi表示第i個Stiefel-Whitney類,σi(x)表示第i個基本對稱函數∑x1x2…xi,[M]表示流形M的基本同調類。

設(Mr,T)是一個帶有光滑對合T的r維光滑閉流形,T在Mr上的不動點集為F=∪Fr-k,其中Fr-k是不動點集F的(r-k)維分支的并;設λk是Fr-k在Mr中的法叢。由文獻[20]可知,帶有對合的流形(Mr,T)的協邊類由其不動點集(Fr-k,λk)的法叢的協邊類決定。

引理1(Kosniowski-Stong定理)[21]設f(x1,x2,…,xr)是Z2上的任意對稱多項式,它的次數deg(f(x))≤r,則有示性數公式

(1)

其中表達式中的對稱多項式可用基本對稱多項式σi(x),σi(y),σi(z)表示,分別用Mr,λk,Fr-k的第i個Stiefel-Whitney類ωi(Mr),ωi(λk),ωi(Fr-k)代替σi(x),σi(y),σi(z)后,式(1)兩邊得到的是上同調類分別在基本同調類上作用的值。

引理2[21]設σi(x1,…,xk,xk+1,…,xr)是r個變元的第i個基本對稱多項式,則

引理3[21]設{(Fr-k,λk)}(0≤k≤r)是流形上的一組向量叢,則其為某個對合(Mr,T)的不動點數據的充要條件是對于所有次數小于r的對稱多項式f,都有

令P(m,n)表示Dold流形,則它的模2上同調環為

H*(P(m,n);Z2)=Z2[a,b]/(am+1=bn+1=0),

其中a∈H1(P(m,n);Z2),b∈H2(P(m,n);Z2)是生成元,它的全Stiefel-Whitney類是ω(P(m,n))=(1+a)m(1+a+b)n+1。

引理4[22]設P(m,n)是一個(m+2n)維Dold流形,則在P(m,n)上存在向量叢,其Stiefel-Whitney類為

1)1+a+b+a2,m=2,n≥1;

2)(1+a+b+a2)2,m=4,5,n≥2;

3)(1+a+b+a2)2(1+a+b)+a6,m=6,n≥1;

4)1+a2b3,m=2,n=3。

這樣P(m,n)上的任意向量叢的全Stiefel-Whitney示性類都可表示為這些類與若干個類(1+a)和(1+a+b)之積。其中a∈H1(P(m,n);Z2)和b∈H2(P(m,n);Z2)是生成元。

若(M32+k,T)(k>0)是一個光滑閉流形,T是M32+k上的光滑對合,則對合的不動點集為F=P(2,15)。令λ→F是F在M32+k中的法叢。設a∈H1(P(2,15);Z2)和b∈H2(P(2,15);Z2)是生成元,P(2,15)的全Stiefel-Whitney類為ω(P(2,15))=(1+a)2(1+a+b)16。由引理4可知,λ的全Stiefel-Whitney示性類的形式為ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d,c,d為非負整數,或ω(λ)=(1+a+a2+b)(1+a)m(1+a+b)q,m,q為非負整數,則a2b15[P(2,15)]=1。

由于(1+a)4=0,(1+a+b)16=0,如果c≡c′(mod 4),則(1+a)c=(1+a)c′,故假設c<4,如果d≡d′(mod 16),則(1+a+b)d=(1+a+b)d′,故假設d<16。

2 主要結果

定理1設(M32+k,T)是帶有光滑對合T的32+k(k>0)維光滑閉流形。T的不動點集為F=P(2,15),則(M32+k,T)存在且協邊于零。

對ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d和ω(λ)=(1+a+a2+b)(1+a)m(1+a+b)q2種形式分別進行證明。

2.1 ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d的情況

根據c和d的奇偶性,分以下幾種情況進行討論。

命題1若d為奇數,對合(M32+k,T)不存在。

證明當d與c均是奇數時,假設對合(M32+k,T)存在,此時c+2d≥3,所以k≥3。

取

因為deg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0,但根據引理1,有

從而推出矛盾,所以對合(M32+k,T)不存在。

取

因為deg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0,但由引理1可知:

從而推出矛盾,因此對合(M32+k,T)不存在。

當d為奇數、c為偶數時,假設對合(M32+k,T)存在,此時c+2d≥2,所以k≥2。由引理2得

取

因為deg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0,但依據引理1有

從而推出矛盾,所以對合(M32+k,T)不存在。

綜合以上討論,命題1成立。下面討論d為偶數的情況。

命題2若d為偶數,則對合(M32+k,T)存在且協邊于零。

證明因為d是偶數,ω(P(2,15))=(1+a)2,ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d,所以在計算示性類時,所有項中都不會出現a2b15,于是對任何次數小于32+k的對稱多項式f(x),都有

所以對合(M32+k,T)存在。又由于對合(M32+k,T)法叢的所有Stiefel-Whitney示性數全為零,因此,對合(M32+k,T)協邊于零,故命題2得證。

綜合命題1和命題2,當ω(λ)=(1+a)c(1+a+b)d時,對合(M32+k,T)存在且協邊于零。

2.2 ω(λ)=(1+a+a2+b)(1+a)m(1+a+b)q的情況

根據m和q的奇偶性,分以下幾種情況進行討論。

命題3 若q為偶數,則對合(M32+k,T)不存在。

證明 若q為偶數、m為偶數,由引理2可得

取

其中deg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0。但根據引理1有

從而推出矛盾,所以對合(M16+k,T)不存在。

若q為偶數、m為奇數,由引理2得

取

其中deg(f(x))=32<32+k,故f(x)[M]=0,但根據引理1,有

從而推出矛盾,因此對合(M32+k,T)不存在。

綜合以上討論,命題3成立。下面討論q為奇數的情況。

由于ω(λ)=(1+a+a2+b)(1+a)m(1+a+b)q=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)q-1(q≥1),在下面的證明中,應用ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)q-1。

命題4 若q為奇數,則對合(M32+k,T)存在且協邊于零。

證明 分以下2種情形說明。

1)當q=1時,有

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計算示性類時,所有項中都不會出現a2b15,類似于命題2的證明,對合(M32+k,T)存在且協邊于零。

2)當q=5時,有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)4=(1+a)m(1+b4+a2b+a2b5+b2+b6)=

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計算示性類時,所有項中都不會出現a2b15,所以對合存在且協邊于零。

3)當q=9時,有

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計算示性類時,所有項中都不會出現a2b15,所以對合存在且協邊于零。

4)當q=13時,有

(1+b4+b8+b12+a2b+a2b5+a2b9+a2b13+b2+b6+b10+b14)=

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計算示性類時,所有項中都不會出現a2b15,所以對合存在且協邊于零。

綜上所述,在這種情況下,對合(M32+k,T)存在且協邊于零。

1)當q=3時,若m是奇數,有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)2=(1+a2b+b2)(1+a+b)2(1+a)m=

若m是偶數,有

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計算示性類時,所有項中都不會出現a2b15,所以對合存在且協邊于零。

2)當q=7時,若m是奇數,有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)6=

若m是偶數,有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)6=

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計算示性類時,所有項中都不會出現a2b15,所以對合存在且協邊于零。

3)當q=11時,若m是奇數,有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)10=

若m是偶數,有

ω(λ)=(1+a2b+b2)(1+a)m(1+a+b)10=

由于ω(P(2,15))=(1+a)2,所以窮盡所有情況,在計算示性類時,所有項中都不會出現a2b15,所以對合存在且協邊于零。

4)當q=15時,若m是奇數,有

取

其中deg(f(x))=4<32+k,故f(x)[M]=0,但根據引理1,有

從而推出矛盾,對合不存在。

若m是偶數,有

取

其中deg(f(x))=4<32+k,故f(x)[M]=0,但根據引理1,有

從而推出矛盾,對合不存在。

綜上所述,在這種情況下,對合(M32+k,T)存在且協邊于零,命題4得證。

綜合命題1—命題4,定理1得證。

3 結 語

本文利用微分周期映射、示性類理論等,借助Kosniowski-Stong給出的M的示性數與不動點集法叢(F,λ)示性數之間的關系,通過構造合適的對稱多項式出現矛盾,否定對合流形的存在性,或者證明對任意對稱多項式都滿足Kosniowski-Stong定理,說明對合的存在性,證明了不動點集F為Dold流形P(2,15)時,帶有對合T的光滑閉流形(M,T)存在且協邊于零。研究結果豐富了不動點集是Dold流形的對合的等變協邊分類問題,也為研究不動點集其他特殊流形的對合提供了借鑒和參考。

本文研究的僅是不動點集F為特殊維數的Dold流形對合的協邊分類,對于不動點集為F=P(2,2n+1)的情形還需要做進一步研究。