一種磁懸浮飛輪特定參數攝動魯棒控制方法*

張 立, 向彥霖

國防科技大學空天科學學院,長沙 410073

0 引言

磁懸浮飛輪控制器算法的精度、復雜度和實時性通常會相互掣肘,轉子轉速較高時控制器必須提高刷新頻率以避免過大的相移,控制周期縮短導致無法完成過于復雜的控制策略,故PID控制器(Proportional-Integral-Derivative Controller,PID Controller)成為工程實踐中主要采用的控制策略。

PID控制器的參數整定沒有從頂層設計上考慮魯棒性,模型參數攝動情況下控制性能的變化難以預測,工程上通常用試錯法回避此類問題。魯棒控制理論設計控制器時,如果假設的攝動參數比較多,所得到的魯棒控制器就比較保守,只能以降低時域性能為代價來提高魯棒性。

實踐中發現磁懸浮飛輪控制對象模型各參數中,位移剛度參數攝動的概率和幅度都最大,且該參數攝動對閉環控制系統的性能影響也最大,為了充分利用這一已知信息,可以采用參數化特征值配置技術(Eigenvalve Assignment, EA)[1],用閉環系統特征值對位移參數的靈敏度作為性能指標,通過求解指標函數的極值來計算特征值并推算全狀態反饋控制參數。

在磁懸浮飛輪上實現全狀態反饋控制通常需要狀態觀測器,這會導致控制器計算量的大幅增加,不利于高速狀態下的實時控制。對于這一問題,可以通過設計由控制對象輸入輸出信息直接推算出的狀態變量,構造非最少狀態空間控制(Non-Minimal State Space control, NMSS control)模型[2]來實現無狀態觀測器的全狀態反饋控制。

NMSS控制結合了PID控制簡單易實現和狀態空間控制全息、參數整定理論完備的優點,也被稱為比例積分加控制[3](proportional-Integral-Plus control,PIP control)。NMSS狀態向量中含有輸入輸出信號的微分平坦項和積分項,閉環控制系統抗干擾性能優于未增廣狀態的最少狀態空間控制系統[3]。

對于控制時滯、功放非線性等其他非理想因素導致的控制性能下降,可以采用等價干擾信號補償控制方法(Equivalent Disturbance Compensation, EDC)[4]將這些因素等價為控制器輸出誤差分量,通過構造逼近該分量的補償信號來抵消未建模誤差對控制系統的影響,由于補償信號及其濾波器所引入的系統特征值遠離原系統主導特征值[5],該方法可以在不影響其他控制器實現、也不影響系統主導特征值下獲得較好的干擾抑制效果,且算法運算量比較低,易于航天應用[6]。

本文將非最少狀態空間控制與參數化特征值配置、信號補償技術結合起來應用于磁懸浮飛輪控制(下面稱其為NMSS-EA-EDC方法),其中前兩種技術的組合已在倒立擺實驗平臺上驗證了可行性和有效性[7]。

1 磁懸浮飛輪模型及能控性

1.1 物理模型及最少狀態空間模型

磁懸浮飛輪轉子運動方程(在平衡點附近線性化之后)如下:

(1)

其中:kx和ki為等效位移剛度和電流剛度,f為轉子受到的電磁力之外的其他擾動力,m為等效單通道轉子質量,x和i分別為轉子位移和磁軸承電流。以電流為輸入、轉子位移為輸出的傳遞函數模型為:

(2)

(3)

(4)

(5)

將最少狀態空間模型狀態矩陣和輸入矩陣中含攝動參數的元素定義為a21=kx/m,b2=ki/m。

1.2 非最少狀態空間控制模型

選擇狀態向量xnm如下:

(6)

其中:s代表拉普拉斯算子,z=-x/s代表轉子位移偏差的積分,T(s)=s2+t1s+t2為濾波多項式,t2≠0。則非最少狀態空間模型為:

(7)

其中,狀態矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣分別為:

(8)

h=[a21+t2t1b20 0]

(9)

1.3 模型能控性

定理1.非最少狀態空間模型(7)能控的充分必要條件是1.1節中物理模型所對應的最少狀態空間模型(3)能控。

證.根據PBH(Popov, Belevitch and Hautus)判據,模型(7)能控等價于對任意復數λ,P(λ)=[λI-F,g]的秩為5。

必要性:若模型(3)不可控,則P(λ)前2行的秩小于2,模型(7)不可控。

充分性:若模型(3)可控,則P(λ)前2行的秩為2,且b2≠0。由后者可得P(λ)后3行的秩為3,則模型(7)能控。

2 優化對特定參數攝動的適應性

非最少狀態空間閉環控制系統模型框圖為:

圖1 非最少狀態空間閉環控制系統模型框圖

其中:多項式G(s)和H(s)定義為:

G(s)=k3+k4s

(10)

H(s)=k1+k2s

(11)

其中:k1～k4為狀態反饋控制器k中的參數。

k=[k1k2k3k4kI]

(12)

閉環控制模型的狀態矩陣為Anc=F-gk,為了提高魯棒性,設定約束Anc為正規矩陣(無重復特征值)。用閉環狀態矩陣Anc的特征值對特定攝動參數kx的靈敏度值來構造優化指標函數。根據Hellman-Feynman定理,對于正規矩陣,其特征根靈敏度函數求法為:

(13)

其中:ti和vi分別為第i個特征根對應的左、右特征向量?？筛鶕こ虒嶋H需求決定是否在指標函數中加入擾動敏感度項和控制能量代價項[1]。根據系統時域性能指標約束,在s平面上畫出等超調量線、等調節時間線等性能邊界,在邊界內求指標函數最優解得到閉環系統最佳特征根,在無重根約束下可以通過極點配置法唯一求解控制器中的5個參數。

3 參數攝動等價干擾信號補償

控制對象傳遞函數模型式(2)可以寫成:

y(s)(s2-kx/m)=(ki/m)u(s)

(14)

引入等價干擾控制量v(s),把上節控制器計算輸出的理論控制量u(s)寫成兩部分的和:

(15)

(16)

為了使上式等號右邊傳遞函數可以物理實現,引入二階低通濾波器φ(s):

(17)

用φ(s)v(s)逼近等價干擾控制量v(s),得到信號補償后系統真實控制量:

(18)

上式即為磁懸浮飛輪等價干擾信號補償控制算法。

4 數值仿真

將NMSS-EA-EDC控制策略應用于文獻[1]中磁懸浮飛輪的一個垂直通道,系統參數見表1。將閉環系統特征根中的4個設定為-50, -60, -70, -80,主導特征根通過多目標優化策略求解。設定標稱時域性能指標為調節時間小于1 s,超調量不超過5%,則主導特征根尋優范圍選為s平面負實軸上實部小于-4的部分。圖2給出主導特征值為-8時轉子位移階躍響應參數攝動蒙特卡洛仿真結果。其中,位移剛度kx的最大攝動幅度為標稱值的萬分之五。

表1 磁懸浮飛輪參數

圖2 仿真結果(NMSS-EA方法,參數攝動0.05%)

采用文獻[6]信號補償方法后再次進行相同設定的蒙特卡洛仿真,結果如圖3所示。對比圖2和3可以看出,信號補償方法在相同的閉環特征值下顯著降低系統對位移剛度參數攝動的敏感度。

圖3 仿真結果(NMSS-EA-EDC方法,參數攝動0.05%)

進一步研究NMSS-EA-EDC閉環控制系統的特征值對參數攝動魯棒性能的影響,將閉環系統特征根設定為-363.6, -374.5, -680, -790, -1905。主導特征值為-363.6時NMSS-EA-EDC方法階躍響應參數攝動蒙特卡洛仿真結果如圖4所示,當閉環系統的特征值離虛軸很遠時,NMSS-EA-EDC方法在參數攝動70%的情況下仍然能夠正常工作,但此時系統超調量較大,這表明過于保守的特征值配置雖然魯棒性強,但犧牲了一定的時域性能。

圖4 仿真結果(參數攝動70%)

5 結論

將NMSS、EA、EDC三種方法結合起來應用于磁懸浮飛輪的轉子懸浮位移控制,通過數值仿真進行了控制算法驗證研究,可得出:位移剛度等系統關鍵參數的攝動對磁懸浮飛輪控制系統時域性能影響很大;可以用主導特征值對攝動參數的靈敏度函數來有效表征系統對參數不確定性的容忍度;閉環系統最靠近虛軸的主導特征值離虛軸越遠控制器對參數攝動的適應性越好,但控制所需能量代價越大;可以通過設計包含主導特征值對攝動參數的靈敏度、系統控制能量代價函數、系統對外界干擾的靈敏度的指標函數來實現磁懸浮飛輪多目標優化控制。

為了實現無需狀態觀測器的全狀態反饋控制策略,可以將控制模型增廣為非最少狀態空間模型,狀態變量中各元素可由控制對象的輸入、輸出量計算得到,能夠在充分利用系統有用信息的前提下有效降低多目標優化控制器設計問題的復雜度。此外,增廣狀態帶來更多可調特征值,在相同的主導特征值條件下,在調節時間等時域性能上有更大的回旋余地。

信號補償方法可以在不改變主導特征值的前提下顯著提高控制器對參數攝動的適應性。當位移剛度參數攝動達到標稱值的70%時,NMSS-EA-EDC方法仍然能夠鎮定系統。