火箭定姿定點入軌的最優制導方法

王 健,劉星棟,支 晶

北京航天自動控制研究所,北京 100854

0 引言

隨著載人航天工程的推進,為了更好地完成空間交會對接任務、快速準確地進行軌道交會過程,有效載荷對火箭入軌的精度提出了更高的要求,也促進了迭代制導技術的攻關,及其在載人運載火箭上的成功應用[1]。

在很多情況下,因有效載荷入軌后快速對地定向等需要,不僅要求運載火箭精確進入預定軌道,而且要求其滿足一定的入軌姿態。但迭代制導技術在大幅提升運載火箭入軌精度及對故障適應能力的同時,帶來了入軌姿態偏差散布較大等問題[2]。對帶有姿態角約束的最優入軌問題,工程上一般通過增加一套獨立的調姿系統來達到入軌姿態要求,但增加調姿系統會帶來運載能力下降、可靠性降低等缺點,亟需研究更為通用可靠的制導算法解決這一問題[3]。

本文針對推力方向可變、大小不變的運載火箭,設計了一種定姿定點入軌的最優制導方法,通過對最優控制命題形式的轉化,利用代數方法推導出可解的哈密頓方程組,實現了定姿定點問題的求解,并通過仿真驗證了方法的可行性。

1 問題的提出

1.1 運載火箭質心運動方程的建立

先定義發射點重力慣性坐標系,原點Oi位于發射點,OiXi軸在水平面內,指向發射方向,OiYi軸垂直發射點水平面指向上方,OiZi軸與OiXi、OiYi構成右手坐標系。然后將坐標系原點Oi移到地心,就得到地心慣性坐標系。

真空中火箭受力情況比較單一,所受干擾主要是發動機及箭體結構的干擾,相對固定,發動機推力比較平穩。對真空二級上升段的運載火箭進行受力分析,忽略氣動力影響,作用在火箭質心上的總外力Fs可以表示為[4]:

Fs=mg+P

(1)

其中:mg為作用在火箭上的地心引力矢量,P為作用在火箭上的發動機推力矢量。

g=-ω2r

(2)

認為火箭發動機推力大小不變、方向可調,則推力矢量可以表示為:

P=T·ib

(3)

其中:T為發動機推力大小,ib為推力方向矢量。

綜上所述,在不考慮氣動力影響的條件下,運載火箭在真空上升段相對于地心慣性坐標系的質心運動方程如下:

(4)

其中:r為火箭在該點的地心矢徑;v為火箭在該點的速度矢量。

1.2 最優控制命題的建立

在地心慣性坐標系Oi-xiyizi中,建立了火箭的質心動力學方程(4),并依此建立最優控制命題。

由于火箭推力大小可變,狀態變量為:

X(t)=[r(t),v(t)]T

(5)

相應的協態變量為:

λ(t)=[Pr(t),P(t)]

(6)

地心慣性系下的狀態方程為:

(7)

其中:F為定常的推力;m0為初始質量;β為推進劑秒耗量,也是定常參數。

以燃料最省為性能指標:

(8)

由于秒耗量β為定值,燃料最省等價于時間最省,性能指標可以寫作:

(9)

控制變量為推力方向:

ib(ibx,iby,ibz)T

(10)

其中:ibx,iby,ibz為推力在地心慣性坐標系下的分量。

控制變量有約束條件:

(11)

位置矢量初值:r(t0)=r0固定;

初始時間:t0固定;

位置矢量終值:r(tf)=rf固定;

速度矢量終值:v(tf)=vf固定;

終端時間(入軌時間):tf自由。

而且在規劃飛行軌跡時,還可以使用該方法分析可控范圍,以求解得出的v(t0)與任務要求相比,分析入軌姿態要求是否在可控集合的范圍內。

2 最優控制問題的求解

2.1 控制量有約束問題轉化為無約束問題

(12)

式中:控制變量為u(s),無約束。

記:

(13)

(14)

2.2 正則方程的求解

采用變分法,定義增廣泛函為:

(15)

(16)

可得,

H(tf)=0

(17)

協態方程:

(18)

控制方程:

(19)

由式(19)可得:

(20)

其中:

(21)

即

(22)

(23)

所以,

(24)

可得,

(25)

即,

(26)

(27)

(28)

(29)

矩陣(28)的秩為2,故方程組(29)的解空間是一維的。

2.3 正則方程的求解

3 數學仿真驗證

3.1 仿真場景

本文考慮某運載火箭二級真空上升段,以入軌進行空間交會對接的場景為算例對本文提出的最優制導方法進行驗證。

3.2 仿真結果

本次數值仿真在MATLAB2010b環境中實現,采用內置Gauss偽譜法的SNOPT非線性規劃求解器[6-7]求解協態變量。經過優化計算和連續仿真后得到火箭飛行最優控制曲線及相應速度位置變化曲線如圖1～2所示。

圖2 位置

仿真得到入軌點速度位置及其與目標值的偏差見表3。

表1 模型參數

表2 端點約束

表3 入軌點速度位置偏差(tf=480 s)

由圖1～2及表3中的仿真結果可以看出,在誤差允許范圍內,本文針對定姿定點入軌設計的最優制導方法能夠使火箭在指定的地點以設定的姿態進入預定軌道。

4 結論

本文對火箭定姿定點問題進行了分析,建立了相應的最優控制命題。通過引入新的控制變量將命題轉化為控制變量無約束問題,并利用變分法求得了一個可解的哈密頓方程組。通過偽譜法求得初始協態后可快速求得最優控制曲線。

經仿真驗證,本文提出的最優制導方法可以解決定火箭定姿定點入軌問題,通過調節火箭的發動機推力方向,即可以使載荷從目標點以預定姿態精確入軌。