基于大幅值Lyapunov軌道穩(wěn)定流形的地月轉(zhuǎn)移方法*

鄭 越,趙 敏

1. 西安航空學(xué)院,西安 710077 2. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院,西安 710072

0 引言

地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)是探月工程的關(guān)鍵問(wèn)題。傳統(tǒng)地月轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計(jì)通常基于二體霍曼轉(zhuǎn)移[1]方法,具有燃料消耗大的缺點(diǎn),不能滿足未來(lái)低成本航天任務(wù)需求。與之相比,基于限制性三體問(wèn)題的地月轉(zhuǎn)移軌道充分利用了三體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,有效降低了轉(zhuǎn)移過(guò)程中所需的能耗,這種軌道通常被稱為低能轉(zhuǎn)移軌道[2]。

在地月三體系統(tǒng)中,不變流形是與平動(dòng)點(diǎn)密切相關(guān)的一種動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu),探測(cè)器運(yùn)行在不變流形上能夠不耗能地實(shí)現(xiàn)空間轉(zhuǎn)移。位于月球正面的平動(dòng)點(diǎn)L1點(diǎn)和位于月球背面的平動(dòng)點(diǎn)L2點(diǎn),由于周?chē)牧?chǎng)環(huán)境,使得其不變流形為地月轉(zhuǎn)移提供了可行途徑[3]。根據(jù)平動(dòng)點(diǎn)位置不同,地月轉(zhuǎn)移可分為基于L2點(diǎn)不變流形的外俘獲型低能轉(zhuǎn)移軌道和基于L1點(diǎn)不變流形的內(nèi)俘獲型低能轉(zhuǎn)移軌道。根據(jù)不變流形的相流結(jié)構(gòu),內(nèi)俘獲型低能轉(zhuǎn)移軌道可通過(guò)穿越軌道和漸近軌道來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)[2]。

弱穩(wěn)定邊界(weak stability boundary, WSB)理論對(duì)應(yīng)于外俘獲型低能轉(zhuǎn)移軌道,是1987年由Belbruno[4]首次提出的。WSB是相空間中太陽(yáng)、地球和月球萬(wàn)有引力趨于平衡的區(qū)域。這類(lèi)軌道從地月系統(tǒng)外部進(jìn)入系統(tǒng)內(nèi)部再被月球捕獲,需要借助太陽(yáng)的引力輔助[5]。Koon等[6]將地月三體系統(tǒng)L2點(diǎn)穩(wěn)定流管與日地三體系統(tǒng)平動(dòng)點(diǎn)的不穩(wěn)定流管在適當(dāng)?shù)凝嫾尤R截面內(nèi)進(jìn)行拼接,得到的位置及速度均連續(xù)的軌跡即為Belbruno所發(fā)現(xiàn)的WSB轉(zhuǎn)移。但是,探測(cè)器在外俘獲型低能轉(zhuǎn)移軌道中會(huì)因太陽(yáng)引力而遠(yuǎn)離地球和月球,所以需要較長(zhǎng)的轉(zhuǎn)移時(shí)間。

內(nèi)俘獲型低能轉(zhuǎn)移軌道始終處于地月系統(tǒng)內(nèi),可通過(guò)L1點(diǎn)周期軌道的不變流形來(lái)實(shí)現(xiàn),這類(lèi)軌道始終處于地月系統(tǒng)內(nèi),可減小探測(cè)器的飛行時(shí)間。當(dāng)L1點(diǎn)周期軌道的幅值較小時(shí),其不變流形能夠形成管狀結(jié)構(gòu),探測(cè)器可通過(guò)流管內(nèi)部的穿越軌道,實(shí)現(xiàn)從地球區(qū)域到月球區(qū)域的空間轉(zhuǎn)移,但卻不能到達(dá)近地軌道和近月軌道[7]。現(xiàn)有方法通常增加兩段軌道,分別將L1點(diǎn)周期軌道流向地球區(qū)域的穩(wěn)定流形與近地軌道拼接,將流向月球區(qū)域的不穩(wěn)定流形與近月軌道拼接[8]。每段軌道的拼接,至少需要增加一次脈沖。目前通常將不變流形上相對(duì)于主天體的位置與速度相互垂直的點(diǎn)作為拼接點(diǎn),再將霍曼轉(zhuǎn)移軌道與不變流形進(jìn)行拼接[9]。除此之外,連一君[10]通過(guò)lambert軌道段連接不變流形;Alessi等[11]從穩(wěn)定流形的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)中挑選拼接點(diǎn)來(lái)連接地球停泊軌道;徐明等[12]利用小推力實(shí)現(xiàn)了軌道拼接。

如果增大L1點(diǎn)周期軌道的幅值,不變流形可達(dá)到近地軌道和近月軌道,但卻不能形成流管,探測(cè)器只能沿著不變流形,作為周期軌道的漸近軌道來(lái)實(shí)現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移。譚明虎等[13]利用與繞月軌道相切的大幅值Lyapunov軌道,將地月轉(zhuǎn)移問(wèn)題轉(zhuǎn)化為地球停泊軌道到大幅值Lyapunov軌道的漸近轉(zhuǎn)移問(wèn)題。盡管省去了額外的拼接軌道,但作為漸近軌道,穩(wěn)定流形在接近Lyapunov軌道時(shí)都會(huì)在其附近飛行數(shù)圈且永遠(yuǎn)不能到達(dá)這個(gè)軌道,必然會(huì)增加轉(zhuǎn)移時(shí)間和速度脈沖。

針對(duì)現(xiàn)有的基于不變流形的地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法存在的轉(zhuǎn)移時(shí)間長(zhǎng)、需要額外速度增量的缺點(diǎn),本文設(shè)計(jì)了一種基于大幅值Lyapunov軌道穩(wěn)定流形的地月低能轉(zhuǎn)移方法。該方法以與月球停泊軌道相切的Lyapunov軌道作為參考軌道,再根據(jù)穩(wěn)定流形與Lyapunov軌道之間的偏差對(duì)其進(jìn)行調(diào)整,最終通過(guò)一條穩(wěn)定流形直接連接近地軌道與近月軌道進(jìn)而實(shí)現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移。本文所設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)移軌道在同樣僅需要2次速度增量的條件下,相比現(xiàn)有的基于大幅值Lyapunov軌道的地月轉(zhuǎn)移方法節(jié)省了軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間;相比霍曼轉(zhuǎn)移節(jié)省了能耗,實(shí)現(xiàn)了地月低能轉(zhuǎn)移。

1 地月三體系統(tǒng)

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

考慮地月圓型限制性三體問(wèn)題(circular restricted three-body problem,CRTBP),質(zhì)量可以忽略的探測(cè)器在地球和月球兩個(gè)主天體的引力作用下的運(yùn)動(dòng),其中主天體繞其公共質(zhì)心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)[14]。歸一化地球質(zhì)量m1和月球質(zhì)量m2之和為單位質(zhì)量(m1/m2=0.0123),則:

(1)

(2)

其中:Ω為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的等效勢(shì)能:

(3)

設(shè)矢量r1和r2為探測(cè)器到兩個(gè)主天體的距離,有:

(4)

CRTBP系統(tǒng)中,存在雅可比積分如下:

(5)

在地月三體系統(tǒng)中,單位長(zhǎng)度為地月之間的距離L=3.844×105km,單位時(shí)間為T(mén)=104 h,單位速度為V=1024 m/s。

1.2 大幅值Lyapunov軌道及其不變流形

在地月CRTBP下,平動(dòng)點(diǎn)周期軌道中的任意一點(diǎn)都可以演化出4條不變流形[2]。對(duì)于位于地球和月球之間的平動(dòng)點(diǎn)L1點(diǎn),其Lyapunov軌道必然會(huì)存在1條流向地球方向的穩(wěn)定流形。探測(cè)器在不變流形上運(yùn)行時(shí),可不耗能地實(shí)現(xiàn)空間轉(zhuǎn)移。當(dāng)Lyapunov軌道的幅值越大時(shí),系統(tǒng)的雅可比常數(shù)越小,而雅可比常數(shù)值決定了其不變流形的可達(dá)區(qū)域。當(dāng)L1點(diǎn)Lyapunov軌道取較大的幅值使其與月球停泊軌道相切于x軸時(shí),一方面,通過(guò)一個(gè)切向速度脈沖可以使探測(cè)器直接從Lyapunov軌道進(jìn)入月球停泊軌道;另一方面,Lyapunov軌道流向地球方向的穩(wěn)定流形可直接到達(dá)地球附近。

Xd=[0.983068,0,0,-2.35925]T

(6)

軌道的周期和雅可比常數(shù)分別為:

Td=7.27655,Cd=2.46791

(7)

如圖1所示,Lyapunov軌道與月球停泊軌道在Xd點(diǎn)相切,探測(cè)器在切點(diǎn)能夠通過(guò)脈沖減速?gòu)脑揕yapunov軌道進(jìn)入月球停泊軌道(本文軌道均采用無(wú)量綱坐標(biāo)系)。所以,在探測(cè)器到達(dá)切點(diǎn)時(shí),可以通過(guò)速度的減小,即增大系統(tǒng)雅可比常數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)從Lyapunov軌道到月球停泊軌道的轉(zhuǎn)移。

圖1 大幅值Lyapunov軌道與月球停泊軌道相切減速示意圖

λ1=λ2=1,λ3=0.00208529,
λ4=4.79549×102

(8)

其中:特征值λ3對(duì)應(yīng)的特征向量為:

ed=[-0.00261860,-0.00277165,
0.807490,0.589868]T

(9)

Lyapunov軌道穩(wěn)定流形的計(jì)算方法是通過(guò)對(duì)軌道上的點(diǎn)X施加一個(gè)小偏差量來(lái)確定初始狀態(tài),再反向時(shí)間積分來(lái)計(jì)算。穩(wěn)定流初始點(diǎn)的計(jì)算公式為:

Xs(Xd)=Xd±εed

(10)

其中:ε為一個(gè)正的小偏差量,代表不變流形積分初值與Lyapunov軌道上點(diǎn)X的偏差。式(10)中的正號(hào)和負(fù)號(hào)代表穩(wěn)定流形的正負(fù)兩個(gè)分支,分別流向地球方向和月球方向。當(dāng)穩(wěn)定流形能夠到達(dá)地球附近時(shí),則可通過(guò)一個(gè)速度脈沖使探測(cè)器離開(kāi)地球停泊軌道進(jìn)入穩(wěn)定流形。初始狀態(tài)為Xd的大幅值Lyapunov軌道穩(wěn)定流形的正分支如圖2所示。盡管大幅值Lyapunov軌道的穩(wěn)定流形不再具有管狀結(jié)構(gòu),但是與小幅值Lyapunov軌道的穩(wěn)定流形相比,它們可以到達(dá)更加接近地球附近的區(qū)域,從而方便探測(cè)器從地球停泊軌道切向進(jìn)入穩(wěn)定流形。如果選擇距離地球表面167 km,即距離地心半徑為RE=0.0170265的近地軌道作為地球停泊軌道,那么這個(gè)大幅值Lyapunov軌道穩(wěn)定流形的正分支可以直接到達(dá)地球附近。

圖2 大幅值Lyapunov軌道的穩(wěn)定流形

對(duì)于Lyapunov軌道的穩(wěn)定流形,小偏差量ε的大小會(huì)影響穩(wěn)定流形在軌道周?chē)\(yùn)行的時(shí)間。圖3為以Xd+εed為初始狀態(tài),通過(guò)不同偏差值反向時(shí)間積分20個(gè)單位時(shí)間的穩(wěn)定流形的正分支。當(dāng)ε=10-6時(shí),穩(wěn)定流形在Lyapunov軌道周?chē)\(yùn)行大約3個(gè)周期;當(dāng)ε=10-5和ε=10-4時(shí),穩(wěn)定流形在Lyapunov軌道周?chē)\(yùn)行大約2個(gè)周期后流向地球;當(dāng)ε=10-3、ε=10-2和ε=10-1時(shí),穩(wěn)定流形在Lyapunov軌道周?chē)\(yùn)行大約1個(gè)周期后流向地球。由此可見(jiàn):ε越大,穩(wěn)定流形受到Lyapunov軌道吸引而在其周?chē)\(yùn)行的時(shí)間越短。

圖3 不同偏差值對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定流形流向地球方向的分支

2 軌道設(shè)計(jì)方法

在地月CRTBP下,由于共線平動(dòng)點(diǎn)L1點(diǎn)處于地球和月球之間,L1點(diǎn)的Lyapunov軌道必然會(huì)存在一條反向時(shí)間積分流向地球區(qū)域的穩(wěn)定流形和一條正向時(shí)間積分流向月球區(qū)域的不穩(wěn)定流形。不變流形可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移,探測(cè)器處于不變流形上可不耗能地靠近或者遠(yuǎn)離Lyapunov軌道。但是,不變流形無(wú)論是靠近還是離開(kāi)平動(dòng)點(diǎn)周期軌道,都會(huì)在接近周期軌道時(shí)飛行數(shù)圈且永遠(yuǎn)不能到達(dá)這個(gè)軌道。一方面,平動(dòng)點(diǎn)周期軌道與不變流形之間漸近過(guò)程增加了軌道轉(zhuǎn)移所需要的時(shí)間;另一方面,現(xiàn)有方法通常忽略了周期軌道與不變流形之間的過(guò)渡,所設(shè)計(jì)出的轉(zhuǎn)移軌道并非一條完整連續(xù)的軌道,且未將過(guò)渡時(shí)所需的能耗考慮在內(nèi)。

本文設(shè)計(jì)了一種基于L1點(diǎn)大幅值Lyapunov軌道的地月轉(zhuǎn)移方法。該方法通過(guò)一條流向地球方向的穩(wěn)定流形直接連接近地軌道與近月軌道,軌道在地球和月球附近的終止條件通過(guò)最近點(diǎn)截面來(lái)實(shí)現(xiàn)。

2.1 最近點(diǎn)截面

在地月軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中,保證轉(zhuǎn)移過(guò)程中能耗盡可能低的條件是:探測(cè)器離開(kāi)地球停泊軌道時(shí)通過(guò)一個(gè)切向脈沖使其速度增大,進(jìn)入月球停泊軌道時(shí)再通過(guò)一個(gè)切向脈沖使其速度減小。軌道轉(zhuǎn)移的過(guò)程通常通過(guò)龐加萊截面實(shí)現(xiàn),但是傳統(tǒng)的龐加萊截面(以x軸為截面)并不能保證探測(cè)器的切向加速或者減速,所以本節(jié)引入最近最遠(yuǎn)點(diǎn)截面來(lái)設(shè)計(jì)地月低能轉(zhuǎn)移軌道。

(11)

(12)

表明相對(duì)于地球的位置向量垂直于速度向量,即

r·v=0

(13)

根據(jù)CRTBP動(dòng)力學(xué)方程,如果軌道在t時(shí)刻滿足式(13)時(shí),當(dāng)滿足條件

(r·v)t-<0,(r·v)t=0,(r·v)t+>0

(14)

時(shí),該點(diǎn)為近地點(diǎn);當(dāng)滿足條件

(r·v)t->0,(r·v)t=0,(r·v)t+<0

(15)

時(shí),該點(diǎn)為遠(yuǎn)地點(diǎn)。最近最遠(yuǎn)點(diǎn)截面圖通常以探測(cè)器軌道在質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的位置向量[x,y]作為投影點(diǎn)坐標(biāo),由此可以確定軌道相對(duì)于地心的位置向量[x+μ,y],而軌道的速度向量垂直于其相對(duì)于地心的位置向量。

最近點(diǎn)截面通常稱為近拱點(diǎn)龐加萊截面,可用來(lái)設(shè)計(jì)大幅值Lyapunov軌道的穩(wěn)定流形與地球停泊軌道之間的拼接。當(dāng)穩(wěn)定流形在以地球?yàn)橹行牡慕包c(diǎn)龐加萊截面圖上的投影點(diǎn)剛好落在地球停泊軌道上時(shí),則通過(guò)投影點(diǎn)位置可以施加切向脈沖。然而,需要注意的是:單從近拱點(diǎn)龐加萊截面圖上的投影點(diǎn)判斷,每一個(gè)投影點(diǎn)都可以代表兩個(gè)互相相反的方向。在圖4中,投影點(diǎn)a1對(duì)應(yīng)的軌道與地球停泊軌道速度方向相同,則探測(cè)器離開(kāi)圓軌道所需要的脈沖值最小,為v1-vE;投影點(diǎn)a2對(duì)應(yīng)的軌道與地球停泊軌道速度方向相反,則探測(cè)器離開(kāi)圓軌道所需要的脈沖值最大,為v2+vE。所以,當(dāng)探測(cè)器在地球停泊軌道上運(yùn)行時(shí),對(duì)其施加一個(gè)脈沖,能夠使其離開(kāi)該軌道。如果施加脈沖后系統(tǒng)的雅可比常數(shù)固定,那么脈沖值最小的充要條件是:所施加的脈沖為切向速度脈沖且與地球停泊軌道運(yùn)行方向相同。

圖4 最近點(diǎn)截面圖的脈沖關(guān)系

2.2 地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)

在地月軌道轉(zhuǎn)移根據(jù)本文1.2節(jié)的內(nèi)容,可知初始狀態(tài)為Xd的L1點(diǎn)大幅值Lyapunov軌道與高度為100 km的月球停泊軌道相切,并且其穩(wěn)定流形能夠到達(dá)地球附近。所以,利用初始狀態(tài)為Xd的L1點(diǎn)大幅值Lyapunov軌道能夠?qū)崿F(xiàn)地月軌道轉(zhuǎn)移。然而,探測(cè)器在穩(wěn)定流形上運(yùn)動(dòng)時(shí)永遠(yuǎn)不能到達(dá)Lyapunov軌道。當(dāng)偏差值設(shè)置較小時(shí),穩(wěn)定流形會(huì)圍繞Lyapunov軌道運(yùn)行數(shù)圈,增加了轉(zhuǎn)移時(shí)間;當(dāng)偏差值設(shè)置較大時(shí),穩(wěn)定流形能夠較快地離開(kāi)Lyapunov軌道,但穩(wěn)定流形初始點(diǎn)也會(huì)距離Lyapunov軌道較遠(yuǎn),為轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計(jì)增加了難度。圖5為以Xd為初始狀態(tài)的Lyapunov軌道取的情況下得到的流向地球方向的穩(wěn)定流形。可以看出:Xd與穩(wěn)定流形的初始點(diǎn)Xd+εed之間存在一定的偏差,距離大約為73 km。

圖5 Lyapunov軌道與穩(wěn)定流形之間的偏差

Xs=X0+εes

(16)

由于X0與Xd非常接近,則es與ed近似,所以有:

(17)

根據(jù)式(12),如果近拱點(diǎn)龐加萊截面以月心為中心,則有:

(18)

(19)

在預(yù)先設(shè)置取值范圍的情況下,由于es與ed較為接近,則可以預(yù)估Δx的取值范圍并進(jìn)一步得到x0的取值范圍。在x0的取值范圍內(nèi),選擇x0并計(jì)算以x0為初始點(diǎn)的大幅值Lyapunov軌道,然后根據(jù)式(19)計(jì)算ε的值,可反向時(shí)間積分得到相應(yīng)的穩(wěn)定流形。

通過(guò)本文方法設(shè)計(jì)地月低能轉(zhuǎn)移軌道的流程如圖6所示。預(yù)先設(shè)置ε的取值范圍,預(yù)估Δx的取值范圍并進(jìn)一步得到x0的取值范圍;選定x0的值并計(jì)算以x0為初始點(diǎn)的大幅值Lyapunov軌道,根據(jù)式(19)計(jì)算ε的值,得到相應(yīng)的穩(wěn)定流形;當(dāng)穩(wěn)定流形在以地心為中心的近拱點(diǎn)龐加萊截面圖上的投影點(diǎn)落在近地軌道上時(shí),探測(cè)器能夠在該點(diǎn)實(shí)現(xiàn)從地球停泊軌道向穩(wěn)定流形的切向過(guò)渡,否則重新設(shè)置x0的值;通過(guò)穩(wěn)定流形在以月心為中心的近拱點(diǎn)龐加萊截面圖上的投影確定從穩(wěn)定流形進(jìn)入近月軌道的切點(diǎn),計(jì)算這個(gè)近月軌道半徑得到月球停泊軌道,得到了一條完整的地月轉(zhuǎn)移軌道。

圖6 轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法

3 數(shù)值仿真分析

在地月CRTBP中,選擇地球停泊軌道距離地球表面的距離為167 km,月球停泊軌道距離月球表面的距離為100 km,本文以Xd為初始值的大幅值Lyapunov軌道為參考軌道設(shè)計(jì)地月低能轉(zhuǎn)移軌道。

通過(guò)圖3可知:當(dāng)ε取值為10-6,10-5和10-4時(shí),穩(wěn)定流形在Lyapunov軌道周?chē)\(yùn)行至少2周,導(dǎo)致地月轉(zhuǎn)移時(shí)間過(guò)長(zhǎng);當(dāng)ε取值為10-3和10-2時(shí),穩(wěn)定流形僅在Lyapunov軌道周?chē)\(yùn)行1周,且隨著ε增大,穩(wěn)定流形逐漸接近地球;當(dāng)ε取值為10-1時(shí),盡管穩(wěn)定流形在Lyapunov軌道周?chē)\(yùn)行1周,但距離地球較遠(yuǎn)。因此,預(yù)先設(shè)置ε的取值范圍為[10-3,10-2],預(yù)估Δx∈[2.6×10-6,2.6×10-5],可確定x0的取值范圍。根據(jù)圖6中軌道設(shè)計(jì)流程,圖7為所得到的最短時(shí)間的地月轉(zhuǎn)移軌道,其對(duì)應(yīng)的大幅值Lyapunov軌道的初始狀態(tài)為:

圖7 通過(guò)穩(wěn)定流形得到的地月轉(zhuǎn)移軌道

X0=[0.983079,0,0,-2.36246]T

(20)

相應(yīng)的穩(wěn)定特征向量為:

es=[-0.00262780,-0.00274259,
0.804571,0.593845]T

(21)

與之對(duì)應(yīng)的ε=0.00415310,通過(guò)X0和ε可以得到穩(wěn)定流形的初始狀態(tài)并反向時(shí)間積分得到Lyapunov軌道流向地球方向的穩(wěn)定流形。這個(gè)穩(wěn)定流形在以地心為中心的近拱點(diǎn)龐加萊截面圖上的投影點(diǎn)落在距離地球表面距離為167 km的地球停泊軌道上。所以,這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)地球停泊軌道的分離點(diǎn),使得探測(cè)器能夠從地球停泊軌道通過(guò)切向速度脈沖進(jìn)入Lyapunov軌道流向地球方向的穩(wěn)定流形。另外,需要找到穩(wěn)定流形在以月心為中心的近拱點(diǎn)龐加萊截面圖上投影,而這個(gè)投影點(diǎn)可以定為月球停泊軌道的進(jìn)入點(diǎn)。需要注意的是,通過(guò)投影點(diǎn)確定的月球停泊軌道會(huì)與理想軌道(距離月球表面100 km)存在一定的偏差,但這個(gè)偏差通常非常小。在圖7中,探測(cè)器最終進(jìn)入的月球停泊軌道與月球表面的距離為100.018 km,與理想軌道僅存在0.018 km差距。探測(cè)器從雅可比常數(shù)為CE=58.3021的地球停泊軌道出發(fā),通過(guò)一個(gè)切向脈沖Δv1=3131.6 km/s進(jìn)入轉(zhuǎn)移軌道,轉(zhuǎn)移軌道的雅可比常數(shù)為C=2.46437,而探測(cè)器到達(dá)繞月軌道的雅可比常數(shù)為CM=5.50799,需要一個(gè)切向脈沖Δv2=789.1 km/s進(jìn)入月球停泊軌道。整個(gè)地月轉(zhuǎn)移過(guò)程所需要的總能耗為Δv=3920.7 km/s,轉(zhuǎn)移軌道所需要的總時(shí)間為62 d。

表1為本文方法與現(xiàn)有方法所得到的地月轉(zhuǎn)移軌道的參數(shù)對(duì)比。傳統(tǒng)的霍曼轉(zhuǎn)移方法所需要的能耗為3994.8 km/s,飛行時(shí)間為5.1 d。與霍曼轉(zhuǎn)移方法相比,本文方法盡管需要更長(zhǎng)的飛行時(shí)間,但卻能夠節(jié)約能量消耗。同樣基于大幅值Lyapunov軌道不變流形方法[13]的地月軌道轉(zhuǎn)移需要的總能耗為Δv=3890.2 km/s,飛行時(shí)間至少為95.8 d。與文獻(xiàn)[13]相比,本文方法減少了穩(wěn)定流形漸近Lyapunov軌道時(shí)所需的飛行時(shí)間和脈沖次數(shù)。與現(xiàn)有的基于Lyapunov軌道的地月轉(zhuǎn)移方法不同,本文方法利用Lyapunov軌道流向地球方向的穩(wěn)定流形直接將地球停泊軌道與月球停泊軌道連接進(jìn)而實(shí)現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移。優(yōu)點(diǎn)是:在飛行時(shí)間方面,轉(zhuǎn)移軌道始終處于地月系統(tǒng)內(nèi),且不用通過(guò)漸近Lyapunov軌道來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)移,轉(zhuǎn)移時(shí)間較短;在能耗方面,轉(zhuǎn)移軌道為不耗能的穩(wěn)定流形,探測(cè)器通過(guò)最近點(diǎn)截面實(shí)現(xiàn)地球停泊軌道的切向逃逸和月球停泊軌道的切向進(jìn)入,盡可能地減少了轉(zhuǎn)移能耗;在所需脈沖方面,僅需要最少的2次脈沖即可實(shí)現(xiàn)地月轉(zhuǎn)移。

表1 地月轉(zhuǎn)移過(guò)程中所需的速度增量和飛行時(shí)間

4 結(jié)論

利用L1點(diǎn)大幅值Lyapunov軌道的穩(wěn)定流形直接將近地軌道和近月軌道切向連接來(lái)實(shí)現(xiàn)地月低能轉(zhuǎn)移。相比霍曼轉(zhuǎn)移,該方法所得到的轉(zhuǎn)移軌道具有更少的能量消耗;相比其它基于Lyapunov軌道的地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法,該方法省去了與不變流形的拼接和探測(cè)器漸近Lyapunov軌道的時(shí)間,節(jié)省了軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間和脈沖次數(shù)。