地下箱形結構在爆炸地震波作用下動力響應的解析分析

劉 揚,趙躍堂,羅昆升,趙普天

(1.許昌學院 土木工程學院,河南 許昌 461000;2.陸軍工程大學 爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室,南京 210007; 3.火箭軍研究院,北京 100094;4.許昌學院 城市與環境學院,河南 許昌 461000)

當前,國家戰略指揮工程、大型水利水電工程、城市各類供給管線設施、城市有軌交通網絡等涉及可持續城市化的基礎工程正迅猛發展[1],地下空間的開發與利用已成大勢所趨。隨著各類鉆地核武器和精確制導武器打擊能力的提高,爆炸地震效應將對地下結構構成嚴重威脅[2]。因此,開展地下結構在爆炸地震波作用下的動力響應研究具有重要意義。

近年來,國內外學者利用試驗研究、理論分析和數值模擬等[3-9]方法對爆炸荷載作用下地下結構的動力響應進行了深入的研究。由于試驗研究的耗費很大,數值模擬精確度不高,理論分析方法能夠分析問題的物理本質并給出精確的結果,還可以在一定條件下檢驗數值解法的精度和正確性,因此,對地下結構在爆炸地震波作用下的理論解析方法有待深入研究。

理論分析方法的研究開始于20世紀六七十年代,且一般將動力響應問題簡化為加強洞室對彈性入射波的衍射問題。Pao等[10]采用波函數展開法首次研究了彈性波作用下無限空間中孔洞的衍射與動應力集中問題。Lee等[11-13]提出大圓弧假定,克服了P波和SV波散射時因波型轉換所帶來的不利影響,給出了P波和SV波作用下半空間無襯砌洞室的散射解析解。路亮等[14]利用波函數展開法研究了復合襯砌結構隧道在爆破地震波作用下衍射問題的解析方法,并開展了彈性P波作用下隧道結構動應力集中因數的敏感性分析。張運良等[15]推導了R波任意入射時考慮土-結構接觸界面間無滑移和完全滑移兩種極限狀態下圓形隧洞襯砌的橫向內力解析解。丁海濱等[16]運用波函數展開法,推導出了飽和土介質中深埋圓形復合式襯砌隧道對入射P波散射問題的解析解。宋金博等[17]基于SV波作用下,對飽和土介質中復合式圓形襯砌的減震機理進行了研究,并分析了襯砌厚度及彈性模量對動應力集中系數的影響。周鳳璽等[18]基于彈性波散射的基本理論,得到了多空溝對彈性SH波散射的解析解答,并分析了雙排空溝的隔振效果。王明洋等[19]首次構建地下核爆炸誘發工程性地震效應的計算理論,對深部大規模爆炸不可逆位移計算方法進行了探討。

常見的隧道多為圓形或圓柱形,對截面轉角劇烈、形狀不夠規整的結構研究較少。Kostrov[20-21]討論了嵌入無限彈性介質中剛性光滑楔塊上平面波的衍射現象,Wang等[22]也在考慮波的衍射后研究了爆炸波作用下淺埋結構的荷載理論。本文在Kostrov等的研究基礎上,運用彈性波的衍射理論,考慮了剛體散射與輻射散射、波的二維傳播效應、波的楔角繞射現象等因素對結構動力特性的影響,建立了地下箱形結構在爆炸地震波作用下動力響應的計算方法。該方法既可以計算襯砌結構,又可以計算周圍圍巖,與反應譜分析法和振動力法相比具有理論簡單、考慮全面、更接近實際等優點。

1 計算模型及入射波場

圖1為箱形襯砌模型,從模型中可以看出,箱形襯砌存在90°的拐角,當波傳播到結構上時,轉角處將發生繞射,因此問題就轉化為無限楔體上入射波的衍射問題。假定圍巖為無限、均勻、各向同性的線彈性介質;忽略構件的變形,將襯砌看作可動、均質、剛性的夾塞物(夾塞物是具有平滑表面、尖銳邊棱的多邊形),假設襯砌與圍巖介質之間完全接觸,不發生相對位移,即處于剛性接觸狀態;認為爆炸地震波的波陣面是平面的且與結構縱長方向平行,即為一維平面應變波。基于這些假定,可以將地下箱形襯砌的衍射模型簡化為平面問題,計算簡圖如圖2所示,襯砌的寬為2L,高為2H,r為楔角的矢徑,e為入射波角度,θ為楔體的頂角。

2 介質中的波動場分析

當襯砌處于靜止狀態,圍巖介質的位移矢量us(分量為us和vs)與入射波的位移矢量u(i)(分量為u(i)和v(i))完全一致,即

us(x,y,t)=u(i)(ct-xcose-ysine)

vs(x,y,t)=v(i)(ct-xcose-ysine)

(1)

當t>0時,襯砌開始受到入射波擾動的影響,此時圍巖介質的運動狀態可表示為

us(x,y,t)=u(i)(x,y,t)+u(s)(x,y,t)

vs(x,y,t)=v(i)(x,y,t)+v(s)(x,y,t)

(2)

式中,u(s),v(s)為擾動波場的結構位移分量,包括結構平滑表面產生的波反射和轉角處形成的波衍射。

初始條件為

us(x,y,0)=0

vs(x,y,0)=0

(3)

圍巖視為單相彈性介質,其矢量波動方程可表示為

(4)

式中：λ,μ為介質的Lame常數;ρ為介質的密度;f為單位體力;?2為Laplace算子;?為Hamilton算子。

根據Helmholtz矢量分解定理,位移矢量可分解為

u=?φ+?×ψ

(5)

式中,φ,ψ分別為介質各相的標量和矢量勢函數。

將式(5)代入式(4)化簡可得解耦的波動方程為

(6)

彈性介質中位移和應力可以用勢函數表示為[23]

u=?φ/?x+?ψ/?y,v=?φ/?y-?ψ/?x

(7)

(8)

根據Kostrov對無限彈性介質中剛性光滑楔塊上平面波衍射現象的研究,結合Duhamel積分,可以得到縱波入射時的標量和矢量的位移勢函數的表達式為

sinkπcosk?coskθ[P(ξ)-P-1(ξ)],

sinkπcosk?coskθ[P(η)-P-1(η)]

(9)

橫波入射時的標量和矢量的位移勢函數的表達式為

sinkπcosk?coskθ[P(ξ)-P-1(ξ)],

sinkπcosk?coskθ[P(η)-P-1(η)]

(10)

3 荷載形式及波場分析

襯砌作為無限介質中的剛性夾塞物,設襯砌的水平位移為U(x,y,t),垂直位移為V(x,y,t),轉角位移為Θ(x,y,t),則襯砌的運動方程為

(11)

式中：m=4ρkLH為單位長度的結構質量,ρk為結構的密度;Jz=4ρkLH(L2+H2)/3為結構對z軸的轉動慣量;σx,σy為結構沿x和y方向的應力;M為結構的合力矩。應力和合力矩的表達式為

(12)

式中,[σxx],[σyy],[τxy]=[τyx]為襯砌對應兩邊的應力差,具體表達式為

[σxx]=σxx(+0,y,t)-σxx(-0,y,t),

[σyy]=σyy(x,+0,t)-σyy(x,-0,t),

[τxy]=τxy(+0,y,t)-τxy(-0,y,t),

[τyx]=τyx(x,+0,t)-τyx(x,-0,t)

(13)

當爆炸地震波傳播到結構上會發生反射,相應轉角處會產生衍射,處于散射場中的結構運動(質量中心的平動和圍繞質量中心的轉動)還會形成卸載波。根據彈性波動理論,總波場等于入射波場、結構邊長處的反射波場、轉角處的衍射波場三者組成的加載波場與結構平動、轉動形成的卸載波場的線性疊加。

3.1 荷載形式

參考既有文獻[24],本文采用三角形爆炸荷載,荷載形式為

(14)

式中：τi為荷載的持續作用時間;t0為荷載的到達時間;tr為升壓時間;pm為荷載峰值。

自由場峰值壓力采用TM5-855-1公式[25]

(15)

式中：p0為峰值壓力;β為系數(與介質材料有關),取為0.47;f0為爆炸耦合系數;ρ為介質密度;c為波速;ρc為介質材料的聲阻抗;R為裝藥距所求點的距離;W為裝藥質量;n為衰減系數。

峰值壓力沿襯砌表面分布表達式為[26]

pm=p0KeKOTPKσ

(16)

式中：Ke為衰減系數,與土壤特性有關;Kσ為側壓力系數;KOTP為廣義反射系數。KOTP的表達式為

(17)

3.2 剛體散射的總波場

以縱波為例,襯砌頂板邊長處的散射區(入射、反射平面波)產生的應力表達式為

(18)

襯砌頂板兩端轉角處的衍射區(即繞射區,形成的是衍射柱面波,因轉角1、轉角2同時發生衍射,衍射半徑相等,均為r=cpt=L,位移u(i)(t)/cp=t)產生的應力表達式為

(19)

式中,χ為轉角處衍射波序列。頂板總的應力表達式為

σding(1)(t)=σ(i)(t)+σ(r)(t)+σ(d)(t)=

(20)

前兩項反映的是長邊散射處和楔角衍射處各自速度項所對應的一維效應,第三項反映的是楔角衍射處位移項所對應的二維效應。

底板邊長處的入射、鏡面反射平面波的應力表達式為

(21)

底板兩端轉角處衍射柱面波的應力表達式為

σ(d)(t)=σ1(d)(t)+σ2(d)(t)=

(22)

式中,A′為可動剛體的合力系數。底板總的應力表達式為

σdi(1)(t)=σ(i)(t)+σ(r)(t)+σ(d)(t)=

(23)

3.3 襯砌整體運動引起輻射散射的總波場

當襯砌向下運動時,頂板處產生的平面卸載波所對應的應力表達式為

(24)

頂板處反射的結構卸載波所對應的應力表達式為

(25)

頂板兩端轉角處產生的柱面卸載波所對應的應力(位移U(t)/cp=t)表達式為

(26)

襯砌運動引起的頂板卸載波場的應力表達式為

σding(2)(t)=σ(i)(t)+σ(r)(t)+σ(d)(t)=

(27)

前兩項反映的是頂板運動卸載和轉角卸載各自速度項所對應的一維效應,第三項反映的是轉角卸載位移項所對應的二維效應。

底板邊長處的入射、鏡面反射平面波的應力表達式為

(28)

底板兩端轉角處衍射柱面波的應力表達式為

σ(d)(t)=σ1(d)(t)+σ2(d)(t)=

(29)

襯砌運動引起的底板卸載波場的應力表達式為

σdi(2)(t)=σ(i)(t)+σ(r)(t)+σ(d)(t)=

(30)

綜合式(20)和式(27)可得襯砌頂板總的應力表達式為

σj(t)=σding(1)(t)+σding(2)(t)=

cp[χu(i)(t)-A′U(t)]}

(31)

綜合式(23)和式(30)可得襯砌底板總的應力表達式為

(32)

初始條件為

(33)

根據Kostrov假設,襯砌周邊邊界上的切向應力為零,法向位移連續。應力和位移邊界條件為

(34)

不同類型的波入射時邊界條件的表達式不一樣。

3.3.1 P 波

P波是由體積膨脹的傳播所引起的膨脹波沒有旋轉分量,但伴隨著畸變,因此,在P波沿著x軸傳播(垂直入射)的情況下,剛性結構物的運動可以用與其傳播方向重合的平動位移來表示。襯砌在周邊邊界Γ上的邊界條件為

(35)

3.3.2 SV波

SV波是由旋轉擾動的傳播引起的畸變波或剪切波,沒有體積膨脹,屬于等容波,當SV波入射時,剛性結構物的運動可分解為與其傳播方向垂直的平動和轉動兩部分。邊界條件為

(36)

3.3.3 SH波

SH波和SV波一樣,是由旋轉擾動的傳播引起的畸變波或剪切波,沒有體積膨脹,屬于等容波,但偏振方向與襯砌軸向平行。因此當SH波入射時,剛性結構物沿著自身縱長方向平動,僅有位移分量uzz和應力分量σrz,σθz非零,屬于反平面問題。對于固定不動的剛性結構物,若具有位移為零的邊界條件,則必有一作用于其表面上的凈力Rz(r,θ,t)存在,該力被能夠固定結構物的某種外在約束力所抵消。但若沒有這樣的約束力,結構將作剛體運動,所以可移動剛體的邊界條件為

(37)

求解彈性介質拉梅動力方程式(4),在初始條件式(3)和邊界條件式(34)下的初邊值問題,可以先根據式(12)和式(13)求得合力與合力矩,再依據式(11)和式(33)確定剛性結構運動參數與入射波參數之間的關系,利用Fortran平臺編程,最終可以得到襯砌和圍巖的位移及應力分布。

4 結果驗算與算例分析

4.1 結果驗算

將本文計算方法與基于一維波理論的集中參數模型[27]、一維彈塑性波動理論模型[28]以及洛陽試驗[29]的結果進行對比,圖2為頂板和底板壓力時程曲線(參數取值與何唐甫的研究相同)。從圖2中可以看出,在爆炸地震波的整個過程中,基于一維波理論的集中參數模型和彈塑性波動模型的計算結果偏大,本文計算方法(考慮波傳播二維效應的衍射模型)與洛陽試驗數據吻合得很好。峰值相差<1%,峰值到達時間完全相同,峰值前、后曲線也符合得很好。但底板的壓力分布有一點差別,本文方法計算出的曲線沒有出現第二峰值,這主要是因為底板荷載主要是地基反力,不像頂板一樣是平面波直接作用,波動效應不太明顯,而試驗中結構基坑回填土層下尚有未擾動的原狀地基土,底部荷載在二者分層界面上會產生反射[30]。實際上,從理論角度分析,不計側壁剪力時底板壓力時程曲線只出現一個峰值,峰值到達時間是結構卸載波與地表卸載波相交的時刻,因此,本文模型的建立以及求解過程是正確的。

4.2 算例分析

計算分析中,襯砌頂板厚為0.8 m,底板、側墻厚0.6 m,外截面5.2 m×3.6 m,內截面4.0 m×2.2 m,襯砌結構采用鋼筋混凝土,鋼筋混凝土結構彈性模量為Ek=3.78 GPa,結構材料密度ρk=2 500 kg/m3。圍巖介質的密度ρ=1 950 kg/m3,泊松比ν=0.42,彈性模量E=70 MPa。根據試驗數據,可取自由場荷載的升壓時間為28.1 ms,正壓作用時間為300 ms,比例爆距為0.5,荷載峰值為3.02×105Pa。

4.2.1 入射角的影響

圖3給出了不同入射角下,襯砌頂部、底部和側墻位移時程曲線。從圖3可以看出,入射角對位移影響顯著,襯砌不同部位呈現明顯的非一致分布特性。側墻和底板中部豎向位移隨著入射角度的增加而增加。相比之下,頂板位移變化規律比較復雜,在開始時,隨著入射角度的增加,頂板豎向位移逐漸減小,當時間大于0.08 s時,豎向位移隨著入射角度的增加而急劇增長,總體表現為正向先減后增、反向先減后增。同時還可看出左側墻中部位移峰值大于頂板和底板中部,和文獻[31]所得規律一致。這是因為箱形結構存在90°拐角,兩側墻楔形體部位的入射波將在楔形體內經過多次反射后離開楔形體,入射波在楔角處將產生交換的衍射波(既有衍射縱波也有衍射橫波),導致該部位的振動反應比其他位置處要強烈。襯砌結構的位移越大,越不利于維持其動力穩定,說明箱形結構的側墻最薄弱,在遭受爆炸地震荷載作用時最容易遭受變形甚至破壞,因此,在設計和施工過程中應當考慮側墻處的加固處理。

(a) 頂板中部

左側墻中部加速度時程曲線如圖4所示。從圖4可知：當垂直入射時,由于對襯砌左側墻而言僅有一轉角受載,故而壓力較小,近乎為零,結構整體運動并不顯著,對應的加速度曲線表現出與x軸近似重合的現象;在入射角度較小(<45°)時,曲線變化較平緩,加速度增幅不大;當入射角度較大(>45°)時,隨著入射角度的增大,振動頻率逐漸減小,加速度峰值逐漸越加;當波90°入射時,由于襯砌迎波面長邊處完全處于結構與入射波相互作用狀態,加速度峰值最大(2g)。可見入射角度的變化對加速度的影響較大。

圖4 不同入射角加速度時程曲線

4.2.2 結構寬高比的影響

研究表明,圍巖應力隨著襯砌斷面尺寸的增加而增加,會造成圍巖的穩定性降低。其他參數不變,以入射波30°傾斜入射,分析襯砌寬高比變化對結構動力特性的影響規律。圖5給出了當寬高比不同時,頂板中部、左側墻中部和底板中部位移分布情況。由圖5可以看出,寬高比變化對頂板的豎向位移影響較小,隨著寬高比的增大,波峰和波谷幅值略微增加,而左側墻受寬高比變化影響較大,變化規律剛好相反。寬高比為1.0,1.5,2.0時,左側墻對應豎向位移峰值分別為0.018 9 m,0.011 7 m,0.004 63 m,相比寬高比為1.0時,分別減少了152.7%,308.2%。與頂板和側墻相比,底板位移波形隨寬高比變化更為復雜,不止在峰值大小有變化,在出現峰值的時刻也發生變化,原因是爆炸地震波斜入射在底板處受拐角和底板散射效應的綜合影響,入射波的到達時間和峰值產生時間存在較大的差別,入射自由場和散射波場發生疊加,使波形更加復雜。

(a) 頂板中部

當寬高比不同時,頂板和側墻軸力時程曲線如圖6所示。由圖6可知,寬高比越大,頂板和側墻軸力越小。初始階段,頂板軸力為負(即為壓力),左側墻軸力發生了由正向負(由拉向壓)的轉換。由圖5和圖6分析可知,箱形結構寬高比大小為1左右時比較合理。

(a) 頂板中部

4.2.3 圍巖介質的影響

為了探討圍巖特性的影響,引入阻抗比κ來考慮襯砌與土體的相對剛度,定義如下

(38)

表1給出了圍巖介質物理力學參數[32]。

表1 圍巖物理力學參數

圖7反映阻抗比對結構動力響應的影響。從圖7可知,當阻抗比從0.17增加至0.97時,位移峰值減弱約64.1%,彎矩峰值減弱約267.9%,應力峰值減弱約31.1%。由此說明,隨著圍巖阻抗比的增加,頂板中部豎向位移、彎矩和應力均減小,且阻抗比的變化對彎矩和位移影響明顯。從圖7還可看出,當圍巖阻抗比從0.26降至0.17時,頂板彎矩和軸力曲線畸變,峰值變化明顯,這是因為圍巖性質發生了改變,由巖質圍巖變為了土質圍巖,剛度巨變所致。

(a) 位移

圖8為不同阻抗比下加速度時程曲線。從圖8可以看出,加速度曲線頻繁往復振蕩,整體來說,隨著阻抗比的增加,加速度峰值減小,振動頻率增大,當阻抗比大于0.17時,對加速度的影響更加明顯。這是由于圍巖特性越好,阻抗比越大,其約束結構變形、限制結構運動的能力越強。因此,工程設計中需要避開不良地質因素的影響,選擇特性良好的地層,以減弱結構動力反應。

4.2.4 爆炸距離的影響

其他參數不變,襯砌結構埋深9 m,在距離路面1.5 m處設置炸藥,炸藥當量為100 kg,不同距離上的荷載時程曲線如圖9所示。由圖9可知,受爆心距和襯砌幾何結構的影響,和自由空氣中不同,不同位置的壓力存在更多、更大的峰值,而且爆炸波到達時間和持續時間比自由空氣中復雜。隨著爆炸距離的增大,荷載分布曲線的峰值點也隨之偏移,且隨著距離的增大,峰值壓力逐漸降低;離爆炸距離越遠,壓力峰值隨爆心距增大衰減越慢,壓力時程曲線相對平緩。這是由于爆炸波在爆心附近區域發生多次入射、反射,導致波的流場較為復雜。在側墻處,由于襯砌的“角狀結構”對地震波反射具有強化作用,導致相應位置形成應力集中,峰值也較大。

(a) 頂板

5 結 論

本文在Kostrov等的研究基礎上,考慮了剛體散射與輻射散射、波的二維傳播效應、波的楔角繞射現象等因素對結構動力特性的影響,建立了地下箱形結構在爆炸地震波作用下動力反應的衍射模型,研究了入射波角度、襯砌寬高比、圍巖介質以及爆炸距離等因素對襯砌動力響應的影響機制。得到以下結論：

(1) 衍射模型考慮了襯砌和圍巖介質的相互作用和波傳播的二維效應,同一維波集中參數模型、一維彈塑性波動模型相比,更加接近試驗數據,有助于解決更復雜的工程應用問題。

(2) 入射角度對結構動力響應影響較大,隨著入射角的增大,襯砌不同部位呈現明顯的非一致分布特性。側墻和底板中部豎向位移隨著入射角度的增加而增加,頂板位移為正向先減后增、反向先減后增;左側墻中部位移峰值大于頂板和底板中部,容易受到破壞,應該采取合理的抗震加固措施來保證襯砌結構的安全穩定。

(3) 隨著寬高比的增大,襯砌位移隨之增加;底板位移對寬高比的變化敏感,峰值大小和峰值的時刻都發生變化;寬高比越大,頂板和側墻軸力越小。箱形結構寬高比大小為1左右時比較合理。

(4) 圍巖特性對襯砌四周受力影響很大,隨著圍巖阻抗比的增加,頂板中部豎向位移、彎矩和應力均減小,加速度曲線頻繁往復振蕩,且阻抗比的變化對彎矩和位移影響明顯。當阻抗比大于0.17時,對加速度的影響更加明顯。因此,把箱形結構簡化為剛體進行分析是偏于保守的,在進行地下結構動力分析時要注意圍巖特性的確定。

(5) 峰值壓力隨著爆炸距離的增加而減小;由于結構的反射作用,頂板處存在多個峰值,爆炸距離較大時,壓力時程曲線相對平緩;側墻的壓力響應幅值大于頂板。

影響爆炸地震波與結構相互作用的因素有很多,如土與結構界面處的反射和透射、土中應力衰減等。但因論文篇幅有限,這些因素的影響將另文介紹。此外,本文在處理箱形結構動力反應時,沒有考慮結構底部加設柔性墊層的影響,這與工程實際有所差異,需要進一步研究。