磁懸浮平臺直線同步電動機懸浮系統(tǒng)的分數(shù)階反步控制*

劉志堅, 藍益鵬, 徐澤來

(沈陽工業(yè)大學 電氣工程學院,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

為實現(xiàn)直線進給運動,傳統(tǒng)數(shù)控機床通常采用“旋轉電機和滾珠絲杠”的驅動模式[1]。由于中間環(huán)節(jié)的存在,不可避免地產生摩擦,降低機床的控制精度,減少機床使用壽命。無法滿足現(xiàn)代數(shù)控機床實際加工需求[2]。

將磁懸浮直線同步電動機(MLLSM)應用于數(shù)控機床磁懸浮平臺。通過控制懸浮系統(tǒng),可以實現(xiàn)平臺的穩(wěn)定懸浮[3]。從根本上消除摩擦對系統(tǒng)的影響,具有結構簡單、響應速度快等優(yōu)點。但由于取消了中間環(huán)節(jié),外部擾動等不確定性因素直接作用在MLLSM懸浮系統(tǒng)上,極大地增加了系統(tǒng)的控制難度。因此研究相應的MLLSM懸浮系統(tǒng)的控制策略具有重要意義。

傳統(tǒng)磁懸浮系統(tǒng)控制方法是在系統(tǒng)平衡點處進行線性展開,通過線性控制理論設計控制器。然而MLLSM懸浮系統(tǒng)具有較強的非線性,采用常規(guī)線性控制器難以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性[4]。反步控制(BC)的基本思想是將高階系統(tǒng)分解成多個子系統(tǒng)。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論,對每個子系統(tǒng)設計虛擬穩(wěn)定函數(shù)。在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時,得到總控制律,實現(xiàn)系統(tǒng)的全局跟蹤和調節(jié)[5]。然而BC對系統(tǒng)動態(tài)模型精確度要求較高,外部擾動、突加負載等不確定性因素會影響磁懸浮系統(tǒng)性能。為解決上述問題,通常采取復合控制方法。文獻[6]針對磁懸浮系統(tǒng)提出了一種自適應反步控制(ABC)方法,提高系統(tǒng)的位置跟蹤性能。文獻[7]結合ABC和滑?？刂?SMC)的優(yōu)點,設計出一種自適應反步滑模(ABSMC)控制算法,削弱不確定性擾動對系統(tǒng)的影響,提高磁懸浮系統(tǒng)的抗干擾能力。文獻[8]針對磁懸浮系統(tǒng)的位置跟蹤問題,提出了一種基于遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡的自適應反步控制策略,進一步提高系統(tǒng)控制精度和響應速度。文獻[9]采用區(qū)間二型模糊神經(jīng)網(wǎng)絡,對ABC中的不確定性擾動進行補償,保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速動態(tài)響應。

然而在實際應用中,傳統(tǒng)的整數(shù)階反步控制器難以實現(xiàn)磁懸浮系統(tǒng)的最佳控制性能[10]。分數(shù)階(FO)理論是在整數(shù)階(IO)微積分的基礎上提出來的。與傳統(tǒng)的IO控制器相比,FO控制器給予系統(tǒng)更高的參數(shù)自由度,能夠有效改善系統(tǒng)的瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。文獻[11]采用分數(shù)階PID對磁懸浮裝置中的懸浮對象進行控制,實現(xiàn)系統(tǒng)的快速動態(tài)響應。文獻[12]構造了一種新型FO積分滑模面,設計分數(shù)階滑?？刂破?FOSMC),進一步改善了系統(tǒng)的控制性能。文獻[13]將分數(shù)階反步控制器(FOBC)應用于非線性系統(tǒng)中,并通過仿真驗證了控制器的有效性。隨著FOBC理論的不斷發(fā)展,該控制方法迅速應用于直線同步電動機等交流伺服系統(tǒng)中[14]。

基于此,本文設計了一種分數(shù)階反步控制器。對MLLSM懸浮系統(tǒng)進行輸入輸出反饋線性化處理,在傳統(tǒng)BC的基礎上引入FO理論,構造分數(shù)階虛擬穩(wěn)定函數(shù)。設計FOBC控制MLLSM懸浮系統(tǒng)。證明系統(tǒng)穩(wěn)定性,并對其進行仿真研究。

1 MLLSM的運行機理

MLLSM磁懸浮平臺的具體結構如圖1所示。定子鐵心和勵磁繞組安裝在基座上。為實現(xiàn)運動平臺的穩(wěn)定懸浮,需要懸浮力與平臺自身重力相互平衡。通入直流電產生恒定的勵磁磁場與定子鐵心相作用,得到垂直向上的懸浮力。氣隙高度可以通過改變勵磁電流大小進行調節(jié)。

圖1 MLLSM磁懸浮平臺結構圖

動子鐵心和電樞繞組安裝在運動平臺上。為實現(xiàn)運動平臺的直線進給,需要水平推力推動平臺運行。通入三相交流電形成的行波磁場與勵磁磁場相作用,得到水平推力。水平推力可以通過改變交軸電樞電流大小進行調節(jié)。

2 MLLSM的數(shù)學模型

MLLSM在d-q軸下的電壓方程和磁鏈方程推導如下[15]。

電壓方程表示如下:

(1)

式中:ud、uq分別為d、q軸的電壓分量;uf為勵磁電壓;id、iq分別為d、q軸的電流分量;if為勵磁電流;ψd、ψq分別為d、q軸的磁鏈;ψf為勵磁磁鏈分量;rs、rf分別為電樞繞組、勵磁繞組的電阻;v為進給速度;τ為極距。

磁鏈方程表示如下:

(2)

式中:Lmd、Lmq分別為d、q軸的主電感;Lσ、Lσf分別為電樞繞組、勵磁繞組的漏感。

采用id=0的矢量控制方式[16],可得懸浮力方程為

(3)

式(3)可改寫為

(4)

式中:K為磁懸浮系數(shù),取K=5.569×10-6。

垂直方向的運動方程為

(5)

式中:m為運動平臺質量;f為不確定性擾動。

(6)

其中:

3 MLLSM懸浮系統(tǒng)分數(shù)階反步控制器的設計

3.1 MLLSM懸浮系統(tǒng)的反饋線性化

由式(6)可知,MLLSM懸浮系統(tǒng)并非嚴格反饋系統(tǒng),具有較強的非線性。反饋線性化(FL)通過坐標變換與狀態(tài)反饋,可將非線性系統(tǒng)轉換為線性系統(tǒng)[17],是一種精確的線性化方法。為判斷MLLSM懸浮系統(tǒng)是否能進行FL處理,對式(6)進行Lie導數(shù)運算,得到以下結果:

(7)

由式(7)可知,系統(tǒng)的相對階數(shù)為3,與系統(tǒng)(6)的維數(shù)相等,因此可以對懸浮系統(tǒng)進行反饋線性化處理。

根據(jù)相對階的定義和反饋線性化理論,對輸出函數(shù)求取對應相對階的Lie導數(shù),可得反饋律為

u=α(x)+β(x)u′

(8)

式中:u′為新的控制變量。

α(x)、β(x)分別為:

(9)

(10)

選取非線性坐標映射,則有

(11)

由上述推導可得狀態(tài)變量Z的線性系統(tǒng)方程為

(12)

式中:Fd為未知非線性函數(shù)。假設Fd為連續(xù)有界函數(shù)并滿足|Fd|≤ρ,其中ρ為正常數(shù)。

利用式(11)的非線性坐標映射關系,可在系統(tǒng)(12)上設計控制器,進而實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的控制。

3.2 分數(shù)階反步控制器的設計

傳統(tǒng)的反步控制雖然可以實現(xiàn)系統(tǒng)的位置跟蹤,但在實際應用中卻難以實現(xiàn)系統(tǒng)的最佳性能。因此提出分數(shù)階反步控制方法,將分數(shù)階理論應用于傳統(tǒng)的反步控制當中。構造分數(shù)階虛擬穩(wěn)定函數(shù),擴大控制器參數(shù)的整定范圍,改善MLLSM懸浮系統(tǒng)的瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應。

(13)

式中:t0是初始條件;λ為階次[18]。

第一步:定義位置的跟蹤誤差e1。

e1=z1d-z1

(14)

式中:z1為實際氣隙高度;z1d為參考氣隙高度。

對式(14)求導:

(15)

構造分數(shù)階虛擬穩(wěn)定函數(shù)α:

(16)

式中:a為分數(shù)階微分階數(shù);b為分數(shù)階積分階數(shù);k1,c1,c2為非零正數(shù)。

(17)

第二步:定義虛擬跟蹤誤差e2。

e2=α-z2

(18)

對式(18)求導得:

(19)

構造虛擬穩(wěn)定函數(shù)β:

c1D1+ae1+c2D1-be1

(20)

式中:k2為非零正數(shù)。

e1(c1Dae1+c2D-be1)

(21)

第三步:定義虛擬跟蹤誤差e3。

e3=β-z3

(22)

對式(22)求導得:

(23)

e1(c1Dae1+c2D-be1)

(24)

因此分數(shù)階反步控制律設計為

(25)

式中:sgn(·)為不連續(xù)的符號函數(shù)。

(26)

(27)

4 仿真分析

MLLSM控制系統(tǒng)的仿真框圖如圖2所示。所設計的FOBC對磁懸浮平臺氣隙高度進行控制。通過Matlab對所設計的分數(shù)階反步控制器進行仿真研究,并與常規(guī)反步控制器和PI控制器進行對比。圖2中,MLLSM的主要參數(shù)為Ld=Lq=0.018 74 H,Lmd=0.095 H,極對數(shù)Pn=3,if=5 A,rs=1.2 Ω,m=10 kg,τ=0.048 m。

圖2 MLLSM懸浮控制系統(tǒng)結構圖

反步控制器和分數(shù)階反步控制器參數(shù)在選取時均經(jīng)過多次仿真試湊調整,以保證懸浮系統(tǒng)達到最佳的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。其參數(shù)設置為k1=320,k2=80,k3=55,c1=0.3,c2=0.2,a=0.4,b=0.3。

(1) 分析磁懸浮直線同步電動機啟動性能,設置參考氣隙高度為2.5 mm,響應曲線如圖3所示。

圖3 啟動時氣隙高度響應曲線

由圖3可知,采用PI控制的響應時間約0.12 s;采用BC控制的響應時間約0.07 s;采用FOBC控制的響應時間約0.05 s。三種控制方法均無超調。通過FOBC控制的懸浮系統(tǒng)空載啟動時,響應時間與BC和PI控制系統(tǒng)相比分別減少了28.57%和58.33%,啟動性能最優(yōu)。

(2) 分析磁懸浮直線同步電動機的跟蹤性能。設置初始參考氣隙高度為2.5 mm,在0.3 s時加入幅值為0.1 mm的階躍信號并在0.6 s時移除,響應曲線如圖4所示。

圖4 氣隙高度響應曲線

由圖4可以看出,MLLSM懸浮系統(tǒng)氣隙高度參考值改變時,采用PI控制的響應時間約0.15 s;采用BC控制的響應時間約0.075 s;采用FOBC控制的響應時間約0.05 s,與BC和PI控制系統(tǒng)相比分別降低了33.34%和66.67%。三種控制方法均無超調。通過對比可知,采用FOBC控制的懸浮系統(tǒng)具有較強的跟蹤性能。

(3) 分析磁懸浮直線同步電動機在參數(shù)攝動下的控制性能。樣機參數(shù)攝動最大值為額定參數(shù)的12.5%,改變參數(shù)rf為已知攝動的最大值,氣隙高度響應曲線如圖5～7所示。

圖5 PI控制rf改變時氣隙高度響應曲線

由圖5、圖6可知,當MLLSM懸浮系統(tǒng)受到參數(shù)攝動影響時,采用PI控制的響應時間約0.20 s,較無參數(shù)攝動響應時間增加66.7%。采用BC控制的響應時間約0.09 s,較無參數(shù)攝動響應時間增加28.5%。由圖7可知,采用FOBC控制系統(tǒng)受到參數(shù)攝動影響時,響應時間沒有明顯變化。通過對比,采用FOBC控制的懸浮系統(tǒng)可以有效削弱參數(shù)攝動對系統(tǒng)的影響。

圖6 BC控制rf改變時氣隙高度響應曲線

圖7 FOBC控制rf改變時氣隙高度響應曲線

(4) 分析磁懸浮直線同步電動機突加負載擾動的抗干擾性能。負載擾動由f=30 N的階躍信號模擬,在0.3 s時加入該信號并在0.6 s時移除。響應曲線如圖8和圖9所示。

圖8 突加階躍擾動時氣隙高度響應曲線

圖9 突加階躍擾動時勵磁電流響應曲線

由圖8可以看出,MLLSM懸浮系統(tǒng)受到突加負載擾動影響時,采用PI控制氣隙高度下降約為4.8×10-5m,恢復時間約0.16 s;采用BC控制氣隙高度下降約2.05×10-5m,恢復時間約0.11 s;采用FOBC控制氣隙高度下降約1.1×10-5m,恢復時間約0.04 s。由數(shù)據(jù)可知,采用PI控制系統(tǒng)氣隙動態(tài)降落最大,恢復時間最為緩慢。BC略強于PI控制系統(tǒng),但抗干擾性能難以滿足實際需求。通過FOBC控制的懸浮系統(tǒng)受到突加擾動時所受的影響最小,氣隙動態(tài)降落與BC和PI控制系統(tǒng)相比分別降低46.34%和77.08%,恢復時間分別減少63.64%和75%。

由圖9可以看出,采用PI控制電流幅值約為8.17 A,恢復時間約0.18 s;采用BC控制電流幅值約8.20 A,恢復時間約0.14 s;采用FOBC控制電流幅值約8.40 A,恢復時間約0.045 s。通過FOBC控制的懸浮系統(tǒng)突加擾動時電流超調量較高,恢復時間與BC和PI控制系統(tǒng)相比分別降低67.86%和75%,具有良好的抗干擾性能。

(5) 分析磁懸浮直線同步電動機端部效應的抑制能力。系統(tǒng)的端部效應通過在0.3 s時加入正弦函數(shù)f=15sin(20t) N的階躍信號進行模擬,響應曲線如圖10所示。

圖10 突加正弦擾動時氣隙高度響應曲線

由圖10可以看出,加入端部效應擾動后采用PI控制氣隙高度波動較大,波動幅值約1.9×10-5m;采用BC控制氣隙高度波動幅值約8×10-6m,較PI控制下降57.89%,具有一定的端部效應抑制能力。采用FOBC控制氣隙高度波動不明顯。對比可知,通過FOBC控制的懸浮系統(tǒng)能夠有效削弱控制器輸出的抖振,對端部效應有明顯的抑制效果。

5 結 語

針對磁懸浮直線同步電動機懸浮系統(tǒng),提出一種分數(shù)階反步控制方法,得到如下結論:

(1) 研究MLLSM懸浮系統(tǒng)的運行機理。采用id=0的矢量控制方式,建立MLLSM懸浮系統(tǒng)的數(shù)學模型,推導出其狀態(tài)空間方程;通過輸入輸出反饋線性化,將MLLSM懸浮系統(tǒng)轉換為線性系統(tǒng)。

(2) 提出分數(shù)階反步控制方法。構造分數(shù)階虛擬穩(wěn)定函數(shù),將微分階次項和積分階次項引入到虛擬穩(wěn)定函數(shù)當中;設計分數(shù)階反步控制器,擴大控制器參數(shù)的整定范圍,有效提高懸浮系統(tǒng)的瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應;構造Lyapunov函數(shù),證明了系統(tǒng)穩(wěn)定性。

(3) 通過Matlab對懸浮控制系統(tǒng)進行仿真研究。將分數(shù)階反步控制器與常規(guī)反步控制器和PI控制器進行對比,仿真驗證FOBC能夠提高懸浮系統(tǒng)響應速度,有效抑制不確定性擾動對懸浮系統(tǒng)的影響。