問得清如許 深度學概念

陳志遠

在人類認識世界的過程中，從感性上升到理性，并把感知的事物的共同本質特征進行抽象概括，形成的結果為概念，概念具有內涵和外延兩個重要的理解維度. 數學概念則是對數量關系和空間形式的共同本質特征的形式反映，是現實事物與抽象結果辯證統一的特有存在，是數學獨特的思維形式. 同時，數學概念是進行數學運算和數學推理的基本依據，人們通過對數學概念中特征的進一步研究，構建數學法則、定理、公式，解決數學問題，并在此過程中不斷積累學習經驗，感悟數學思想，發展學科核心素養［1］.

羅增儒教授指出：“數學概念是數學血肉的細胞，數學思想是數學肌體的靈魂. 一個沒有血肉、沒有靈魂的人，即使穿上華麗的外衣，也只是僵尸. ”王淼生老師指出：“數學教學中最困難的、最棘手的就是數學概念. ”因此，數學概念教學的效果與學生數學學習的可持續性緊密相關，而用深度學習理念指導概念教學，發展學生數學核心素養，能真正實現數學育人功能. 下面，本文結合教學實踐，談談初中數學概念教學的改進策略［2］.

數學概念教學歧途

數學學習過程是以概念為前提進行思維，使知識、技能、思想有機統一. 一線數學概念教學存在過度形式化的問題，導致學生將知識零散地記憶和堆砌，將數學概念的理解變成對概念的形式的淺層認識. 具體來說，主要有以下幾類.

1. 簡單舉例，缺乏對概念本質的理解

數學概念是對具象事物的簡明概括，并用數學的語言（文字、符號、圖形）對概括的結論進行描述. 如果學生以記憶的方式取代思考，缺乏經歷觀察、猜想、例證、歸納的過程，會誤認為數學概念是記憶性的知識，這會導致抽象能力和創新思維得不到培養，學科思維僵化. 例如，在一元一次方程的教學過程中，一些年輕教師教學時會出現如下情況：教學一元一次方程的概念時，未能深悟方程是刻畫現實事物的工具，而只是羅列幾個例子，并分析式子結構的特征，便直接給出一元一次方程的概念，導致師生都糾結諸如x+1=x-2的式子是不是一元一次方程.

2. 形式過度，忽略對知識內在的聯系

數學概念是基于對現實事物的認識，并不斷對其內涵和外延進行校準而得到的合理、科學、完整的結果. 在形成和同化過程中，若學生對概念的形式過度記憶，缺少同化的過程，即缺少與之相關知識的聯系，將無法理解概念的全貌，難以遷移數學知識系統上升到高一級的平衡. 例如：在乘方概念教學時，不問乘方概念形成的必要性、合理性、正確性，只求能機械地將同因數的乘法表達轉化為乘方的形式，缺少引導思考“單獨一個數字或字母是冪嗎”“冪的底數和指數可以是什么”等，將導致學生無法理解冪的概念全貌.

3. 以練代學，弱化對數學思維的培養

數學概念的應用是基于對問題的思考，從問題的需要中找到應用的必要性，其是培養學生科學思維的重要契機. 如果學生缺少對問題本身的關注，過度聚焦于概念認知的易錯點，重復機械地訓練，將導致學習淺表化，反思也不足，從而難以提升數學思維能力. 例如，教學平行線的性質時，經常發現學生因學習“同位角”“內錯角”“同旁內角”時，以練代學，導致能力弱化成只有兩直線平行且被第三條直線所截時，才能找到這三類角.

為規避以上數學概念教學的誤區，筆者認為可結合深度學習理論指導數學概念教學.

數學概念教學回歸

深度學習的教學改進是深化基礎教育課程改革的重要抓手，是落實學生發展核心素養和課程標準的實踐途徑［2］. 基于初中數學深度學習的要求，教師要明確深度學習的主要特點，即“體會數學概念的整體結構和聯系”“參與數學概念的生成過程的思維活動”“感悟數學概念的核心內容”“形成數學概念的準確表達和遷移”，回歸數學概念教學的本位. 為此，我們需要尋思策略，重視概念教學的過程性和思辨性，以幫助學生理解概念本質、了解學習路徑，促進數學思維提升. （指向深度學習的初中數學概念教學策略如圖1所示）

下面以人教版八年級下冊第十九章第一節第二課時“函數的圖象”為例，結合教學工作中的交流學習和課堂實踐，繼續探討指向深度學習的初中數學概念教學策略.

1. 基于問題，創設情境

初中數學深度學習是指在教師的引領下，學生圍繞具有挑戰性的數學學習主題，在具體問題中，以問題為引領線索，全身心參與，取得收獲與發展的數學學習過程，數學概念教學也是如此. 因此，問題情境的創設要聚焦在“真”，也就是“貼近生活實際的真問題”或“原有知識體系的真盲點”. 教師通過創設情境，激發學生的學習興趣，引導學生全身心投入，充分地參與思考和交流，初步獲得數學概念的直觀印象，為進一步研究概念奠基［2］.

問題1? 同學們，在之前的學習中，我們認識了函數的概念，即在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數. 你能在下面各小題所給的信息中找到函數關系嗎？

（1）汽車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛路程為s km，行駛時間為t h；

（2）汽車在公路上勻速行駛，表1是行駛時間與路程記錄；

（3）汽車在公路上勻速行駛，表2是行駛時間與路程記錄.

問題2? 對比“問題1”中的3個小題，它們滿足同一個函數關系嗎？談談你的看法.

問題3? 對于“問題1”中的3個函數關系，可以用其他方法來表示嗎？

設計說明? 本節仍然屬于函數學習的起始課，學生知道函數關系可以用圖形來呈現，但對函數的圖象未形成準確的概念. 對三個簡單實際問題差異性的比較，能引導學生進一步認識函數的本質，明確函數關系式與有序數對存在對應關系. （如圖2所示）

2. 基于實踐，深思抽象

概念教學的獲得方式主要有形成和同化兩種. 從大量的同類事物不同例證中，找到這些事物的關鍵屬性，抽象表達，形成概念的雛形，這是概念的形成過程；對關鍵屬性進行演繹和舉證，明確符合概念需求的必要條件，不斷探究概念外延邊界，這就是概念的同化過程. 兩者不分伯仲，相輔相成，持續交替過程，使得學生對概念的理解不斷深刻，形成全貌，最終將新的概念納入已有的概念系統中［3］.

問題4? 你能根據表1、表2的信息，在平面直角坐標系中畫圖刻畫這個函數關系嗎（如圖3所示）？

問題5? 參考“問題4”的做法，你能用圖形刻畫“問題1”中的函數關系嗎？

問題6? 為解決“問題5”，根據函數關系式，怎么找到有序數對？你能找到多少對有序數對？請畫圖.

問題7? 有限的點能完整表示“問題1”的函數關系嗎？為什么？（如圖4①②所示）

問題8? 想象這無限個點所組成的表示問題1的函數圖形，并談談你的看法. （如圖4③所示）

設計說明? 函數的圖象的概念是基于對函數的圖形表示，在畫圖過程中，結合函數的概念，進一步明確這種圖形表示函數關系的方式是必要的、合理的、正確的，從而給函數圖象下定義，即“一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象”.

必須強調，函數的圖象是刻畫函數關系的形式，即函數關系中存在怎樣的變量間的對應關系（數量關系）和對應表示（有序數對），決定了圖形的結果. 教學時教師要重視學生的實踐描點程序，從而讓學生感受到有限點和無限點均是對具體實際中函數模型的刻畫，這些圖形都是與其函數關系對應的函數圖象. 還要指出，用函數圖象就能直觀地解釋“問題1”中，s隨著t的變化而變化這一持續不斷的過程，能讓學生思考和感受函數圖象這一概念的形成.

圖3、圖4能進一步讓學生感受到函數圖象的生成過程，認同和理解函數圖象的本質，接受函數圖象的概念，為后續主動建立函數圖象研究函數問題筑基.

此外，在教學實踐中，教師還可以進一步利用幾何畫板等信息技術手段，讓學生進一步感受在取值、描點過程中，不斷變化的點，且觀察追蹤點的軌跡所形成的圖形（如圖5所示），不斷檢驗演繹推理的合理性.

3. 基于思辨，教學認同

在數學概念教學中，基于對數學概念的定義，為了避免過度形式化的誤區，教師可以加強數學概念與其他知識的不斷聯系，通過設計問題串，引發學生思考，使他們在思辨的過程中，建立起跨單元有關知識的縱向聯系和新情境有關問題的橫向遷移，強化概念定義下一般與特殊、特殊與特殊多維度的辯證統一關系.

問題9? 結合上述探究，請你談談函數關系式與函數圖象之間的聯系（如圖6所示）.

問題10? 結合上述探究，請嘗試歸納根據函數關系式，畫函數圖象的一般步驟（如圖7所示）.

問題11? 請完善“問題1”的圖象，并根據畫函數圖象的一般步驟，嘗試畫出函數y=x2的圖象.

設計說明? 持續追問能讓學生在實踐中進一步理解概念，能將知識轉化為可用程序進行操作的內容. 教學時，教師要充分實踐，反芻概念的生成過程，促進學生深刻理解數學概念本質.

4. 基于應用，訓練提升

數學概念教學也要回歸應用價值，這種回歸是基于概念的深度學習后，對概念有比較深刻的理解，能在新情境，即各種不同的表達形式下，找到情境中概念的存在，并能結合已有知識進行判斷和思考，用合適的方式表達結論，解決問題. 在問題的解決過程中，學生反復經歷用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界，真正落實了學生核心素養的發展.

問題12? 圖8是某函數關系的圖象，其中x是自變量，y是x的函數，則此函數關系式可能是（ ? ?）

問題13? 已知正方形的邊長為x，周長為C，則周長C關于邊長x的函數圖象可能是一條（ ）

A. 直線 ? ?B. 射線

C. 線段 ? ? D. 曲線

設計說明? 函數的解析式和圖象是函數關系的不同表達形式，學生在思辨過程中去情境化，能進一步感悟函數解析式和函數圖象互相成就. 學生在練習中經歷多方舉證，拓寬了對函數圖象概念認識的廣度，講練結合，達到了個體認知再升級，激發了學生的學科潛能.

結語

深度學習理論契合課程改革，其既是一種理念，又是一種實踐指導策略. 一線教學不斷改進教學方法，形成教學策略，引領學生進行數學概念深度學習，發展學生數學核心素養，是數學教師的共同追求，是實現數學學科育人的重要抓手. 基于筆者個人水平，關于指向深度學習的初中數學概念教學，還有諸如基于數學概念分類的教學策略研究的廣闊空間，現謹以此文，與君共勉.

參考文獻：

［1］王淼生. 概念：數學教學永恒主題［M］. 廈門：廈門大學出版社，2018.

［2］劉曉玟. 深度學習：走向核心素養（學科教學指南·初中數學）［M］. 北京：教育科學出版社，2019.

［3］林祥華. 初中數學多元目標與教學策略［M］. 福州：福建教育出版社，2020.