過程分步探究，解法深入思考

王瑩

［摘? 要］ 開展二次函數(shù)綜合題解題探究可以幫助學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)，提升解題思維. 問題探究過程，建議采用基礎(chǔ)強(qiáng)化與思想方法指導(dǎo)相融合的方式，立足基本問題，合理構(gòu)建模型，分步解析過程，教學(xué)解題思維. 文章以一道二次函數(shù)綜合題為例，開展解題突破，并深入探討，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

［關(guān)鍵詞］ 二次函數(shù)；拋物線；旋轉(zhuǎn)；K字形模型；思想方法

試題呈現(xiàn)

試題 如圖1所示，已知二次函數(shù)y=mx2+（m2-m）x-2m+1的圖象與平面直角坐標(biāo)系的x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1.

（1）求二次函數(shù)的解析式以及點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（2）若P（0，t）（t<-1）是y軸上一點(diǎn)，已知Q（-5，0），將點(diǎn)Q繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得點(diǎn)E，若點(diǎn)E恰好落在該二次函數(shù)的圖象上，試求t的值；

（3）在（2）的條件下連接AD，AE，若M是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且∠DAE=∠MCB，試求點(diǎn)M的坐標(biāo).

解析突破

上述為二次函數(shù)綜合題，涉及拋物線與直線相交、點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、等角等內(nèi)容，三小問由易到難，關(guān)聯(lián)性較強(qiáng). 解決時(shí)建議立足條件解析問題，結(jié)合圖象逐步突破.

1. 探求解析式

2. 模型定坐標(biāo)

第（2）問探究點(diǎn)的坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)后所得的點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，核心條件有三個(gè)，需要分別進(jìn)行解讀.

條件①：由點(diǎn)P（0，t）（t<-1）可知P是y軸上的點(diǎn)，且t為小于-1的數(shù).

條件②：點(diǎn)Q（-5，0）繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)E. 根據(jù)旋轉(zhuǎn)特性可知PQ=PE，且∠EPQ=90°. 若連接QE，進(jìn)一步可知△QPE為等腰直角三角形.

條件③：點(diǎn)E在二次函數(shù)的圖象上，可知點(diǎn)E的坐標(biāo)滿足二次函數(shù)的解析式.

根據(jù)上述條件可知如下信息鏈：點(diǎn)Q，P的坐標(biāo)→點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)→點(diǎn)E在拋物線上. 顯然問題的突破口是確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，于是解析突破可分如下三步.

第一步，根據(jù)題意繪制圖2.

第二步，構(gòu)建模型求點(diǎn)E的坐標(biāo).

由上述分析可知△QPE為等腰直角三角形，于是可構(gòu)造“K”形全等模型，過程如下. 過點(diǎn)P作x軸的平行線，再分別過點(diǎn)Q和點(diǎn)E作該平行線的垂線，設(shè)垂足分別為R，F(xiàn)，如圖3所示. 由模型特性可證△QRP≌△PFE，于是可推知PF=QR，EF=PR. 已知Q（-5，0），P（0，t），所以PF=QR=-t，EF=PR=5，進(jìn)一步分析可知點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-t，t+5）.

第三步，將點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求t值.

已知點(diǎn)E在二次函數(shù)的圖象上，將點(diǎn)E的坐標(biāo)（-t，t+5）代入函數(shù)解析式y(tǒng)=-x2+2x+3中，可解得t=-1（舍去）或t=-2，所以t的值為-2.

3. 定量探等角

第（3）問是等角存在性問題，建立在第（2）問條件的基礎(chǔ)上，探究二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)M，使得∠DAE=∠MCB. 問題解析可以采用“把握不變量”與“確定性思想”的策略，即對于成立條件∠DAE=∠MCB，∠DAE的三個(gè)頂點(diǎn)A，D，E的坐標(biāo)是確定的，故為定角，則∠MCB的大小一定，同時(shí)該角中與之相關(guān)的點(diǎn)B和點(diǎn)C也是定點(diǎn)，故點(diǎn)M的坐標(biāo)可確定，可求出. 基于上述分析，解析突破可分如下幾步.

第一步，三角形特性分析.

第二步，建模推坐標(biāo).

點(diǎn)M在二次函數(shù)的圖象上，顯然有兩種情形：一是點(diǎn)M在點(diǎn)B的下端（M1），二是點(diǎn)M在點(diǎn)B的上端（M2）.

解后思考

上述對一道二次函數(shù)綜合題進(jìn)行了解法探究，試題的后兩問為核心之問. 上述在解析時(shí)充分利用了“K”形模型，其中第（2）問依托旋轉(zhuǎn)的點(diǎn)、線構(gòu)造了“K”形全等模型，由全等三角形的性質(zhì)推導(dǎo)線段長；而第（3）問則依托直角三角形構(gòu)造了“K”形相似模型，利用相似比推導(dǎo)線段長. 整個(gè)解題過程，利用“K”形模型實(shí)現(xiàn)了線段的“化斜為直”，巧妙地利用模型特性推導(dǎo)線段長.

“K”形模型是幾何中重要的模型之一，模型特性可廣泛應(yīng)用于解題. 從模型特征來看，兩直角三角形共定角，且一邊共線，形成了一個(gè)90°的夾角，由條件可證得兩三角形有兩種特殊關(guān)系：①全等關(guān)系（有一組對邊相等）；②相似關(guān)系. 實(shí)際解答時(shí)，可依托相似或全等關(guān)系推導(dǎo)與邊、角相關(guān)的條件. 而在函數(shù)問題中合理使用“K”形模型，可以避免煩瑣的坐標(biāo)運(yùn)算，并借助模型特性實(shí)現(xiàn)線段“化斜為直”，直接獲得線段長. 實(shí)際解答時(shí)，可以按照“圖形分析→模型構(gòu)建→特性推導(dǎo)→問題解答”四步進(jìn)行，具體如下.

第一步，圖形分析

由“K”形模型的特性可知，模型構(gòu)建的基礎(chǔ)為直角，故分析圖形時(shí)關(guān)注其中的90°角或直角三角形.

第二步，模型構(gòu)建

依托圖形中的90°角或直角三角形構(gòu)建“K”形模型，建模過程盡量采用補(bǔ)形的思路，依托三角形的頂點(diǎn)，作“水平—垂直輔助線”，實(shí)現(xiàn)線段“化斜為直”.

第三步，特性推導(dǎo)

該步主要利用模型的特性來證明一組三角形相似或全等，充分把握模型中的邊角關(guān)系.

第四步，問題解答

依托上述所證的三角形相似或全等，推導(dǎo)與線段、角度相關(guān)的條件，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化推理，即利用其中的線段長求點(diǎn)坐標(biāo)，利用等角關(guān)系求三角函數(shù)值等.

教學(xué)建議

上述對一道二次函數(shù)綜合題開展解題探究，呈現(xiàn)了試題解析突破的思維過程，并深入探究了“K”形模型，下面基于課堂實(shí)踐開展教學(xué)探究，提出幾點(diǎn)建議.

1. 強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)注知識(shí)綜合

二次函數(shù)綜合題往往所涉考點(diǎn)較多，解析難度較大，在實(shí)際解析時(shí)需要合理處理?xiàng)l件. 探究教學(xué)需要立足基礎(chǔ)知識(shí)，開展條件解讀，靈活利用基本方法逐步拆解問題. 以上述試題為例，教師需引導(dǎo)學(xué)生利用待定系數(shù)法求解析式，結(jié)合旋轉(zhuǎn)知識(shí)分析其中的幾何特性，靈活運(yùn)用全等或相似推導(dǎo)條件等. 同時(shí)，注意教學(xué)中的知識(shí)綜合，指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，完善知識(shí)體系，尤其是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)類問題，從幾何與代數(shù)視角綜合分析.

2. 總結(jié)幾何模型，活用模型特性

幾何模型在解題中有著廣泛的應(yīng)用，利用模型特性可推導(dǎo)出直切問題本質(zhì)的條件，上述在解析后兩問的過程中充分引入了“K”形模型，利用模型的相似或全等特性推導(dǎo)出了關(guān)鍵條件. 而在實(shí)際教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從以下幾個(gè)方面開展模型探究：一是關(guān)注模型特征，即關(guān)注模型的特點(diǎn)、構(gòu)建的條件；二是總結(jié)模型特性，即從幾何角度證明模型特性；三是重視建模過程. 解題建模是教學(xué)的關(guān)鍵，教師需指導(dǎo)學(xué)生掌握建模技巧，構(gòu)建合理模型.

3. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升綜合素養(yǎng)

綜合題的解題過程中需要用到一定的數(shù)學(xué)思想，利用思想方法可以較為簡捷地完成問題分析、條件轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建、問題解答. 以上述二次函數(shù)綜合題為例，突破過程涉及化歸轉(zhuǎn)化、模型構(gòu)建、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想，解題時(shí)需在眾多數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下完成思路構(gòu)建. 所以教學(xué)中教師要合理滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生感悟思想內(nèi)涵，掌握思想方法的運(yùn)用技巧，依托數(shù)學(xué)思想開展思維培養(yǎng)，全面提升學(xué)生的綜合素養(yǎng).