關注圖形結構，挖掘隱含模型

朱來娟

［摘? 要］ 幾何綜合題中往往隱含了重要的模型，合理利用模型可簡化解題過程，降低思維難度. “一線三垂直”模型在解題中十分常見，其模型結論是串聯線段、角度條件的關鍵. 文章結合實例全面呈現模型探究的過程.

［關鍵詞］ 幾何模型；一線三垂直；相似；全等

幾何模型是對圖形特殊結構、特征的提取與重組，模型中的結論是圖形本質特性的體現，合理利用模型可有效提升解題效率，因此探究解題時有必要關注其中的隱含模型. 下面對一道2022年中考幾何真題進行探究.

試題探究

試題 （2022年揚州市中考數學卷第36題）如圖1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，點D在BC邊上由點C向點B運動（不與點B，C重合），過點D作DE⊥AD，交射線AB于點E.

（1）分別探索以下兩種特殊情形時線段AE與BE的數量關系，并說明理由：

①點E在線段AB的延長線上且BE=BD；

②點E在線段AB上且EB=ED.

（2）若AB=6.

②直接寫出運動過程中線段AE長度的最小值.

解析? （1）該問探索AE與BE之間的數量關系，要基于設定條件進行推導.

②當點E在線段AB上時，如圖2所示，因為EB=ED，所以∠EBD=∠EDB=30°，∠AED=60°. 在Rt△ADE中，∠EAD=30°，則AE=2ED. 所以AE=2BE.

（2）該問設定AB=6，分別設問求AE的長，可結合具體圖形分析.

①分別過點A，E作BC的垂線，垂足分別為H，G，則∠EGD=∠DHA=90°，如圖3所示.

模型挖掘

1. 模型提煉

上述第（2）題第①問，通過推導出∠GED=∠HDA，∠EGD=∠AHD=90°，證明了△EGD∽△DHA. 挖掘圖形特征，有兩大特點：①△EGD和△DHA均為直角三角形；②∠EGD和∠AHD的一條直角邊共線（GD和DH共線）.

實際上有直角邊共線的直角三角形構成了“一線三垂直”相似模型. 提取其中的圖形，如圖5所示. 根據模型的特征條件，始終可以獲得三角形相似的結論.

已知：∠EGD=∠AHD=∠EDA=90°.

結論：△EGD∽△DHA.

因此實際求解時，挖掘圖形的直角及共線特性，確定為“一線三垂直”相似模型，即可直接推得相似結論.

2. 模型拓展

對于上述三角形相似關系——△EGD∽△DHA，結合全等判定可知，若添加一條邊相等，則可以進一步轉化為全等關系——△EGD≌△DHA，從而構建將“一線三垂直”相似模型上升為“一線三垂直”全等模型，該模型中的兩個三角形為全等關系，且所夾三角形為等腰直角三角形.

已知：∠EGD=∠AHD=∠EDA=90°，GD=AH（或EG=DH或ED=AD）.

結論：△EGD≌△DHA.

<D：＼數學教學通訊中旬＼2023數學教學通訊中旬（09期）＼2023數學教學通訊中旬（09期） c＼aa-1.jpg> 關聯探究

“一線三垂直”相似模型或“一線三垂直”全等模型在實際解題中有著廣泛的應用，基于模型特性可直接推導兩三角形的相似關系或全等關系. 解題時可分兩步進行：第一步，解析問題條件，構建或提取復合圖形中的模型；第二步，根據模型得出兩三角形相似或全等，進而推導出等角或等線段. 下面結合實例進一步解讀探究.

1. “一線三垂直”相似模型的應用

例1? （2022年無錫市中考卷第28

（1）求該二次函數的表達式.

（2）若點C與點B重合，求tan∠CDA的值.

（3）點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.

（2）過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，如圖6所示.

（3）根據題設要求探尋符合條件的點C位置，再利用復合圖形的性質，求出對應點C的坐標即可，過程略.

評析? 上述第（2）問中△ADE和△BAO構成了“一線三垂直”相似模型，該問題屬于含隱性模型的問題，即原圖形中模型結構不全，需要通過作輔助線來加以補全. 因此利用模型解題時需要分兩步：第一步，首先提取模型，確定模型是否完整，若不完整則需補全；第二步，根據模型特性推導結論，結合題設條件解題.

2. “一線三垂直”全等模型的應用

例2? ?如圖7所示，四邊形ABCD是正方形，點E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點M和點N，過點F作AD的垂線交AD的延長線于點G. 連接DF，請解答下列問題：

（1）∠FDG=________；

解析? （1）因為四邊形ABCD是正方形，所以∠A=90°，AB=AD. 因為FG⊥AG，所以∠G=∠A=90°. 又知△BEF是等腰直角三角形，所以BE=FE，∠BEF=90°. 分析可知，在圖7中，∠G=∠A=∠BEF=90°，BE=FE，構成了“一線三垂直”全等模型. 由模型特性可得△ABE≌△GEF，所以AE=

評析? 上述第（1）問中△ABE和△GEF構成了“一線三垂直”全等模型，模型中BE=EF，使得兩三角形在“相似”基礎上具有了“全等”特性. 需要注意的是，“一線三垂直”全等模型中所夾三角形必然為等腰直角三角形，因此探究解析時要關注其中的特殊三角形.

教學思考

上述基于考題開展模型挖掘，探究了“一線三垂直”的兩類模型，其探究及應用過程有一定的參考價值，下面基于教學實踐進一步思考.

1. 關注圖形結構，生成幾何模型

幾何問題中往往融合了一定的數學模型，合理利用模型可以提升解題效率，但教材中一般不會針對性講解，需要獨立探究，總結生成模型. 因此教學中，教師要合理安排教學環節，引導學生親歷模型探究的過程，從復合圖形中提取模型，總結模型結論. 一般可分四大環節：環節一，初識模型，引導學生結合所學證明例題；環節二，感知結構，讓學生對比例題中的圖形結構，初步感知模型；環節三，總結模型，引導學生總結模型的結構特征，生成系統的幾何模型；環節四，強化應用，結合實例開展模型應用，讓學生掌握模型應用的方法.

2. 適度拓展模型，生成模型關聯

幾何模型是基于幾何特性的提煉與凝結，一些模型之間具有一定的關聯，通過設定條件可以實現相互轉化. 以上述“一線三直角”模型為例，將模型中的“直角”替換為“一般角”時，則轉化為常規的“一線三等角”模型；“一線三直角”相似模型中增加“一組對邊相等”則可以生成“一線三直角”全等模型. 因此模型教學中教師還應注重拓展，可從“關聯模型”和“類似模型”兩大視角進行：在“關聯模型”探究中進行知識鏈串接，引導學生延伸模型；在“類似模型”探究中，引導學生進行模型延伸，總結類型模型，如相似模型中的“A”形相似模型、“8”形相似模型. 通過模型拓展探究，讓學生深入、全面地了解模型.

3. 注重實際應用，總結應用技巧

開展模型探究的最終目的是為了應用解題，因此引導學生掌握模型應用的方法技巧是重點. 教學中可從三個方面來引導：一是證明模型特性，讓學生掌握模型原理，充分理解模型，強化認識；二是結合實例，即結合各類實際問題，引導學生親歷模型解題過程，從“讀題審題”“模型提取”“特性應用”三個環節感知應用；三是細節講解，通常“模型提取”環節有一定的難度，需從復合圖形中提取模型，尤其是隱形模型需要補全，教師要指導學生掌握補全的方法，整體把握模型，局部作圖補全，從而使學生充分掌握模型應用的方法.