“教師為主導，學生為主體”的教學設計研究

李琿

［摘? 要］ 辯證唯物主義認為：世間萬物都存在著一定的矛盾，矛盾雙方是既對立又統一的關系，這種關系是推動事物本身發展的原動力. “教師為主導，學生為主體”的教學模式存在矛盾，但能有效推動學生認知能力的發展. 文章以“勾股定理”的教學為例，從情境創設、形成猜想、驗證猜想、歸納定理等方面展開分析，并對本節課的教學提出幾點思考.

［關鍵詞］ 教師為主導；學生為主體；勾股定理

“教師為主導，學生為主體”是當下數學教學的基本教學模式. 教師的主導作用主要體現在教學內容、方法、方向與組織形式的選擇和設計上；學生的主體作用主要體現在學生是教學活動中認知發展的主體［1］. 如何將這兩者靈活地應用在課堂教學中呢？筆者以“勾股定理”的教學為例展開分析.

教學過程

1. 情境創設

類似于概念教學，定理教學也應將知識還原到客觀實際中，讓學生在豐富的現實情境中自主抽象定理的本質屬性，也可以通過問題的變式，促使學生在原有認知結構上實現知識的遷移. 勾股定理作為一個千古名定理，在教學中有著非比尋常的意義. 教師在授課前，應結合學生實際認知水平進行問題情境的精心設計，力求快速帶領學生進入探究狀態.

問題1 如圖1所示，這是2500年前，古希臘的著名數學家畢達哥拉斯在朋友家做客時看到的地磚圖案，他發現地磚上的直角三角形的三條邊竟然存在著某種特殊的關系，我們也來觀察一下，看看有什么發現.

設計意圖 畢達哥拉斯從朋友家的地磚上發現直角三角形的奧秘，這是一個有趣且具有激勵作用的歷史故事，將這個故事放到課堂的起始環節，不僅具有激趣、喚醒的意義，還為勾股定理的探索提供了素材. 教師要求學生站到畢達哥拉斯的角度重新觀察地磚，這從一定意義上來說，屬于知識“再發現”的過程，學生從“形”出發，思考“數”的關系，這為數形結合思想的滲透奠定了基礎.

探索此問題情境時，教師的主導作用著重體現在為學生提供探索素材與猜想的環境，為定理的形成奠定基礎，而學生的探索在此情境中具有重要意義，這也是以學生為課堂主體的體現. 因此，這是一個有效激發學生自主創新的問題情境，是發現性學習的起點.

2. 形成猜想

探究1 將面積相關的結論轉化為等腰直角三角形三條邊的數量關系，可以怎么描述？（如圖2所示）

探究2 圖3是希臘發行過的郵票，該郵票的發行目的是為了紀念畢達哥拉斯，說說你從郵票的圖案中發現了什么.

探究3 總結前兩個探究問題會發現直角三角形的三條邊存在一個共同特點，即兩條直角邊的平方和與斜邊的平方和相等. 思考：是不是任何直角三角形，均具備這個特點？

探究4 如何驗證這個結論的正確性？（借助幾何畫板探索）

設計意圖 問題串的應用，讓學生的認知經歷發現與猜想的過程，思維實現從具體到抽象，由特殊到一般的逐層遞進過程. 幾何畫板的介入，讓課堂變得更加豐富，學生從直觀的“形”中更容易理解直角三角形存在的數形關系.

此環節中，教師的主導作用有：①適當點撥，啟發引導. 探究活動的開展，讓學生經歷了發現、猜想等過程. 當學生的思維出現障礙時，教師通過適當點撥與引導，啟發學生思考，讓學生明確探究的方向. ②營造氛圍，鼓勵猜想. 教師為學生創設了良好的學習氛圍，鼓勵學生通過自主探索進行大膽猜想.

學生的主體地位體現在：①學生從自身認知結構中提取與探究與活動相關的信息，自主探究新知. ②合作交流. ③勇于猜想，形成初步結論.

3. 驗證猜想

所有的猜想都需要有理有據的論證過程去證實它，驗證方法有很多，如實踐操作、動態演示、理論證明等，這些方法都可以增強學生對知識的認識，尤其是自主操作模式，更容易激發學生對問題的探索欲.

問題2 如圖4所示，勾三，股四，弦幾何？此圖帶給你們什么啟示？是否能借助此圖來證明以上猜想？若能，請寫明過程.

圖片背景：這是我國數學家趙爽在《周髀算經》中提出的經典問題. 其中，勾、股分別指直角三角形中，稍短的直角邊與較長的直角邊，斜邊為弦，該圖簡稱“弦圖”.

命題：若a，b分別是直角三角形的兩條直角邊，c是斜邊，則a2+b2=c2.

設計意圖 數學史的應用，能讓學生充分感知數學文化，能引發學生從觀察中嘗試，從而培養學生的自主探究與合作交流能力. 同時教師還通過滲透轉化思想，讓學生將直角三角形的三邊關系轉化成面積關系，建立恒等式以獲得命題.

活動1 已知四個全等直角三角形的兩條直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c，若將這四個三角形圍成一個小正方形與一個大正方形，有幾種方法？并根據拼圖證明問題2中的命題. （學生的圍法如圖5所示）

活動2 如圖6所示，按照圖示方法剪裁該圖形，請根據獲得的圖形證明問題2中的命題.

設計意圖 教師以實踐操作替代單一的講授，不僅能激發學生對勾股定理的研究興趣，還將學習的主動權交給了學生. 學生親歷動手過程，積累活動經驗，感知知識的形成與定理的推理，有效地鍛煉了思維的發散性與靈活性，為形成良好的數學思想方法奠定了基礎.

教師的主導作用主要體現在以下幾方面：①驗證方法的點撥、操作、驗算、演示等；②論證方法的點撥，引導學生對猜想結論進行論證；③必要時進行鼓勵性評價.

學生的主體地位主要體現在：①親自動手操作、實驗，驗證猜想的命題是否科學；②自主探索猜想的完整論證過程；③同伴交流，共享學習成果.

4. 歸納定理

從猜想的提出到命題的論證，學生的思維經歷了從感性到理性的轉化. 在此基礎上進行定理的歸納就變得水到渠成了.

問題3 大家在以上教學環節都經歷了猜想的論證過程，現在請大家對勾股定理進行歸納總結.

教師要求學生分別用文字語言、符號語言與圖形語言來表達勾股定理，力求全方位理解該定理.

文字語言：略.

設計意圖 從不同角度歸納、概括勾股定理，讓學生親身體驗數學語言的精練、數學符號的抽象性與圖形的直觀性等，為接下來的定理遷移與靈活應用奠定了基礎.

在定理教學中，教師不應急于帶領學生進行實際應用，而應通過進一步的探討深化學生對公式、定理的認識，如通過變式應用、公式變形等方式讓學生從多維度對勾股定理形成更加客觀、全面的認識.

此環節教師的主導作用有：①喚醒學生繼續深入探究的欲望，進行激勵性評價. ②引導學生用不同的方式來表達勾股定理. 學生的主體地位體現在：①錘煉對勾股定理的表述與主動識記. ②主動通過變式對勾股定理形成深入理解.

5. 例題教學

例題教學是定理教學的重中之重，教師可結合學生課堂反饋情況與教學目標，通過例題的精心選編與變式的應用，促進學生對定理本質的掌握，從而形成舉一反三的解題能力.

問題4 分別求出圖8中兩個直角三角形一邊的長x.

變式1 分別求出圖9中x，y，z的值（即直角三角形一邊的長）.

變式2 已知△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，求AB的長度.

變式3 已知Rt△ABC中，BC=8，AC=6，求AB的長度.

變式4 已知△ABC中兩條邊的長分別為6和8，能否根據這個條件求出第三條邊的值？

設計意圖 由淺入深的變式設計能讓學生的思維經歷從直觀到抽象的轉變過程. 變式涉及“直接引用—間接應用—構造應用”三個層次，變式間層次清晰，梯度明顯，且環環相扣.

問題5 如圖10所示，分別以一個直角三角形的三條邊向外側作正方形，記三個正方形的面積分別為S，S，S，那么結論S=S+S成立嗎？

變式1 如圖11所示，分別以一個直角三角形的三條邊向外側作等腰直角三角形，記三個等腰直角三角形的面積分別為S，S，S，那么結論S=S+S成立嗎？

變式2 如圖12所示，分別以一個直角三角形的三條邊向外側作半圓，記三個半圓的面積分別為S，S，S，那么結論S=S+S成立嗎？

變式3 按照這種變式思路，還可以設計出怎樣的問題？并說說這些問題的結論.

設計意圖 問題5所展示的一組變式以圖形的變化為主線，意在引導學生研究以直角三角形三邊為邊所擴展而來的幾何圖形面積間存在的關系.

此環節，教師的主導作用有：①精心設計針對性強、具有可探索性的變式問題，引導學生關注到勾股定理的應用. ②變式的提出，鼓勵學生自主探索. ③要求學生結合變式規律進行編題. ④對勾股定理的應用技巧進行點撥與評價.

學生的主體地位體現在：①準確利用勾股定理解決問題，同時關注到多解的情況. ②主動研究變式，獲得題組，擴大學習成效. ③積極參與編題，形成創新意識. ④邊解題邊總結，獲得定理的應用技巧.

6. 課堂總結

問題6 數學家華羅庚認為：如果其他星球上真的有外星人存在，那么人類可應用“勾股圖”與他們聯系［2］. 聯系本節課你們對勾股定理的理解，說說你們對勾股定理的認識.

學生主要做出以下幾點總結：

（1）勾股定理源遠流長

古今中外流傳了五百多種證明勾股定理的方法，且廣泛地應用在現實生活中，是數學世界的千古第一定理，在2002年還被選為第24屆在北京舉行的國際數學大會的會標.

（2）利用數形結合證定理

學生將幾種常見的證明方法羅列到一起，展示勾股定理的證明過程，形成了良好的數形結合思想.

（3）勾股定理的數學美

如圖13所示，通過對圖形進行不斷延伸，可形成無與倫比的勾股樹，這充分體現了數學美.

設計意圖 讓學生在問題6的引導下，對勾股定理的文化、數學美，以及數學思想等進行總結分析，感知這千古第一定理的魅力，從而產生情感共鳴，培養探索精神.

此環節中，教師的主導作用體現在問題的提出上，而學生的主體地位表現在自主從不同角度總結勾股定理的特點，提煉勾股定理的本質特征.

教學思考

1. 情境創設要具有召喚作用

課堂中，學生的參與性并不完全是自發的，大部分時候需要教師結合學生的認知特征，創造一些情境渲染教學環境，為學生的積極參與搭建平臺，以激發學生的學習興趣，召喚學生學習的主動性，從而讓學生覺得學習是一件愉快的事情.

本節課，教師從數學史出發，以畢達哥拉斯在朋友家做客時看到的地磚圖案為情境，成功地激發了學生對知識探究的欲望，讓學生不由自主地參與到勾股定理的研究中. 情境創設的過程，體現了教師在課堂中的主導作用，而學生對問題的思考、研究與探索，則體現了學生的主體地位.

2. 注重數學文化的滲透工作

教學除了傳授知識與技能，還要注重培養學生的數學核心素養. 其中，數學文化的滲透是必不可少的環節，它對陶冶學生的數學情操，培養學生的數學審美具有重要影響. 本節課，教師通過大量數學故事與圖案的引入，成功地激發了學生對數學文化的興趣與對數學美的追求. 數學史料由教師提供，體現了教師的主導作用，而真正接納知識、形成能力則展現了學生的主體地位.

3. 關注探究過程學生的參與性

教學不僅僅是促進學生認知發展的過程，還體現了一些社會化的元素［3］. 教學中，教師的講授、學生的互動與交流對課堂的進展均具有重要的促進作用. 尤其是在合作交流中，學生用數學語言、數學符號、數學圖形進行描述時，需清晰、完整，并與同伴的思維進行類比，力爭對知識形成更深層次的理解.

總之，以“教師為主導，學生為主體”的教學是落實新課標的體現，是促進學生數學核心素養形成與發展的重要舉措. 每一位教師都應積極地反思自身的教學行為，為學生創設更加優越的學習環境，以充分激發學生在課堂中的主人翁意識，促進教學相長.

參考文獻：

［1］鄭毓信. 數學教學的有效性與開放性［J］. 課程·教材·教法，2007（07） ：28 -32.

［2］裴昌根，宋乃慶，劉喬卉，牟少星.數學學習興趣測評指標體系的構建與驗證［J］.數學教育學報，2018，27 （02）：70-73.

［3］章建躍.數學學科自我監控能力研究［J］.心理發展與教育，1998 （04）：51-56.