初中數學教學中滲透數形結合思想的策略

甘肅省張掖市民樂縣教育局 王麗娟

數學是研究數量關系和空間形式的學科，研究對象是客觀世界中的各類事物的量。事物的量有兩種表現形式，分別是“數”和“形”。數形結合思想是“數”與“形”關系的彰顯，是數學思想的重要構成，是學生學習數學的有力支撐。因此，教師要立足數學學科特點，結合“數”與“形”，引導學生進行數學研究。

所謂數形結合思想，是以“數”“形”關系為基礎，以“數”“形”之間的相互轉化為重點，化難為易，解決問題的數學思想。滲透數形結合思想于數學教學中，可以使學生充分發揮形象和抽象思維作用，借助數量關系與幾何性質的相互轉化，扎實掌握數學知識，培養相關能力，增強數學學習效果。學生可以因此獲得數學學習“工具”并靈活應用，學會自主學習，提高數學學習水平。

眾所周知，數學的基本課型有三種，即新授課、習題課、復習課。這三種課型是滲透數形結合思想的落腳點。在新授課上滲透數形結合思想，可以使學生經歷知識形成過程，做到知其然知其所以然，扎實掌握數學知識，同時獲取數形結合法，積累新知探究經驗，有利于自主應用數形結合法探究數學新知，提高數學學習效果。對此，在教學時，教師可以以三種課型為立足點，結合教學內容，滲透數形結合思想，助力學生進行數學探究，實現學有所獲。

一、在新授課中滲透數形結合思想

數學概念、數學定理等是新授課的基礎內容。在新授課上，學生不僅要掌握知識結論，還要了解其實質及體現的數學思想。數學基礎內容具有抽象性，是數學家借助圖形直觀總結出的內容。對此，在新授課上，教師可以以數學概念、數學定理等基礎內容為立足點，引導學生借助直觀圖形分析、討論，經歷知識的形成過程，由此發現數學規律、建構數學認知，同時積累數形結合經驗，提升學習效果。

例如，在“探索勾股定理”教學時，學生需要探究勾股定理及其逆定理，需要將直角三角形的“形”與斜邊、直角邊的數量關系中的“數”進行轉化。此探究過程恰好體現了數形結合思想。因此，教師需緊扣勾股定理及逆定理的探究過程，滲透數形結合思想。具體而言，在引導學生探究勾股定理時，教師可以用生動的語言講述數學故事——畢達哥拉斯去朋友家做客發現了地磚圖案規律，并借此創設數學情境，吸引學生的注意力。結合故事內容，教師在交互式電子白板上呈現圖像，如圖（一）所示：

并向學生提出問題：“一個小格子為一個單位，我們用‘1’代表，現在我們準備邊長分別為a、b、c 三個正方形，并按圖一這樣擺放好。大家有沒有發現，將三個正方形的邊的交點連起來，正好是一個直角三角形。大家想一想，這個直角三角形的三條邊和正方形的邊有什么關系？和正方形面積之間有什么關系？”在問題的驅動下，學生們產生了濃厚的探究興趣，積極發揮形象思維，細心觀察圖像，并認真數格子。學生有所發現：“邊長為a 的正方形面積為a2（9 個單位），同理，其他兩個正方形的面積分別為b2（16 個單位）和c2（25 個單位）”。說完之后，該名學生恍然大悟，兩個小正方的面積加起來正好等于大正方的面積。這時，另一名學生補充：“直角三角形的三條邊分別為a、b、c，正如剛才那名同學說的a2+b2=c2，也就是說，直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。”

圖一

在此觀察、發現、探究的過程中，學生們積極地與圖像“互動”，將直角三角形的三邊關系問題轉化為了正方形的面積數量關系問題。如此轉化，學生不僅能夠直觀地得出和驗證數學結論，還感受到了數形結合的魅力，同時也為探究其他直角三角形的性質奠定了堅實的基礎。

在學生結合圖案發揮想象，得出直角三角形的三邊關系之后，教師應依據學生的探究情況，立足圖像，詳細介紹勾股定理。學生在傾聽之際，認真觀察，再次經歷轉化過程，總結出勾股定理：“假設直角三角形的兩條直角邊長為a、b，斜邊長為c 時，則a2+b2=c2。”之后，教師還應帶領學生一起探討等腰直角三角形的三邊關系。

由此可見，在新授課上滲透數形結合思想，不僅可以使學生們經歷數學知識的形成過程，自主轉化“數”與“形”，借助直觀的“形”，得出數學結論，建構良好的數學認知，還可以使學生們順其自然地積累數形結合經驗，增強數形結合認知，有利于學生自主應用數形結合思想探究其他數學知識，提高學習效果，更有利于培養學生的數學思維、數學推理能力，提升學生的數學核心素養。

二、在習題課中滲透數形結合思想

習題課是學生應用數學思想和數學知識解決數學問題的途徑。數形結合思想表現為“以形助數”和“以數解形”。在習題課上，教師需要依據教學內容設計相關題目，并以此為基礎，組織“以形助數”和“以數解形”活動，引導學生進行“數”“形”互轉。

（一）以形助數

以形助數是借助“形”的直觀性，探索、說明抽象的“數”或“數”之間的關系。初中生的形象思維較為發達。在習題課上，教師可以組織“以數助形”活動，使學生獲得運用形象思維機會。在體驗活動中，學生發揮形象思維繪制數軸、線段圖等，直觀地展現“數”，由此發現“數”之間的關系，獲得問題答案，順利地解決問題。

例如，在“數軸”教學時，在學生了解了“實數與數軸上的點一一對應”這一內容后，教師呈現相關習題，如下所示：

實數a 和b 的位置如圖（二）所示。根據圖示，可以確定下面哪一個結論是正確的？（ ）

在呈現習題后，教師給予學生足夠的思考時間。在思考的過程中，大部分學生通過觀察數軸遷移課堂所學，確定a、b 在具體位置，并嘗試繪制數軸，確定-a、-b 的具體位置。此時，學生觀察數軸、細心比較，得出結論：a ＞-b。

由此可見，通過體驗“以形助數”活動，學生不僅可以將抽象的“數”轉化為直觀的“形”，借此了解“數”之間的關系，輕松地解決數學問題，還可以強化數形結合思想，深刻理解所學知識點，有利于增強課堂學習效果。

（二）以數解形

以數解形指借助數式的精確化特征刻畫圖像的某些屬性。在體驗“以數解形”活動的過程中，學生會站在“數”的角度審視直觀的圖像，將幾何問題代數化，由此利用“數”解決問題。對此，在習題課堂上，教師可以依據學生學情，緊扣“數”“形”關系設計相關問題，如形數規律問題、函數圖像與幾何圖形問題等，使學生獲得“以數解形”機會。

例如，“形數”問題是幾何學與算術之間的“橋梁”。基于此，在課堂上，教師可以為學生呈現了如下問題：

用棋子擺出圖案，如圖（三）所示。請觀察圖案，發現棋子的擺放規律，并試著用此規律，繼續擺放棋子。請問，第n 個圖形所使用的棋子個數是多少？

圖三

面對此問題，學生認真觀察圖案。在觀察之際，不少學生試著從不同角度進行數數，由此了解每個圖案中的棋子個數。如：“第一個圖案中使用棋子個數為：3+3=6；第二個圖案中使用的棋子個數為：3×2+3=9；第三個圖案中使用的棋子個數為：3×3+3。”學生對此進行對比，發現規律，得出結論：“第n 個圖案所使用的棋子數為：3n+3”。

由此可見，通過體驗“以數解形”活動，學生靈活地應用了“數”與“形”關系，利用“數”表示“形”實現了幾何問題代數化。尤其，在“數”的作用下，學生輕松地發現規律，得到問題結果。如此，學生不僅輕松地解決了數學問題，扎實掌握數形結合思想，還自然而然地提升了自身的數形互換能力、數學思維能力，有利于提升數學學習水平。

三、在復習課中滲透數形結合思想

復習課的目的之一是引導學生回顧、總結所學。引導學生回顧、總結所學的方式有很多，如解決數學問題，建立圖表等，這些方式正是數形結合思想的承載。例如，在解決數學問題的過程中，教師可以展現圖像，引導學生回顧所學知識。因此，在復習課教學時，教師可以聯系教學內容，選用適宜的方式組織復習活動，順其自然地滲透數形結合思想。

（一）在解決問題中滲透數形結合思想

解決問題是學生復習所學的方式之一。在復習課上，教師可以立足復習內容，呈現“形”或“數”，對此提出相關問題。在問題的作用下，學生會自覺地與“數”或“形”互動，開動思維，回顧所學，解決問題，借此鞏固所學，同時培養數形結合思想，增強復習效果。

以“一次函數”教學為例，在學生學習了一次函數的圖像及其性質后，教師可以組織復習活動。在活動中，教師向學生呈現一次函數圖像，提出問題：“請大家回顧一次函數的有關性質，試著結合函數圖像，回答問題。問題一：在這個一次函數圖像中，k1和b1的取值范圍各是多少？K2和b2的取值范圍是多少？問題二：假設，A 的坐標為（-2，0），B 的坐標為（-4，0），C 的坐標為（1，0）。則，關于x 的不等式k1x+b1＞0 的解集是多少？關于x 的不等式k2+b2＞0 的解集是多少？”

在問題的作用下，學生進行頭腦風暴，聯想一次函數的相關性質，并對此觀察一次函數圖像，嘗試用一次函數的性質解決問題。在學生解決問題后，教師隨機選擇學生代表，鼓勵其展示問題答案，介紹一次函數的性質。教師則把握時機，補充一次函數的性質。

這種方式的復習，不但使學生解決了問題，鞏固了課堂所學，還使學生結合“數”與“形”內化數形結合思想，提升問題解決能力。

（二）在制作圖表中滲透數形結合思想

制作圖表是學生進行數學復習的重要方式。實際上，制作圖表的過程正是學生結合“數”“形”的過程。在此過程中，學生可以借助“數”“形”梳理課堂學習內容，建構完善的認知識知，同時強化數形結合思想，增強復習效果。對此，在復習課上，教師可以提出制作圖表任務，驅動學生結合“數”“形”。

以“直線和圓的位置關系”教學為例，學生在課堂上體驗操作活動，借助圓形模型、直尺等工具，總結出了直線和圓的位置關系。事實上，操作活動即蘊含了數形結合思想。基于學生的學習所得，教師設置如下任務：“請大家回顧課堂學習過程，將操作活動轉化為圖像，直觀展現直線和圓的位置關系，歸納結論。”在任務的驅動下，學生積極思考，在腦海中描繪具體畫面，并將腦海中的畫面轉化為具體圖像，如圖（四）所示，繼而進行測量、獲得數據、歸納結論。

圖四

在學生建立圖表后，教師需鼓勵他們毛遂自薦，展示自己的圖表內容。與此同時，教師應鼓勵學生代表結合圖表，操作交互式電子白板，動態、直觀地展現直線與圓的位置關系，詳細講述，幫助其他學生完善認知，做到知其然知其所以然，扎實掌握課堂所學。比如，有學生說：“當直線和圓相交時，有且僅有一個交點。”在講述之際，其操作交互式電子白板，用直觀現象進行驗證。

由此可見，通過制作圖表，學生可以經歷數形結合過程，切實鞏固課堂所學，內化數形結合思想，提高數學課堂學習質量。

四、結語

總而言之，有效滲透數形結合思想于數學教學中，可以使學生獲得學習助力，走進新授課、習題課、復習課，發揮自主性，靈活地轉化“數”與“形”，借此掌握數學知識，培養數形結合思想，增強學習效果。鑒于此，在初中數學教學時，教師要立足數學學習特點，把握“數”與“形”關系，將數形結合思想作為“工具”，應用多樣策略，滲透于新授課、習題課、復習課，為學生提供“數”“形”互換機會，使他們借此探究數學規律，自主探究數學結論，并靈活應用解決實際數學問題，梳理、總結所學，扎實掌握數學知識、數形結合思想，實現學有所得，進而提升數學教學質量。