巧借參變分離，妙用端點效應

王志華

摘 要：含參函數的單調性問題一直是新高考中比較常見的一類難點與亮點問題，結合一道高考真題實例，從不同思維視角切入，剖析問題的轉化與求解，進一步拓展思維，變式提升，歸納解題規律，提升數學能力，引領并指導解題研究.

關鍵詞：函數；單調性；參變分離；端點效應

含參函數的單調性及其綜合應用問題，一直是高考數學試卷中比較常見的一類常見題型.此類綜合應用問題，設問方式多變，形式新穎創新，同時合理交匯并融合函數與方程思想、函數與導數應用、不等式等相關的數學思想與基礎知識，可以很好考查考生的邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養，具有較高的選拔性與區分度，倍受各方關注.

1 真題呈現

高考真題：（2023年高考數學全國乙卷理科·16）設a∈（0，1），若函數f（x）=a^x+（1+a）^x在（0，+∞）上單調遞增，則a的取值范圍是__________.

此題以兩個含參的指數函數的和式所對應的函數解析式來創設函數場景，利用函數的單調性來確定對應參數的取值范圍問題.

涉及此類判斷函數的單調性或利用函數的單調性來綜合應用問題，都是高考命題中比較常見的題型之一.這里借助函數在給定區間上單調遞增（或減），則其對應的導函數恒為正數（或恒為負數），借助不等式的構建，為進一步參數值的求解或其他相關應用奠定基礎.

在實際判斷函數的單調性或利用函數的單調性來綜合應用時，合理借助相應的技巧方法與解題策略，主要利用不同形式的參變分離法或端點效應法來切入，同時經常要結合分類討論、構造等數學思想方法來應用.

2 真題破解

3 變式拓展

4 教學啟示

4.1 總結常規方法，歸納常見思維

解答一些解析式中帶有參數的函數的單調性、極值或最值等綜合應用問題，主要是借助函數的求導，通過導函數的構建，從函數的圖象或不等式恒成立等方面數形直觀或邏輯推理，借助方程的恒等變形以及不等式性質，合理采取參變分離、主元分離、端點效應等思維方式，做到一“變”一“常”，一“靜”一“動”，結合相關的技巧方法來分析與處理.

4.2 倡導“一題多解”，實現“一題多得”

選取一些經典的高考導數真題，在問題解決的前提下，要適當停下來，合情合理適時地反思，領悟其中蘊含地數學思想，不同視角、不同層面進行深層次探究與剖析，以期達到觸類旁通，舉一反三，全面運用“一題多思”“一題多解”“一題多變”手段，真正達到“一題多得”的學習效果.

借助“一題多解”，可以使得我們更加熟練和牢固地掌握數學知識，更加完善地建立知識體系，獲得更開闊地解題思路，解題效益從而真正提高，發散思維能力進一步提升，我們學習的主動性、積極性和趣味性有了進一步激發，從而我們的知識水平和思維能力有了全面提高.