2-[J#]-clean 環(huán)

陶丹丹 殷曉斌

收稿日期：2023-07-13

基金項(xiàng)目：安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2008085MA06）；安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃項(xiàng)目（gxyqZD2019009）.

作者簡(jiǎn)介：陶丹丹（1998—），女，安徽安慶市人，碩士研究生，研究方向?yàn)榄h(huán)論；通訊作者：殷曉斌（1972—），男，安徽樅陽(yáng)縣人，博士，教授，研究方向?yàn)橥{(diào)代數(shù)與環(huán)模理論.

引用格式：陶丹丹，殷曉斌.2- J# -clean 環(huán)［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023，46（5）：409-417.

DOI：10.14182/J.cnki.1001-2443.2023.05.001

（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 安徽 蕪湖 241003）

摘要：引入了2-[J#]-clean環(huán)的概念。設(shè)[R]是一個(gè)環(huán)，如果[R]中的每個(gè)元素都是一個(gè)冪等元和兩個(gè)[J#（R）]元素的和，則稱[R]是一個(gè)2-[J#]-clean環(huán)。本文主要研究了2-[J#]-clean環(huán)的基本性質(zhì)，并考慮它與一些相關(guān)的環(huán)之間的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：2-[J#]-clean 環(huán)；2-clean 環(huán)；矩陣環(huán)；環(huán)擴(kuò)張

中圖分類號(hào)： O153.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1001-2443（2023）05-0409-09

引言

本文中的環(huán)都是指含單位元的結(jié)合環(huán)，環(huán)上的模都是酉模。設(shè)[R]為環(huán)，[Id（R）]、[N（R）]、[U（R）]、[J（R）]、[C（R）]分別表示[R]的冪等元之集、詣零元之集、可逆元之集、[R]的Jacobson 根、[R]的中心。[Mn（R）]表示環(huán)[R]上的[n]階全矩陣環(huán)，[Tn（R）]表示上三角矩陣環(huán)。

1977年，Nicholson在文獻(xiàn)［1］中首次提出clean的概念。稱[R]為clean環(huán)，若[R]中任意元素都是一個(gè)冪等元和一個(gè)可逆元的和。1999年，Nicholson在文獻(xiàn)［2］中引入強(qiáng)clean環(huán)的概念。稱[R]為強(qiáng)clean環(huán)，若[R]中任意元素都是一個(gè)冪等元和一個(gè)可逆元的和且兩者可交換。近來(lái)年，關(guān)于clean環(huán)及其推廣［3-5］的研究吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注。2009年，王周和陳建龍?jiān)谖墨I(xiàn)［6］中提出了2-clean環(huán)的概念。稱[R]為2-clean環(huán)，若對(duì)任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[u1，u2∈U（R）]，使得 [a=e+u1+u2]。2010年，Chen在文［7］中提出了（強(qiáng)）[J]-clean環(huán)的概念。稱[R]是強(qiáng) [J]-clean環(huán)，若[R]中的任意元素都是一個(gè)冪等元和一個(gè)Jacobson根的和（且兩者可交換）。2013年，Diesl在文獻(xiàn)［8］中提出了詣零-clean環(huán)的概念。稱[R]是詣零-clean環(huán)，若對(duì)任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[n∈N（R）]，使得 [a=e+n]。2017年，程瑤在文獻(xiàn)［9］中定義了[J#（R）=x∈R|xn∈J（R），存在整數(shù)n≥1]，顯然[J（R）?J#（R）]。并引入強(qiáng)[J#]-clean環(huán)的概念。稱[R]是強(qiáng)[J#]-clean環(huán)，若[R]中每個(gè)元素都可以表示成冪等元與[J#（R）]的元素之和且二者可交換。2020年，崔建和秦龍?jiān)谖墨I(xiàn)［10］中引入了GJ-clean環(huán)的概念。稱[R]是GJ-clean環(huán)，若對(duì)任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[w∈J#（R）]，使得[a=e+w]。為敘述方便，本文稱其為 [J#]-clean環(huán)。2022年，陳蔣歡、王堯、任艷麗在文獻(xiàn)［11］中提出了2-詣零-clean環(huán)的概念。稱[R]是2-詣零-clean環(huán)，若對(duì)任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[n1，n2∈N（R）]，使得[a=e+n1+n2]，其中元素[a]的和式分解稱為2-詣零-clean分解。

受上述的啟發(fā)，考慮到Jacobson根在環(huán)模論研究中的重要性，本文進(jìn)一步考慮了[J#（R）=x∈R|xn∈J（R），存在整數(shù)n≥1]，在 2-詣零-clean 環(huán)的基礎(chǔ)上引入了 2-[J#]-clean 環(huán)的概念。設(shè)[R]是一個(gè)環(huán)，如果對(duì)任意[a∈R]，都存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]，則稱[R]是2-[J#]-clean 環(huán)。如果 [e]和[w1]，[e]和[w2]還滿足乘法可交換性（[w1]，[w2]未必可交換），則稱其為強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)。本文重點(diǎn)研究了2-[J#]-clean元及 2-[J#]-clean環(huán)的相關(guān)性質(zhì)。此外，還引入了強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)和唯一2-[J#]-clean環(huán)的概念，并證明了唯一2-[J#]-clean環(huán)是強(qiáng)2-[J#]-clean 環(huán)，但反之未必成立。

1 2-[J#]-clean元與2-[J#]-clean環(huán)

定義 1.1 設(shè)[R]為環(huán)，稱[a∈R]是2-[J#]-clean元，若存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]。稱[R]是2-[J#]-clean環(huán)，若[R]中每個(gè)元素都是2-[J#]-clean元。

當(dāng)[J#（R）]為環(huán)[R]的加法子集時(shí)（例如交換環(huán)），[R]是[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R]是 2-[J#]-clean環(huán)。顯然， [J#]-clean 環(huán)和 2-詣零-clean 環(huán)均是 2-[J#]-clean 環(huán)。下面的例子說(shuō)明反之未必成立。

例 1.2 （1）考慮環(huán)[R=M2（Z）]中的元素[1111=1001+0100+0010]為矩陣[A=1111]的一個(gè)2-[J#]-clean分解，但它沒有[J#]-clean分解。

（2）設(shè)[R=Z（2）=ba∈Q|a?2Z]，則[R]是局部環(huán)，易知[J（M2（R））=M2（2Z（2））]，[N（M2（R））=0]。易驗(yàn)證元素[3223=1001+1111+1111]為矩陣[3223]的一個(gè)2-[J#]-clean分解式，但它沒有2-詣零-clean分解式。

元素[x]稱為[invo]元［12］，如果[x2=1]。環(huán)[R]中所有的[invo]元之集記為[Inv（R）]。

命題 1.3 若環(huán)[R]中的元素[a]是2-[J#]-clean元，則下列結(jié)論成立：

（1） 任意[u∈U（R）]，[u-1au]是2-[J#]-clean元；

（2） [2+a]是2-clean元［6］；

（3） 若[f]是中心冪等元，則[fa]也是2-[J#]-clean元；

（4） 存在[e∈Id（R）]，[f∈Inv（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+f+w1+w2]。

證明 因?yàn)閇a]是2-[J#]-clean元，存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]。

（1）任取[u∈U（R）]，于是[u-1au=u-1（e+w1+w2）u=u-1eu+u-1w1u+u-1w2u]，顯然[u-1eu∈Id（R）]，[u-1w1u，u-1w2u∈J#（R）]。因此，[u-1au]是2-[J#]-clean元。

（2）令[u1=1+w1，u2=1+w2∈U（R）]，則[2+a=e+（1+w1）+（1+w2）=e+u1+u2]是2-clean元。

（3）若[f]是中心冪等元，則[fa=f（e+w1+w2）=fe+fw1+fw2]，顯然[fe∈Id（R）]，[fw1，fw2∈J#（R）]，故[fa]是2-[J#]-clean元。

（4）[a=e+w1+w2=（1-e）+（2e-1）+w1+w2]，其中[1-e∈Id（R）]， [w1，w2∈J#（R）]。因?yàn)閇（2e-1）2=1]，故[2e-1∈Inv（R）]。結(jié)論成立。

推論 1.4 設(shè)[R]是交換環(huán)，若[a∈R]是2-[J#]-clean元，則存在[e∈Id（R）]，[f∈Inv（R）]，[w∈J#（R）]，使得[a=e+f+w]。

證明 由命題1.3（4）的證明可知存在[e∈Id（R）]，[f∈Inv（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+f+w1+w2]。又由[R]是交換環(huán)可知存在[w=w1+w2∈J#（R）]，則[a=e+f+w]。

命題 1.5 設(shè)[R]是2-[J#]-clean環(huán)，則下列結(jié)論成立：

（1） [R]是2-clean環(huán)；

（2） 對(duì)任意[a∈R]，存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=-e+w1+w2]；

（3） 若[R]是2-[J#]-clean環(huán)，則對(duì)任意[a∈R]，存在[e∈Id（R）]，[u∈U（R）]，[w∈J#（R）]，使得[a=e+u+w]。

證明 （1） 因?yàn)閇R]是2-[J#]-clean環(huán)，所以對(duì)任意[a∈R]，有[2+a=e+w1+w2]，其中[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]。于是[a=e+（w1-1）+（w2-1）]，顯然[（w1-1），（w2-1）∈U（R）]，故[R]是2-clean環(huán)。

（2） 因?yàn)閇R]是2-[J#]-clean環(huán)，所以對(duì)任意[a∈R]，有[-a=e+j1+j2]，其中[e∈Id（R）]，[j1，j2∈J#（R）]。于是[a=-e+（-j1）+（-j2）]，令[w1=-j1，w2=-j2]，顯然[w1，w2∈J#（R）]。

（3）根據(jù)（2）可知對(duì)任意[a∈R]，有[1-a=-e+j1+j2]，其中[e∈Id（R）]，[j1，j2∈J#（R）]。令[u=j1-1，w=-j2]，則[a=e+（j1-1）+（-j2）=e+u+w]，顯然[u∈U（R）]，[w∈J#（R）]。

命題 1.6 設(shè)[R]為環(huán)，若[2∈U（R）]，則[R]是2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意[a∈R]，存在[f∈Inv（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=f+w1+w2]。

證明 （[?]） 設(shè)[R]是2-[J#]-clean環(huán)，對(duì)任意[a∈R]，有[1+a2=e+j1+j2]，其中[e∈Id（R）]，[j1，j2∈J#（R）]。于是[a=（2e-1）+2j1+2j2]，顯然[2e-1∈Inv（R）]，[2j1，2j2∈J#（R）]。

（[?]） 若任意[a∈R]，都有[2a-1=f+w1+w2]，其中[f∈Inv（R）]，[w1，w2∈J#（R）]。于是[a=f+12+w12+w22]，其中[（f+12）2=1+2f+14=f+12∈Id（R）]，[w12，w22∈J#（R）]，故[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

稱環(huán)[R]為GUJ環(huán)［10］，若對(duì)任意[u∈U（R）]，都存在一個(gè)[b∈J#（R）]，使得[u=1+b]。

命題 1.7 設(shè)[R]是GUJ環(huán)，則下列結(jié)論成立：

（1）若[R]是2-[J#]-clean 環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R]是 2-clean 環(huán)；

（2）若[R]是2-[J#]-clean 環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意[a∈R]，存在[e∈Id（R）]，[u∈U（R）]，[w∈J#（R）]，使得[a=e+u+w]。

證明 （1） （[?]） 由命題1.5（1）的證明可得。

（[?]） 因?yàn)閇R]是2-clean環(huán)，對(duì)任意[a∈R]，有[2+a=e+u1+u2]，其中[e∈Id（R）]，[u1，u2∈U（R）]。又因?yàn)閇R]是GUJ環(huán)，所以存在[w1，w2∈J#（R）]，使得[u1=1+w1，u2=1+w2]，則[2+a=e+（1+w1）+（1+w2）]，[a=e+w1+w2]，得證。

（2） （[?]） 根據(jù)命題1.5（3）可得。

（[?]） 對(duì)任意[a∈R]，有[1+a=e+u+w]，其中[e∈Id（R）]，[u∈U（R）]，[w∈J#（R）]。又因?yàn)閇R]是GUJ環(huán)，所以存在[j∈J#（R）]，使得[u=1+j]，則[1+a=e+（1+j）+w]，[a=e+j+w]，故[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

由文獻(xiàn)［6］和［9］知，[J#]-clean環(huán)都是clean環(huán)，clean環(huán)都是2-clean環(huán)。根據(jù)命題1.7可知clean環(huán)和2-[J#]-clean環(huán)都是位于[J#]-clean環(huán)和2-clean環(huán)之間的環(huán)類。

但下面的例子說(shuō)明了clean環(huán)不一定是2-[J#]-clean環(huán)，2-[J#]-clean環(huán)也不一定是clean環(huán)。

例 1.8 （1）設(shè)環(huán)[R=Z3]，則[Id（R）=0，1]，[U（R）=1，2]，[J#（R）={0}]。顯然[R]是clean環(huán)，但[R]不是2-[J#]-clean環(huán)，因?yàn)樵?沒有2-[J#]-clean分解。

（2）易驗(yàn)證[R=M2（Z2）]是2-[J#]-clean環(huán)，但[1000]不是clean元，故[R]不是clean環(huán)。

引理 1.9 2-[J#]-clean環(huán)的同態(tài)像是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 設(shè)[R]是2-[J#]-clean環(huán)，構(gòu)造環(huán)同態(tài)[f：R→S]，則對(duì)任意[a∈f（R）]，存在[r∈R]，使得[a=f（r）]。由[R]是2-[J#]-clean環(huán)知存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[r=e+w1+w2]，于是[a=f（r）=f（e+w1+w2）=f（e）+f（w1）+f（w2）]。易驗(yàn)證[f（e）∈Id（R）]，[f（w1），f（w2）∈J#（R）]，故[f（R）]是2-[J#]-clean環(huán)。

命題 1.10 設(shè)[R]是一個(gè)環(huán)，則下列結(jié)論成立：

（1） 若[R]中的冪等元都是非平凡的，則[R]為2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的[a∈R]，有[a=w1+w2]或[1-a=w1+w2]，其中[w1，w2∈J#（R）]。

（2） 若[R]是一個(gè)除環(huán)，則[R]是2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R?Z2]。

證明 （1） （[?]） 因?yàn)閇R]是2-[J#]-clean環(huán)，則任意的[a∈R]，有[a=e+w1+w2]，其中[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]。因?yàn)閇e=0，1]，可得[a=w1+w2]或[1-a=-w1+（-w2）]。顯然，[-w1，-w2∈J#（R）]。

（[?]） 對(duì)任意的[a∈R]，[a=w1+w2]或[1-a=w1+w2]，其中[w1，w2∈J#（R）]。故[a=0+w1+w2]或

[a=1+（-w1）+（-w2）]。因此，[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

（2） （[?]） 設(shè)[R]是一個(gè)除環(huán)，則[Id（R）=0，1]，[J#（R）={0}]。又因?yàn)閇R]是2-[J#]-clean環(huán)，則對(duì)任意的[a∈R]，[a=0]或1。故[R?Z2]。

（[?]） 設(shè)[R]是一個(gè)除環(huán)，若[R?Z2]，顯然[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

推論 1.11 設(shè)[R]是一個(gè)局部環(huán)。若[R]是2-[J#]-clean環(huán)，則對(duì)任意的[a∈R]，有[a∈J（R）]或[1-a∈J（R）]。

證明 因?yàn)閇R]是局部環(huán)，則[RJ（R）]是除環(huán)。根據(jù)引理1.9可知[RJ（R）]也是2-[J#]-clean環(huán)。又根據(jù)命題1.10（2）可知[RJ（R）=0，1]，所以對(duì)任意的[a∈R]，[a=0，1]，即[a∈J（R）]或[a∈1+J（R）]。

推論 1.12 設(shè)[R]是一個(gè)局部環(huán)。若[R]是2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R]是[J]-clean環(huán)。

證明 （[?]） 由推論1.11可知對(duì)于任意[a∈R]，有[a∈J（R）]或[1-a∈J（R）]。顯然[a]是[J]-clean的，故[R]是[J]-clean環(huán)。

（[?]） 顯然。

命題 1.13 對(duì)任意的[i∈1，2，…，n]，設(shè)[Ri]是一族環(huán)，則直積[R=i=1nRi]是2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)[Ri]是2-[J#]-clean環(huán)，其中[i∈1，2，…，n]。

證明 （[?]） [Ri]作為 [R=i=1nRi]，[i=1，2，…，n]的同態(tài)像，根據(jù)引理1.9可知[Ri]，[i=1，2，…，n]是2-[J#]-clean環(huán)。

（[?]） 任取[x=（a1，a2，…，an）∈R]。對(duì)任意的[i∈1，2，…，n]，由[Ri]是2-[J#]-clean環(huán)知存在[ei∈Id（Ri）]，[w1i，w2i∈J#（Ri）]，使得[ai=ei+w1i+w2i]。令[e=（e1，e2，…，en）]，[w1=（w11，w12，…，w1n）]，[w2=（w21，w22，…，w2n）]，則[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]且[a=e+w1+w2]，故[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

命題 1.14 設(shè)[R]是一個(gè)環(huán)，[I]是[R]的一個(gè)理想且[I?J#（R）?C（R）]。若冪等元模[I]可提升，則[RI]是2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 （[?]） 對(duì)任意的[a∈R]，由[RI]是2-[J#]-clean環(huán)知存在[e0∈Id（RI）]，[w1k1，w2k2∈J（RI）]，使得[a=e0+][w1]+[w2]，其中[k1，k2]均為正整數(shù)。因?yàn)閮绲仍I]可提升，所以存在[e∈Id（R）]，使得[e=e0]。再由[I?J#（R）]是[R]的一個(gè)理想可知有[w1，w2∈J#（R）]，使得[wi=wi，i=1，2]，則[a=e+w1+（w2+r）]，其中[r]是[I]中的某個(gè)元素。又因?yàn)閇I]是中心的，于是[w2+r∈J#（R）]，所以[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

（[?]） 由引理1.9可得。

環(huán)[R]是[exchange]環(huán)［1］，若[RJ（R）]是正則的且冪等元模[J（R）]可提升。

推論 1.15 設(shè)[R]是一個(gè)[exchange]環(huán)，[I]是[R]的一個(gè)理想且[I?J#（R）?C（R）]，則[RI]是2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 由［1，推論2.4］和命題1.14可知。

2 2-[J#]-clean環(huán)的擴(kuò)張

定理 2.1 設(shè)[R]為環(huán)，[R[x]]是[R]上的多項(xiàng)式環(huán)。若[R[x]]是2-[J#]-clean環(huán)，則[R]也是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 由引理1.9可知[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

推論 2.2 若[R]是交換環(huán)，則[R[x]]一定不是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 由[R]是交換環(huán)立即可知[J#（R）=J（R）]，[Id（R[x]）=Id（R）]。假設(shè)[R[x]]是2-[J#]-clean環(huán)，則[x=e+w1（x）+w2（x）]，其中[e∈Id（R）]，[w1（x），w2（x）∈J#（R[x]）=J（R[x]）]。設(shè)[w1（x）=a0+a1x+…+anxn]，[w2（x）=b0+b1x+…+bmxm]，其中[aini=1， bjmj=1∈J#（R）=J（R）]。代入展開得一次項(xiàng)系數(shù)[1=a1+b1]，于是[a1=1-b1∈U（R）]，而[a1∈J#（R）]，矛盾，故[R[x]]一定不是2-[J#]-clean環(huán)。

設(shè)[R]是一個(gè)環(huán)，[s∈C（R）]，集合[Ks（R）= （aij）∈M2（R）|aij∈R， i，j=1，2]關(guān)于矩陣加法和如下定義的乘法：[abcda? ? bc? ? d=aa+sbcab+bdca+dcscb+dd]，作成一個(gè)環(huán)。

命題 2.3 設(shè)[R]是一個(gè)環(huán)，[s∈C（R）]。若[R]是2-[J#]-clean環(huán)，則[Ks（R）]也是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 任取[abcd∈Ks（R）]，由[R]是2-[J#]-clean環(huán)知存在[e1，e2∈Id（R）]，[w1，w2，w3，w4∈J#（R）]，使得[abcd=e100e2+w1b0w2+w30cw4]。易驗(yàn)證[e100e2∈Id（Ks（R））]。設(shè)存在[m1，m2，m3，m4∈N+]使得[wm11，wm22，wm33，wm44，∈J（R）]，令[m=m1+m2，m=m3+m4]，則

[w1b0w2m=wm1i+j=m-1wi1bwj20wm2=0]，

[w30cw4m=wm30i+j=m′-1wi3cwj4wm4=0]，

于是[w1b0w2，w30cw4∈J#（Ks（R））]，故[Ks（R）]是2-[J#]-clean環(huán)。

若s=1，則[Ks（R）=M2（R）]，于是有

推論 2.4 設(shè)[R]是 2-[J#]-clean環(huán)，則[M2（R）]也是 2-[J#]-clean 環(huán)。

定理 2.5 設(shè)[S]為環(huán)，[R=Mn（S），n≥2]。則任意矩陣[A∈R]可以表示為一個(gè)對(duì)角矩陣與一個(gè)2-[J#]-clean元的和。

證明 對(duì)任意矩陣[A=（aij）∈R]。令[W1=（hij）]，其中

[hij=aij，? ? i

[W2=（gij）]，其中

[gij=aij，? ? i>j0，? ?i≤j]，

[A1=diag（a11，a22，…，ann）]，則[W1，W2∈J#（R）]，且[A=A1+W1+W2]。注意[W1+W2=0+W1+W2]為一個(gè)2-[J#]-clean元。

定理 2.6 [R]是2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[Tn（R）]是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 （[?]） 設(shè)[A=（aij）∈Tn（R）]，其中[i≤j]。令[W=（hij）]，其中

[hij=aij，? ? i

因?yàn)閇R]是2-[J#]-clean環(huán)，則對(duì)任意[i∈1，2，…，n]，存在[eii∈Id（R），wii，w′ii∈J#（R）]，使得[aii=eii+wii+wii]。設(shè)

[A1=diag（a11，a22，…，ann）]，

[E=diag（e11，e22，…，enn）]，

[W′1=diag（w11，w22，…，wnn）]，

[W′2=diag（w′11，w′22，…，w′nn）]。

則[A1=E+W1+W2]，其中[E∈Id（Tn（R））]。令[W1=W+W1]，[W2=W2]，顯然[W1，W2∈J#（Tn（R））]。故[A=A1+W=E+W1+W2+W=E+W1+W2]是一個(gè)2-[J#]-clean分解。故[Tn（R）]是2-[J#]-clean環(huán)。

（[?]） 顯然。

命題 2.7 設(shè)[S]為任意非零環(huán)，[R=Mn（S），n≥2]，[M=ABCD∈R]。若[A]是[Mk（S）]中的2-[J#]-clean元且[D]是[Mn-k（S）]中的2-[J#]-clean元，則[M]是[R]中的一個(gè)2-[J#]-clean元。

證明 設(shè)[A=E+W1+W2]，[D=E+W1+W2]分別是矩陣環(huán)[Mk（S）]和[Mn-k（S）]上的2-[J#]-clean分解，其中[E∈Id（Mk（S））]，[E′∈Id（Mn-k（S））]，[W1，W2∈J#（Mk（S））]，[W1，W2∈J#（Mn-k（S））]。則

[M=E00E+W1B0W1+w20Cw2]。

顯然[E00E∈Id（R）]，易驗(yàn)證[W1B0W1，w20Cw2∈J#（R）]。故[M]是[R]中的一個(gè)2-[J#]-clean元。

推論 2.8 設(shè)[R=Mn（S），n≥2]，其中[n≥2]且[S]是任意非零環(huán)。設(shè)[A=（Aij）∈R]是分塊矩陣，若方陣[Aii]是2-[J#]-clean元，則[A]是2-[J#]-clean環(huán)。

定理 2.9 設(shè)[R]是一個(gè)環(huán)，[e∈Id（R）]。若[eRe]和[（1-e）R（1-e）]都是2-[J#]-clean環(huán)，則[R]也是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 設(shè)[f=1-e]。[R?eReeRffRefRf]，任取[A=axyb∈R]，由題意可知有[a=e+w1+w2∈eRe]且[b=f+j1+j2∈fRf]，其中[e∈Id（eRe）]，[w1，w2∈J#（eRe）]，[f∈Id（fRf）]，[j1，j2∈J#（fRf）]。于是

[axyb=e00f′+w10yj1+w2x0j2]，

易驗(yàn)證[e00f′∈Id（R）]，[w10yj1，w2x0j2∈J#（R）]。故[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

推論 2.10 設(shè)[R]為環(huán)，[R]的單位元[1=e1+e2+…+en]，其中[e1，e2，…，en]為[R]的正交冪等元。若對(duì)任意的[i=1，2，…，n]，[eiRei]均是2-[J#]-clean環(huán)，則[R]也是2-[J#]-clean環(huán)。

推論 2.11 設(shè)[M=M1⊕M2⊕…⊕Mn]是一個(gè)模，如果對(duì)任意的[i=1，2，…，n]，都有[End（Mi）]是2-[J#]-clean環(huán)，那么[End（M）]也是2-[J#]-clean環(huán)。

定理 2.12 設(shè)[R]是2-[J#]-clean環(huán)，則[Mn（R），n≥1]也是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 設(shè)[R]是2-[J#]-clean環(huán)，考慮[R]上的矩陣環(huán)[Mn（R），n≥1]。對(duì)于任意的[i=1，2，…，n]，設(shè)[eii]為第[i]行第[i]列的元素為1，其它元素都取0的矩陣，則[eiini=1]為[Mn（R）]的一組正交冪等元且[1=e11+e22+…+enn]。此時(shí)對(duì)任意的[i]都有[eiiMn（R）eii?R]是2-[J#]-clean環(huán)，由推論2.9可知[Mn（R）]是2-[J#]-clean環(huán)。

命題 2.13 設(shè)[R，S]是環(huán)，[RMS]是雙模，則形式上三角矩陣環(huán)[RM0S]是2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R]和[S]均是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 （[?]） 構(gòu)造滿同態(tài)[?：RM0S→R;rm0s→r]，其中[r∈R，s∈S，m∈M]。再由引理1.9可知[R]是2-[J#]-clean環(huán)。同理可得[S]也是2-[J#]-clean環(huán)。

（[?]） 設(shè)[R，S]都是2-[J#]-clean環(huán)，任取[rm0s∈RM0S]，則存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，[f∈Id（S）]，[j1，j2∈J#（S）]，使得[r=e+w1+w2，s=f+j1+j2]。于是有

[rm0s=e00f+w100j1+w2m0j2]，

其中[e00f∈Id（A）]，[w100j1，w2m0j2∈J#（A）]。故[A=RM0S]是2-[J#]-clean環(huán)。

給定環(huán)[R]和一個(gè)雙模[RMR]，稱[T（R，M）=R⊕M]是[R]通過[M]的平凡擴(kuò)張，其中加法為對(duì)應(yīng)加量加法，乘法定義為[（r1，m1）（r2，m2）=（r1r2，r1m2+m1r2）]。則[T（R，M）?rm0r|r∈R，m∈M]。

命題 2.14 平凡擴(kuò)張[T（R，M）]是2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

證明 （[?]） 設(shè)[T（R，M）]是2-[J#]-clean環(huán)，取[I=（0，m）|m∈M]，則[I]是[T（R，M）]的一個(gè)理想且[T（R，M）I?R]，故[R]是2-[J#]-clean環(huán)。

（[?]） 設(shè)[R]是2-[J#]-clean環(huán)，任取[（r，m）∈T（R，M）]，由條件知存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[r=e+w1+w2]。于是[（r，m）=（e，0）+（w1，m）+（w2，0）]。顯然[（e，0）∈Id（T（R，M））]，[（w2，0）∈J#（T（R，M））]，下面只需證明[（w1，m）∈J#（T（R，M））]即可。設(shè)存在正整數(shù)[n]，使得[w1n∈J（R）]，那么計(jì)算可得

[（w1，m）2n=（w2n1，i，j≥0i+j=2n-1wi1mwj1）∈J（T（R，M））]。

故[（w1，m）∈J#（T（R，M））]，所以[T（R，M）]是2-[J#]-clean環(huán)。

3 強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)和唯一2-[J#]-clean環(huán)

定義 3.1 稱[a∈R]是強(qiáng)2-[J#]-clean元，若存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]且[ew1=w1e，ew2=w2e]。稱[R]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)，若[R]中每個(gè)元素都是強(qiáng)2-[J#]-clean元。

顯然，當(dāng)[J#（R）]為環(huán)[R]的加法子集時(shí)，[R]是強(qiáng)[J#]-clean環(huán)［9］當(dāng)且僅當(dāng)[R]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)。

命題 3.2 若[R]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)，則[C（R）]中的元素都是[R]中的強(qiáng) [J#]-clean元。

證明 對(duì)任意的[x∈C（R）]，因?yàn)閇R]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)，故存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[x=e+w1+w2]且[ew1=w1e，ew2=w2e]。又因?yàn)閇xw1=w1x]，所以[w1w2=w2w1]，從而存在[w]，使得[w=w1+w2∈J#（R）]。此時(shí)[x=e+w]且[ew=e（w1+w2）=（w1+w2）e=we]。故[x]是強(qiáng)[J#]-clean元。

推論 3.3 若[R]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)，則[2∈J（R）]。

證明 因?yàn)閇2∈C（R）]，所以由命題3.2知2是強(qiáng)[J#]-clean元，故存在[e∈Id（R）]，[w∈J#（R）]，使得[2=e+w]且[ew=we]。于是[1-e=w-1∈Id（R）?U（R）]，則[1-e=1]，從而[e=0]，故[2=w∈J#（R）]，又因?yàn)閇2∈C（R）]，所以[2∈J（R）]。

引理 3.4 設(shè)[R]為環(huán)，[a∈R]是一個(gè)強(qiáng)2-[J#]-clean元，則[annl（a）?annl（e）]，[annr（a）?annr（e）]。

證明 因?yàn)閇a]是強(qiáng)2-[J#]-clean元，則存在[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，使得[a=e+w1+w2]且[ew1=w1e，ew2=w2e]。設(shè)[r∈annl（a）]，則[ra=r（e+w1+w2）=0]。由[re=-rw1-rw2=-rw1e-rw2e=-rew1-rew2]可得[re（1+w1+w2）=0]，因?yàn)閇1+w1+w2=[（1+w1）+w2]∈U（R）]，所以[re=0]，故[r∈annl（e）]。同理可得[annr（a）?annr（e）]。

定理 3.5 設(shè)[R]為環(huán)且[f∈Id（R）]。則[a∈fRf]在[R]中是強(qiáng)2-[J#]-clean元當(dāng)且僅當(dāng)[a]在[fRf]中是強(qiáng)2-[J#]-clean元。

證明 （[?]） 設(shè)[a=e+w1+w2]，其中[e∈Id（fRf）]，[w1，w2∈J#（fRf）]，且[ew1=w1e，ew2=w2e]。顯然，[w?fJ#（R）f?J#（R）]。因此，[a∈fRf]是[R]中的一個(gè)強(qiáng)2-[J#]-clean元。

（[?]） 設(shè)[a=e+w1+w2]，其中[e∈Id（R）]，[w1，w2∈J#（R）]，且[ew1=w1e，ew2=w2e]。因?yàn)閇a∈fRf]，所以

[1-f∈annl（a）?annr（a）? ? ? ? ??annl（e）?annr（e）? ? ? ? ?=R（1-e）?（1-e）R? ? ? ? ?=（1-e）R（1-e） ]

因此[ef=e=fe]，故[a=fef+fw1f+fw2f]。顯然[fef∈Id（fRf）]，[fw1f，fw2f∈]， [fJ#（R）f=J#（fRf）]，且[（fef）（fw1f）=few1f=fw1ef=（fw1f）（fef）]，同理 [（fef）（fw1] [f）=（fw2f）（fef）]。故命題得證。

注 該定理無(wú)需引理3.4也可證得。因?yàn)閇a∈fRf]，故存在[r∈R]，使得[a=frf]，[faf=frf=a]，故[a=faf]。則[a=fef+fw1f+fw2f]。

推論 3.6 設(shè)[R]為環(huán)，令[e∈Id（R）]。若[R]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)，則[eRe]也是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)。

下面考慮局部環(huán)上矩陣環(huán)的強(qiáng)2-[J#]-clean性。

引理 3.7 設(shè)[R]是一個(gè)局部環(huán)，則[R]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R]是強(qiáng)[J]-clean環(huán)。

證明 （[?]） 眾所周知，當(dāng)[R]是局部環(huán)時(shí)，[J#（R）=J（R）]，若[R]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)，顯然[R]是強(qiáng)[J]-clean環(huán)。

（[?]） 顯然成立。

類似于文獻(xiàn)［7，推論4.7］的證明方法，我們可以得到如下結(jié)論。

定理 3.8 設(shè)[R]是一個(gè)局部環(huán)，則[A∈M2（R）]是強(qiáng)2-[J#]-clean元當(dāng)且僅當(dāng)[A∈J#（M2（R））]或[I2-A∈J#（M2（R））]或[A]相似于矩陣[1+w100w2]，其中[wi?J#（R）]，[i=1，2]。

證明 由引理3.7可知[R]是強(qiáng)[J]-clean 環(huán)，再由［7，定理5.2］可知定理成立。

如果一個(gè)矩陣[A∈Mn（R）]是不可逆的，那么稱[A]是一個(gè)奇異矩陣。如果一個(gè)奇異矩陣[A∈Mn（R）]滿足[In-A]不可逆，那么稱這個(gè)矩陣為純奇異矩陣。

推論 3.9 設(shè)[R]是局部環(huán)，[A∈M2（R）]是一個(gè)純奇異矩陣，則[A]是強(qiáng)2-[J#]-clean矩陣當(dāng)且僅當(dāng)[A]相似于[1+w100w2]，其中[wi?J#（R）]，[i=1，2]。

證明 因?yàn)閇A∈M2（R）]是一個(gè)純奇異矩陣，所以[A?J#（M2（R））]，[I2-A?J#（M2（R））]，由定理3.8可知推論成立。

類似于文獻(xiàn)［13，定理3.2］的證明方法，我們可以得到如下結(jié)論。

命題 3.10 設(shè)[R]是一個(gè)局部環(huán)，[s∈C（R）]且[A∈Ks（R）]，則下列命題成立：

（1） [A∈Ks（R）]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)；

（2）[A∈J#（Ks（R））]或[I2-A∈J#（Ks（R））]或[A]相似于[1+w100w2]，其中[wi∈J#（R）]，[i=1，2]。

證明 由引理3.7和［13，定理3.2］可得。

定義 3.11 稱[R]是唯一2-[J#]-clean環(huán)，若[R]中每個(gè)元素的2-[J#]-clean分解在不考慮[w1，w2]的先后順序下是唯一的。

下面的例子說(shuō)明了2-[J#]-clean環(huán)未必是唯一2-[J#]-clean環(huán)，強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)也未必是唯一2-[J#]-clean環(huán)。

例 3.12 （1） 設(shè)環(huán)[R=M2（Z2）]，顯然[Z2]是2-[J#]-clean環(huán)，再由定理2.11知[R]也是2-[J#]-clean環(huán)。元素[1101]至少有兩種不同的分解：[1001+0100+0000]，[0010+1111+0000]，所以[R]不是唯一2-[J#]-clean環(huán)。

（2） 設(shè)環(huán)[R]為模4剩余類環(huán)[R=Z4]，[Id（R）=0，1]，[J#（R）=0，2]，顯然它是一個(gè)強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)。但因?yàn)?=1+0+0=1+2+2為元素1的兩種不同的2-[J#]-clean分解，所以[R]不是唯一2-[J#]-clean環(huán)。

命題 3.13 若[R]是唯一2-[J#]-clean環(huán)，則[R]中的冪等元都是中心的，即[R]是Abel環(huán)。

證明 任取[e∈Id（R），r∈R]，則[e+er-ere=e+（er-ere）+0=（e+er-ere）+0+0]，易驗(yàn)證[er-ere∈J#（R）]，[e+er-ere∈Id（R）]。因?yàn)閇R]是唯一2-[J#]-clean環(huán)，故[er-ere=0]，[er=ere]。同理可得[re=ere]，即[er=re]，故[R]中的冪等元都屬于[C（R）]，故[R]是Abel環(huán)。

命題 3.14 設(shè)[R]是環(huán)，則下列條件等價(jià)：

（1） [R]是唯一2-[J#]-clean環(huán)；

（2） [R]是布爾環(huán)；

證明 （2）[?]（1） 顯然。

（1）[?]（2） 假設(shè)[R]中存在除0以外的[J#（R）]元素[w]，則[1=1+0+0=1+w+（-w）]是1的兩種不同的2-[J#]-clean分解，矛盾。于是對(duì)任意的[x∈R]，只有[x=e+0+0∈Id（R）]這一種2-[J#]-clean分解式，故[R]是布爾環(huán)。

定理 3.15 設(shè)[R]是環(huán)，則[R]是唯一2-[J#]-clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)[R]也是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)且[J#（R）=0]。

證明 （[?]） 若[R]是唯一2-[J#]-clean環(huán)，由命題3.14知[R]是布爾環(huán)。由文獻(xiàn)［7，命題3.2］可知[R]是強(qiáng)[J]-clean環(huán)，顯然[R]是強(qiáng)2-[J#]-clean環(huán)。

（[?]） 顯然。

推論 3.16 設(shè)[R]是唯一2-[J#]-clean環(huán)，則下列結(jié)論成立：

（1） [RJ（R）]是唯一2-[J#]-clean環(huán)且冪等元模[J（R）]可強(qiáng)提升；

（2） [RJ（R）]是唯一2-[J#]-clean環(huán)且[R]是強(qiáng)clean環(huán)；

（3） [RJ（R）]是布爾環(huán)且冪等元模[J（R）]可強(qiáng)提升。

證明 （1） 因?yàn)閇R]是唯一2-[J#]-clean環(huán)，由定理3.15的證明可知[R]是強(qiáng)[J]-clean環(huán)且[J（R）?J#（R）=0]，則[RJ（R）]是布爾環(huán)，又由命題3.14知[RJ（R）]是唯一2-[J#]-clean環(huán)。因?yàn)閇R]是強(qiáng)[J]-clean環(huán)，由［7，定理2.3］可知冪等元模[J（R）]可強(qiáng)提升。

（2） 由（1）的證明和［7，命題2.1］可得。

（3） 由（1）和命題3.14可得。

參考文獻(xiàn)

［1］ NICHOLSON W K. Lifting idempotents and exchange rings［J］. Transactions of the American Mathematical Society， 1977， 229（5）： 269-278.

［2］ NICHOLSON W K. Strongly clean rings and Fitting's lemma［J］. Communications in Algebra， 1999， 27（8）： 3583-3592.

［3］ HAN J， NICHOLSON W K. Extensions of clean rings［J］. Communications in Algebra， 2001， 29（6）： 2589-2595.

［4］ DANCHEV P V. On corner subrings of unital rings［J］. Internat J Contemp Math Sci， 2018， 13（2）： 59-62.

［5］ PURKAIT S， DUTTA T K， KAR S. On m-clean and strongly m-clean rings［J］. Communications in Algebra， 2020， 48（1）： 218-227.

［6］ WANG Z， CHEN J L. 2-clean rings［J］. Canadian Mathematical Bulletin， 2009， 52（1）： 145-153.

［7］ CHEN H Y. On? strongly? J-clean? rings［J］.? Communications? in? Algebra，? 2010， 38（10）：3790-3804.

［8］ DIESL A J. Nil clean rings［J］. Journal of Algebra， 2013， 383： 197-211.

［9］ 程瑤. J-clean環(huán)的推廣［D］. 蕪湖：安徽師范大學(xué)， 2018.

［10］ CUI J， QIN L. Generalizations of J-clean rings［J］. Advances in Mathematics， 2020， 49（1）： 29-38.

［11］ 陳蔣歡， 王堯， 任艷麗. 2-詣零-clean 環(huán)［J］. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2022， 57（2）： 14-22.

［12］ DANCHEV P V. Weakly invo-clean unital rings［J］. Afrika Matematika， 2017， 28（7）： 1285-1295.

［13］ XIANG Y M， OUYANG L Q. J-clean and strongly J-clean rings［J］. Communications in Mathematical Research， 2018， 34（3）： 241-252.

［14］ YING Z L， CHEN J L. On UR-rings［J］. Mathematical Research & Exposition ， 2009， 29（2）：355-361.

2-[J#]-clean Rings

TAO Dan-dan， YIN Xiao-bin

（ School of Mathematics and Statistics， Anhui Normal University， Wuhu 241003， China）

Abstract： This paper introduces the concept of 2-[J#]-clean rings. Let [R] be a ring， if each element in [R] is the sum of an idempotent and two [J#（R）] elements， [R] is said to be a 2-[J#]-clean ring. This paper mainly studies the basic properties of 2-[J#]-clean rings， and the relationship between it and some related rings is considered.

Key words： 2-[J#]-clean rings; 2-clean rings; matrix ring; ring extension

（責(zé)任編輯：馬乃玉）