子彈打木塊模型的變式與拓展

許 文

(華中科技大學(xué)附屬中學(xué))

子彈打木塊模型是高考物理中的高頻考點之一.該模型中子彈與木塊往往存在相對運動,分析求解應(yīng)以子彈與木塊在各個運動過程中的加速度為核心,找出子彈與木塊之間的位移(路程)關(guān)系或速度關(guān)系是解題的突破口,采用定性分析與定量研究相結(jié)合的方法,也可借助v-t圖像進行分析求解.系統(tǒng)無外力作用下的板塊模型,其本質(zhì)也是子彈打木塊模型.

1 基本模型

1.1 木塊獲得的速度與子彈初速度的關(guān)系

問題長為d、質(zhì)量為M的木塊靜止在光滑的水平面上.一顆質(zhì)量為m的子彈以水平初速度v0射入木塊,設(shè)子彈與木塊間的阻力大小為Ff,求木塊獲得的速度v.

分析子彈打木塊的過程中,子彈與木塊組成的系統(tǒng)水平方向動量守恒、能量守恒.

1)若子彈未穿出木塊,有mv0＝(m＋M)v,可得

結(jié)論木塊獲得的速度v與子彈的初速度v0的大小關(guān)系圖像如圖1所示.

圖1

例1如圖2所示,質(zhì)量為m的子彈,以初速度v0射入靜止在光滑水平面上的木塊,并留在其中.木塊質(zhì)量為M,長度為L,子彈射入木塊的深度為d,在子彈射入木塊的過程中木塊移動距離為s.假設(shè)木塊對子彈的阻力始終保持不變,下列說法正確的是( ).

圖2

A.d可能大于s,也可能小于s

B.s可能大于L,也可能小于L

C.s一定小于d,s一定小于L

D.若子彈質(zhì)量減小,d和s一定同時變小

木塊和子彈組成的系統(tǒng)合外力為零,系統(tǒng)動量守恒,有mv0＝(m＋M)v.設(shè)木塊對子彈的阻力大小為Ff,則對木塊由動能定理得

系統(tǒng)損失的機械能為

可知s＜d,而d＜L,故s＜L,選項C正確;若子彈質(zhì)量m減小,由以上分析知d一定變小,s一定變小,選項D 正確.

本題子彈在打木塊的過程中,由于題設(shè)木塊對子彈的阻力始終保持不變,可知在此過程中子彈做勻減速運動,木塊做勻加速運動;以上分析求解中采用了定性分析與定量研究相結(jié)合的方法,根據(jù)系統(tǒng)動量守恒求解二者最終的共同速度,再分別對子彈與木塊用動能定理分析比較,注意變量與不變量.

變式1一矩形木塊放在光滑的水平面上,用一支槍先后向木塊射入兩顆相同子彈,第二次發(fā)射時槍口比第一次時稍高一些,兩顆子彈都穿出了木塊,在木塊中留下了兩個平行的彈孔.設(shè)兩顆子彈發(fā)射的初速度相同,在木塊中受到的阻力相同,第二顆子彈擊中木塊時,第一顆子彈已穿過木塊,且木塊只在水平面上運動.則兩顆子彈先后穿出木塊的過程中( ).

A.木塊平移的距離相同

B.子彈穿過木塊的時間不同

C.穿過木塊后子彈的速度相同

D.第一顆子彈穿過木塊后的速度比第二顆子彈穿過木塊后的速度小

由題意知兩次子彈穿木塊的過程中,子彈與木塊的加速度大小均一定.設(shè)子彈的初速度大小為v0,第1顆子彈穿過木塊后子彈的速度為v1,木塊的速度為v′1;第2顆子彈穿過木塊后子彈的速度為v2,木塊的速度為v′2;在同一坐標系中畫出子彈與木塊運動的v-t圖像,如圖3所示.

圖3

由v-t圖像的物理意義知,第2顆子彈穿木塊的過程中,木塊移動的距離較大,選項A 錯誤;在子彈穿木塊過程中,在水平方向子彈相對木塊運動的距離即為木塊的寬度,可知第2顆子彈穿過木塊的時間t2大于第1顆子彈穿過木塊的時間t1,選項B 正確;穿過木塊后子彈的速度v1＞v2,選項C、D 錯誤.

本題涉及兩顆子彈與木塊的多體多過程運動問題.根據(jù)兩次子彈穿木塊的過程中,子彈與木塊的加速度大小均一定這一特點,在同一坐標系中畫出兩子彈與木塊運動的v-t圖像進行分析與求解,分析過程簡潔明了.

變式2如圖4 所示,質(zhì)量為M的均勻木塊靜止在光滑的水平面上,木塊左右兩側(cè)各有一位拿著完全相同的步槍(配有完全相同的子彈)的射擊手.首先左側(cè)的射擊手開槍,子彈水平射入木塊的最大深度為d1,然后右側(cè)的射擊手開槍,子彈水平射入木塊的最大深度為d2.設(shè)子彈均未射穿木塊,且兩子彈與木塊之間的作用力大小均相同.當(dāng)兩顆子彈均相對木塊靜止時,下列說法正確的是( ).

圖4

A.最終木塊靜止,d1＝d2

B.最終木塊向右運動,d1＜d2

C.最終木塊靜止,d1＜d2

D.最終木塊靜止,d1＞d2

木塊和射出后的左右兩子彈組成的系統(tǒng)水平方向不受外力作用,系統(tǒng)動量守恒.設(shè)子彈的質(zhì)量為m,有mv0－mv0＝(M＋2m)v,可得v＝0,即最終木塊靜止;設(shè)左側(cè)子彈射入木塊后的共同速度為v1,有mv0＝(m＋M)v1,且

對右側(cè)子彈射入的過程,由功能關(guān)系得

本題分析求解仍采用了定性分析與定量研究相結(jié)合的方法.子彈穿木塊的過程中,系統(tǒng)內(nèi)存在摩擦阻力做功,有機械能損失;損失的機械能變?yōu)閮?nèi)能,但系統(tǒng)的能量仍守恒.摩擦生熱表達式可稱之為“能量守恒”或“功能關(guān)系”,它是由動能定理推導(dǎo)得出的一個二級結(jié)論.

1.2 特點與規(guī)律

表1

2 拓展應(yīng)用

子彈打木塊模型和無外力滑塊與滑板模型本質(zhì)相同.解決板塊模型問題,不同的階段要分析受力情況和運動情況的變化;二者存在相對滑動的臨界條件是二者間的摩擦力為最大靜摩擦力;靜摩擦力不但方向可變,而且大小也會在一定范圍內(nèi)變化;明確板塊達到共同速度時各物理量關(guān)系是此類題目的突破點.利用v-t圖像仍然是這類問題的有效分析手段.

例2(2023年全國乙卷)如圖5所示,一質(zhì)量為M、長為l的木板靜止在光滑水平桌面上,另一質(zhì)量為m的小物塊(可視為質(zhì)點)從木板上的左端以速度v0開始運動.已知物塊與木板間的滑動摩擦力大小為f,當(dāng)物塊從木板右端離開時( ).

圖5

A.木板的動能一定等于fl

B.木板的動能一定小于fl

本題中滑塊與木板組成的系統(tǒng)受到的合外力為零,類似于子彈打木塊模型.由題意知當(dāng)物塊從木板右端離開時有vm＞vM,它們運動的v-t圖像(如圖6)與運動過程示意圖(如圖7)如下.

圖6

圖7

本題是不受外力作用的板塊模型,與經(jīng)典的子彈打木塊模型本質(zhì)上是相同的.對于不受外力作用的板塊模型問題的分析,在畫運動過程示意圖時,若不能正確分析板塊的位移大小關(guān)系,很容易導(dǎo)致分析板塊空間位置關(guān)系時出現(xiàn)錯誤.以上分析求解結(jié)合板塊運動的v-t圖像才能直觀看出它們運動的位移大小關(guān)系,這是本題分析的易錯點與突破點.

變式3質(zhì)量為m的矩形木板ae,放在光滑水平面上,b、c、d是ae的4等分點.質(zhì)量為M的物塊以一定的初速度從a點水平滑上粗糙木板,物塊的寬度不計,且m＜M,經(jīng)過一段時間物塊停在木板上.以下各選項中上圖是物塊剛滑上木板時物塊與板的位置狀態(tài),下圖是物塊剛與木板達到共同速度時的位置,則可能正確的是( ).

地面光滑,物塊與木板組成的系統(tǒng)所受合外力為零,系統(tǒng)動量守恒,以向右為正方向,由動量守恒定律有Mv0＝(M＋m)v;對木板由動能定理有;設(shè)物塊相對木板運動的位移大小為Δx,同理對物塊有

本題的分析與求解仍然采用了定性分析與定量研究相結(jié)合的方法.根據(jù)模型特點,運用動量守恒定律與動能定理列式比較分析,找出此過程中物塊相對木板滑行的距離與木板對地運動的位移的大小關(guān)系,即可作出可能正確的判斷.

變式4如圖8所示,質(zhì)量為M＝2.0 kg的長木板放在水平地面上,木板與水平面間的動摩擦因數(shù)μ0＝.在t＝0時刻給長木板一個水平向右的初速度v0＝4 m?s－1,同時將一小滑塊輕放在木板右端,滑塊運動的v-t圖像如圖9所示.已知整個過程中滑塊沒從木板上掉下來,重力加速度g取10 m?s－2,最大靜摩擦力大小等于滑動摩擦力.以下說法正確的是( ).

圖8

圖9

A.滑塊的質(zhì)量m＝0.5 kg

B.滑塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ＝0.1

C.木板的最小長度L＝1.75 m

D.滑塊與木板間摩擦生熱Q＝2.25 J

由圖9知在t1＝1 s時滑塊與木板等速,為v1＝1 m?s－1;對滑塊與木板分別由動量定理有μmgt1＝mv1,－μ0(M＋m)gt1－μmgt1＝Mv1－Mv0,可得μ＝0.1,m＝1 kg,選項A 錯誤,選項B正確;滑塊與木板在t1時刻等速后,由于μ＜μ0,二者不能保持相對靜止,小滑塊相對木板向右滑動,設(shè)木板在t2＝t1＋Δt時刻停止,滑塊與木板運動的v-t圖像如圖10所示.在Δt時間內(nèi)對木板有μmgΔtμ0(M＋m)gΔt＝0－Mv1,可得Δt＝0.5 s.

圖10

在0～t1時間內(nèi)小滑塊相對木板向左滑動的距離,在t1時刻后滑塊相對木板向右滑動距離,故木板的最小長度L＝2 m,選項C錯誤;整個過程中滑塊與木板間摩擦生熱Q＝μmg(Δx1＋Δx2)＝2.25 J,選項D 正確.

在板塊達到共同速度以后,它們間的摩擦力往往會發(fā)生變化.一種情況是板塊間滑動摩擦力轉(zhuǎn)變?yōu)殪o摩擦力;另一種情況是板塊間的滑動摩擦力方向發(fā)生變化.板塊達到共同速度時恰好對應(yīng)物塊不脫離木板時板具有的最小長度,也就是物塊在木板上相對于板的最大位移.本題中板塊等速后滑塊相對木板的運動方向發(fā)生變化,分析求解時要從滑塊運動的v-t圖像推知木板的運動情景.

總之,子彈打木塊模型與無外力作用下的板塊模型類似,但板塊模型中物塊相對滑板的運動方向可能會發(fā)生改變.對這類問題的分析,要從物體受力開始,分析加速度及其變化,注意等速時摩擦力往往會發(fā)生改變.畫出物體運動過程示意圖尋找位移隱含關(guān)系,v-t圖像是這類問題分析的利器,是定性分析與定量研究的有效手段.

(完)